버트런드 러셀(Bertrand Arthur William Russell, 1872 ~ 1970)의 <수리철학의 기초 Introduction to Mathematical Philosophy>는 제목 그대로 화이트 헤드(Alfred North Whitehead, 1861 ~ 1947)와 함께 만든 <수학 원리 Principia Mathematica> 입문서다. 수학을 기호논리학을 통해 재구성한 <수학 원리>처럼 이 책은 주로 집합론(集合論, set theory)과 논리학을 연계하여 다루고 있다. 그렇다면, 저자는 이 책을 통해 무엇을 말하고 싶었을까? 이 페이퍼에서는 이를 알아보려 한다. 러셀의 주장을 들어보기 전 우리는 먼저 다른 수학자를 만나야 하는데, 그는 바로 칸토어(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845 ~ 1918)다.  

 

 칸토어는 두 집합 A와 B사이에 전단사함수(bijection)가 존재하면 그들의 크기, 즉 "기수(cardinality)가 같다"라고 정의했다. 이는 A의 원소와 B의 원소 사이에 일대일대응(one-to-one correspondence)이 있다는 뜻이다. 만일 A와 B 사이에 전단사함수가 존재하지 않고 A와 B의 부분집합 사이에 전단사함수가 있으면 'A는 B보다 기수가 작다'라고 한다. 결국 칸토어가 보인 것은 모든 대수적 수의 집합의 기수가 모든 실수의집합의 기수보다 작다는 것이었다.(p1013)... 칸토어는 각각의 닫힌 집합(closed set)에 대해 Xα = Xα+1을  만족하는 가산 순서수 α가 있음을 증명했다.(p1013) <The Princeton companion to Mathematics 1> 中


 집합론에 선구적인 업적을 쌓은 칸토어의 업적은 '적어도 둘 이상의 다른 종류의 무한 집합이 존재한다'는 것을 증명했다는 사실과 '초한기수'의 도입을 들 수 있을 것이다. 자연수 [0,1] 사이에 있는 소수의 개수와 { 1,2,3,4....n,,,}과 같은 집합은 둘 다 무한 집합이다. 이처럼 무한 집합은 무수히 많이 정의될 수 있다는 사실은 우리가 쉽게 알 수 있지만, '초한기수 transfinite cardinal number'라는 개념을 알기는 쉽지 않다. 이에 대해 저자의 설명을 보자.


 

귀납적 수와 이 새로운 수 사이에서 가장 뚜렷하고 놀라운 차이점은 이 새로운 수에 1을 더하거나 1을 뻬거나, 또는 2배를 하거나 반분하거나, 혹은 그것에 그 수를 반드시 크거나 작게 하는 것으로 생각되는 연산을 해도 그 수가 변화하지 않는다는 점이다. 그중에서 1을 더하여도 변치 않는 점을 칸토어가 '초한기수 transfinite cardinal number'라 부르는 수를 정의하는 데 이용하였다.(p90)... 어떤 집합이 1을 더하여도 변하지 않는 수를 갖는다는 것은, 그 집합에 포함되지 않는 하나의 항 x를 들었을 때 정의역이 그 집합이고, 역정의역이 그 집합에 x를 더한 것으로 이루어진 하나의 1대1 관계가 있다는 뜻이다.(p91) <수리 철학의 기초> 中


 정의역이 그 집합이고, 역정의역이 그것보다 꼭 한 항이 작은 집합으로 이루어진 1대1인 관계가 있다. 바로 이 같은 것이 성립하는 경우와 겉보기는 더 일반적인 것같이 보이는 "'한 부분(전체가 아닌)'과 '전체' 사이에 1대1 관계가 주어진다"는 경우가 내용상 같다는 것을 쉽게 알 수 있다. 그 같은 대응이 성립할 경우, 우리는 그 대응을 만드는 매개자는 전체를 그것의 한 부분에 '반사한다'고 한다. 그래서 그 같은 집합을 '반사적 집합'이라 부른다. 즉 반사적 집합 reflexive class이란 자신과 자신의 진부분 집합이 대등한 집합을 뜻하며, 반사적 기수 reflexive number라 함은 반사적 집합의 기수를 말한다.(p91) <수리 철학의 기초> 中


  그렇다면, 칸토어의 주장처럼 Xα = Xα+1을  만족하는 가산 순서수 α 그리고 자신과 자신의 진부분집합이 대등한 반사적 집합이 존재할 수 있을까? 이에 대한 러셀의 반론이 유명한 러셀의 역설(Russell's paradox)이다.


 "최대기수에 관한 모순 contradiction of the greatest cardinal"에서도 논리형에 관한 이론이 필요한 것을 알 수 있다... 개체, 개체의 집합, 집합의 집합 등을 모두 하나로 묶으면 그것의 부분집합은 자신의 원소가 된다. 어떤 것이든 셀 수 있는 것은 모두 한데 묶어 하나의 집합으로 생각할 수 있으므로, 그 집합이 최대의 기수를 갖지 않으면 안된다. 실제로 그 집합의 부분집합은 모두 원래 집합의 원소이므로 그것의 부분집합의 수는 그들 집합의 원소의 수보다 크지 않다. 이는 하나의 모순이다... 모든 것을 한 묶음으로 한 매우 큰 집합은 자기 자신도 원소로 포함한다. 즉 '모든 것'이라는 것을 생각할 수 있다면 그 자신 역시 그 '모든 것' 중의 하나이므로, 그 '모든 것'의 집합의 원소가 될 것이다. 그러나 보통의 경우에서는 집합이 그 자신의 원소가 아니다. 예를 들면 인간의 집합, 즉 인류라는 것은 절대로 그것의 원소 어떤 한 사람의 인간이 아니다. 자신을 원소로 포함하지 않는 집합 전체를 생각하자. 틀림없이 이는 한 집합이다. 그러나 이 집합이 자신을 원소로 포함하는가? (p156) <수리 철학의 기초> 中

 

 당시 칸토어를 좌절시킨 이러한 러셀의 공격이었지만, 현대 수학에서는 칸토어의 초한기수나 러셀의 역설 모두를 집합론에서 받아들이지 않고 있다는 점만 간단히 참고하도록 하고 다음 내용으로 넘어가 보자. (칸토어와 러셀의 이야기는 만화 <로지코믹스>에서도 쉽고도 재미있게 읽을 수 있다)


 '순서수이다'라는 성질을 생각해보자. 만약 이 성질로 결정된 집합은 모든 순서수의집합이 될것이다. 하지만 잠시 숙고해보면 이 집합은 정렬집합으로서 모든 순서수보다 더 큰 순서수에 대응되어 모순이므로 존재될 수 없다. 비슷한 논리로 '자기자신을 원소로 가지지 않는 성질'도 집합을 결정할 수 없다. 왜냐하면 그렇지 않을 경우 A가 그러한 집합일 때 A가 A의 원소이기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아니라는 러셀의 역설(Russell's paradox)에 빠지기 때문이다. 따라서 어떤 대상의 모임이 어떤 한 성질에 의해 결정되더라도 이 모임을 항상 집합으로 간주할 수는 없다.(p1018) <The Princeton companion to Mathematics 1> 中


  <수리철학의 기초>는 초중반에 칸토어의 집합론에 대해 논박을 가하지만, 후반부에는 공격방향을 살짝 돌리는데, 그 대상은 바로 플라톤(Platon, BC 424 ~ BC 348)이다. 


 플라톤의 대화편 <파르메니데스 Parmenides>의 일절에 다음과 같은 논법이 있다.  만일 1과 같은 하나의 수가 있다면 그 수 1이 존재를 가지게 된다. 또한 그 수와 존재가 같은 것이 아니므로 1과 존재는 둘이 된다. 따라서 수 2가 된다. 이 2와 1의 존재를 합하면 3개의 원소를 갖는 집합이 된다. 이 같은 방법으로 이 논법을 끝없이 계속할 수 있을 것이다. 그러나 '존재'라는 말은 어떤 정해진 의미를 갖는 것이 아니고, 존재에 일정한 의미를 주었다 해도 수는 존재를 갖지 않기 때문에 이 논법은 잘못이다.(p158) <수리 철학의 기초> 中


 <수리 철학의 기초>의 마지막 부분에서 플라톤의 '존재' 증명 방식에 대한 비판과 함께 저자는 기술(description)에 대한 논의를 잠시 언급하고 책을 마무리한다.  


 대체로 다음 두 가지를 비교해야 한다. 즉 (1) 이름, 이는 단순한 기호이고 그 기호가 의미하는 개체를 직접 가리킨다. 그리고 다른 낱말의 의미와는 완전히 독립해서 오직 그 자신의 권리에서 그것의 의미를 가지고 있는 것이다. (2) 기술, 이는 미리 뜻이 정해진 몇 개의 낱말로 구성되며, 그 기술의 의미에 의해 생각되는 것은 모두 그것을 구성하고 있는 낱말의 의미에서 도출되는 것이다.(p202) <수리 철학의 기초> 中


 여기까지 읽고 나면, 한 가지 의문이 들 것이다. '이게 무슨 플라톤 비판이야?' 책을 보다 즐기기 위해 우리는 두 권의 책을 곁들어 읽을 필요가 있다. 러셀의 <서양 철학사>와 <철학의 문제들>이 두 권의 책인데, 해당 책들에서 '기술'과 관련한 부분을 옮겨본다. 


 우리가 표현하려는 것은, 가령 외국어로 번역될 잘 모르지만 어쨌든 실제의 언어가 매개물이 되고, 언어 자신이 그 부분이 되는 것은 아니다... 따라서 이름이 단지 이름으로만 쓰였다면 "스콧은 바로 그 월터이다"라는 명제도 "스콧은 스콧이다"라는 명제와 마찬가지로 자명한 사실을 공연히 반복해 표현하는 것이 된다.(p203) <수리 철학의 기초> 中


 기술 이론에 따르면 '존재'는 기술 어구를 통해서만 주장될 수 있다. 우리는 "<웨이벌리>의 그 저자는 존재한다"고 말해도 좋지만, "스콧이 존재한다"는 진술은 틀린 어법, 아닌 틀린 구문이다. 이로써 플라톤의 <테아이테토스>에서 시작된, '실존 existence'을 둘러싸고 2000년 동안 지속된 지리멸렬한 수수께끼가 풀린다.(p1033) <서양철학사> 中


 저자에 따르면 '스콧'이라는 존재는 소설가, <웨이벌리>의 작가, 영국인 등등 그를 설명하는 많은 기술 어구에 의해 설명된다. 때문에, "스콧이 존재한다"는 명제는 정의역과 역정의역이 '기술함수'에 의해 맺어진 관계로 분석되고, 이는 "황금산이 존재한다"는 것과 마찬가지로 명제의 참거짓을 판단할 수 없는 명제가 된다. 반면, "<웨이벌리>의 그 저자는 존재한다"의 명제는 정의역과 역정의역이 명제함수에 의해 맺어진 참,거짓을 판단할 수 있는 명제가 된다.


 

복합체가 요소들이 아니라면 복합체는 요소들을 제 자신의 부분들로 가지고 있지 않거나, 아니면 복합체가 요소들과 동일한 것이라면 그것들과 마찬가지로 인식될 수 있는 것이거나 할 게 필연적이지 않나?... 사태가 이렇게 되지 않도록 하기 위해 우리는 복합체를 요소들과 다른 것으로 놓았던 것 아니겠나?... 다음은 어떤까? 요소들이 복합체의 부분들이 아니라면 자넨, 복합체의 부분들이지만 그러면서도 복합체의 요소들이 아닌 그런 어떤 것들을 말할 수 있는가?...  그럼 테아이테토스, 전적으로 이렇게 될 걸세. 즉 지금의 논의에 따르면 복합체는 부분으로 나뉠 수 없는 어떤 단일한 형상일 걸세.(205b) <테아이테토스> 中


  <테아이테토스>에서 소크라테스는 복합체는 부분으로 나눌 수 없는 단일한 형상이라고 말한다. 이는 정의역과 역정의역이 1:1 관계를 맺는다는 의미이지만, 러셀에 따르면 이들은 '스콧은 존재한다'라는 틀린 진술을 하고 있는 것이다.(복합체의 존재성은 기술에 의해 설명되기에, 결코 단일하지 않다.)


 그렇다면, 러셀이 <수리철학의 기초> 나아가 <수학의 원리>를 통해 말하고 싶은 바는 무엇이었을까. 러셀과 화이트 헤드는 <수학의 원리>를 통해 모호한 언어 대신 수학의 질서를 통해 우리의 인식을 보다 명료하게 가져가려 했음을 짐작할 수 있는 다음의 구절을 마지막으로 수리 철학과 관련한 페이퍼를 갈무리한다.

 

 기술구들을 가진 명제들의 분석에서 기본적인 원리는 다음과 같다. "우리가 [오성에 의해] 이해할 수 있는 모든 명제는 우리가 직접 대면에 의해 인식한 요소들로 전부 구성되어야만 한다."(p97)... 기술구에 의한 간접적인 인식의 일차적인 중요성은 이러한 인식 방법이 우리의 사밀한 경험의 한계를 넘어설 수 있도록 해준다는 데 있다. 우리가 직접 대면하여 경험할 수 있는 용어들로만 전부 구성된 진리들은 우리가 직접 인식할 수 있다 해도, 우리가 경험하지 못한 사물들에 관해서는 기술구에 의해서 간접적으로 인식할 수 있다.(98) <철학의 문제들> 中


 PS. 이로써 홍성대의 <수학의 정석> 1장 집합 부분만 열심히 공부한 것으로부터 시작된 '집합은 쉬운 분야'라는 30년 동안 지속된 근거없는 내 자신감의 수수께끼가 풀렸다... 나는 집합을 제대로 몰랐던 것이다....


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나와같다면 2019-02-23 00:41   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
<수학의 정석> 1장 집합. 집합이 이렇게 아름답고 심오한 학문이라니..
요즘 수학의 정석을 다시 풀고싶은 생각이 들어요. 수학의 논리적 아름다움을 느끼며..
근데 사실 고등학생때는 수학과 안 친했습니다 ㅋ

겨울호랑이 2019-02-23 00:45   좋아요 1 | URL
^^:) 저를 포함한 대부분의 사람들이 나와같다면님과 같지 않을까요? 성적의 부담이 없다면 생각보다 수학이 재밌다는 것을 느끼는 요즘입니다.나와같다면님 평안한 주말 밤 되세요!

2019-02-23 01:00   URL
비밀 댓글입니다.

2019-02-23 01:05   URL
비밀 댓글입니다.

2019-03-02 11:26   URL
비밀 댓글입니다.

2019-03-02 15:38   URL
비밀 댓글입니다.

2019-03-04 17:46   URL
비밀 댓글입니다.

2019-03-04 18:35   URL
비밀 댓글입니다.
 


 괴델의 아이디어는 사실상 "S는 증명 불가능하다"는 문장 S를 만드는 것이었다. 잠깐 생각해보면 그런 문장은 참인 동시에 증명 불가능하다. 이런 문장을 수론의 언어 내에 짜 넣을 수 있었다는 것이 괴델의 놀라운 성취이다... 괴델의 두 번째 불완전성 정리는 "이론은 자신의 무모순성을 증명할 수 없다."는 것이다. 무모순인 공리계 T가 존재한다고 하자. 이것이 무모순임을 증명할 수 있을까? 괴델은 T가 무모순이면, "T가 무모순이다"라는 문장은 (수론의 문장으로 부호화했을 때) T로부터 증명할 수 없다는 것을 보였다. 따라서 "T가 무모순이다"라는 문장은 참이면서도 증명불가능한 문장이다.(p259) <Mathematics 2> 中 


<괴델의 증명>은 괴델(Kurt Godel, 1906 ~ 1978)의 불완정성 정리(Godel's incompleteness theorems)을 일반인들에게 소개한 책이다. 얇은 분량의 책이지만,  불완정성 정리의 전체적인 내용을 가늠할 수 있는 유용한 책이라 여겨진다. 책의 내용을 잠시 살펴보자. 

 

 괴델은 정리를 도출하기 위해 초수학(meta-mathematics 수학을 설명하는 언어)을 수학의 질서로 끌어들인다. 각각의 언어에 정수를 부여함으로써, 초수학적 개념을 수리적으로 증명하는 방식을 사용하여 괴델은 '임의의 산술공식 G는 증명될 수 없다는 것을 산술 공식 스스로 주장'하는 결론을 얻게 되었다. 


 사상(寫像 mapping)의 기본적인 특징은 다음과 같이 요약된다. 즉, '대상 object'의 한 영역에서 구체화된 관계의 추상적 구조가 다른 영역의 '대상' 사이에서도 유효하다는 것을 보여줄 수 있다는 점이다. 괴델이 그의 증명을 구축하는 데 바탕으로 삼았던 것도 바로 이런 특징이었다.(p83)... 괴델은 참값으로 진술된 어떤 초수학적 명제에 대응하는 산술 공식이나 그 명제의 부정 否定에 대응하는 산술 공식은 어떤 것도 산술 계산식 내에서 증명될 수 없다는 것을 보여주는 표현법을 고안했다.(p85) <괴델의 증명> 中


 괴델이 입증한 것은 무엇일까? 그가 얻은 주된 결론은 두 가지였다. 첫째로, 괴델은 산술 전체가 포함되는 포괄적 체계의 무모순성을 초수학적으로 증명하기란 불가능하다는 결론을 증명했다. 그런 증명을 가능하게 하기 위해서는, 산술 체계의 정리를 유도하는 데 사용되는 변형 규칙과 근본적으로 다른 추론 규칙을 사용해야 한다는 자체 모순이 있다.(p76) <괴델의 증명> 中


  괴델의 두 번째 결론은 더욱 놀랍고, 가히 혁명적이다. 공리적 방법에 근본적인 한계가 있는 사실을 증명해보였기 때문이다. 괴델은 <수학원리>를 비롯해서 산술학이 전개될 수 있는 다른 어떤 체계도 근본에서 불완전하다는 것을 증명했다. 달리 말하면, 모순되지 않는 산술 공리로 이루어진 임의의 집합이 주어질 때, 그 집합에서 유도될 수 없는 참값의 산술적 명제가 있다는 것이다.(p77) <괴델의 증명> 中


 '어떤 체계를 설명하는 명제의 무모순성을 그 체계 내에서 증명하는 것이 불가능하다'는 것으로 정리되는 '괴델의 증명' 를 바탕으로 서양 철학의 오랜 과제인 신 존재 증명(Proof for the Existence of God) 과제를 다시 살펴보자. 괴델의 신 존재 증명 식은 다음과 같다. 


공리1. (이분법) 속성은 그 부정이 부정적일 경우에만 긍정이다.

공리2. (닫힘) 속성은 긍정적인 속성을 가진 경우에만 긍정이다.

정리1. 긍정적 속성은 논리적으로 일관된다. (다시 말해 실례를 가질 수도 있다.)

정의. 모든 긍정적인 속성을 가지는 것만이 신적이다.

공리3. 신적이라는 것은 긍정적인 속성이다.

공리4. 긍정적인 속성이 되는 것은 (논리적으로) 필요하다.

정의. x가 P를 최소한으로 가지고 있을 경우에만 속성P는 x의 핵심이 된다.

정리2. x가 P를 최소한으로 가지고 있을 경우에만 속성 P는 x의 핵심이 된다.

정의. NE(x) : 핵심 속성을 가지고 있다면 x는 반드시 존재해야 한다.

공리5. 반드시 존재한다는 것은 신적이다.

정리3. 신적인 x는 반드시 몇몇 개가 존재한다. (p382) <신의 베틀> 中


  괴델의 신 존재 증명은 이처럼 '신적인 것은 몇몇 개가 존재한다'는 것으로 결론지어지지만, 이것이 신 존재를 증명하는 것이 아니다. 그것은 증명식 이전에 이미 '신(神)적인 것'에 대한 전제가 증명에는 포함되기 때문이다. 이러한 이유에서 위의 증명에서 일관성, 긍정성, 존재성 등을 신의 속성으로 받아들였을 때에만, 다음 공리와 정의로 넘어갈 수 있는 이 증명은 객관성과 타당성을 담보하기 어렵다는 생각을 하게 된다. 이와 관련하여 중세 철학의 신 존재 증명을 살펴보자. 


 켄터베리의 안셀무스(Anselmus Cantuariensis, AD 1033 ~ 1109)가 <모놀로기온 & 프로슬로기온 Monologion & Proslogion>에서 '존재하는 것들 중의 가장 좋은 것, 가장 큰 것, 가장 높은 것'을 신(神)이라 부르는 것에서 증명을 시작하고, 이러한 존재가 존재할 수 없다면 '완전'하지 않기 때문에 '존재한다.'는 내용으로 신 존재를 증명한다. 

 

 이 큰 선(善)은 모든 선이 그것을 통해 존재하기 때문에 그 자체를 통해 per se 선하다. 따라서 그 밖의 모든 것은 자기 자신과는 다른 어떤 것을 통해 선하고, 오직 이 큰 선만이 자기 자신을 통해서 선하다. 오직 그 자체를 통해 선한 것만이 바로 최고선(God)이다. 그러므로 최고선은 또한 가장 큰 것이기도 하며, 존재하는 모든 것들의 최고 summum omnium quae sunt 이기도 하다. (p19)...그리고 확실히 <그것보다 더 큰 것이 생각될 수 없는 어떤 것>은 단순히 지성 속에만 존재할 수 없습니다. 왜냐하면 만일 그것이 지성 속에만 존재한다면, 실제로도 존재하는 것이 생각될 수 있고, 이것이 [지성 속에만 존재하는 것보다] 더 큰 것이기 때문입니다.(p187) <모놀로기온 & 프로슬로기온> 中


 돌아가서, 괴델의 신 증명은 여기에서 크게 벗어나지 못했다는 생각을 하게 된다. 이보다는 '괴델의 불완전성 정리'에 의해 '신의 창조물인 인간은 인간과 자연을 설명하는 법칙을 포함하는 신 존재를 수학 공리 체계 내에서 모순성을 포함한 존재성을 증명하지 못한다'는 것이 더 어울리는 결론이 않을까 생각하게 된다.


 '괴델의 불완전성 정리'는 쉬운 내용이 아니기 때문에, 일반인이 그 내용을 온전히 아는 것은 불가능하다. 그렇지만, 개략적인 내용을 아는 것마저 불가능 한 것은 아니다. <괴델의 증명>은 이를 잘 보여주고 있다.


[사진] 가솔린 엔진( 출처 : https://www.britannica.com/technology/gasoline-engine)


 우리는 자동차 엔진의 부품과 기능에 대해 잘 모르지만, 별 불편함없이 운전을 한다. 알면 좋겠지만, 몰라도 목적지까지 가는 것에 큰 불편함은 없다. 마찬가지로, 우리가 수학에서 통찰력을 얻기 위해서 굳이 연습장과 연필을 꺼낼 필요는 없다고 생각된다. (수험생은 제외) 만화책을 읽듯이 편하게 수학책을 접했을 때, 우리는 더 넓은 세상을 만나는 것이 아닐까 생각해보며 이번 페이퍼를 마친다.


PS. 나는 만화책을 편하게 읽지는 못하는 편이다.


PS 2. 어떤 체계를 설명할 때 그 체계 내에서 해결하기 어렵다면, 한 걸음 떨어져서 바라보자. 이것은 '괴델의 불완전성 증명'이 우리에게 주는 다른 의미가 아닐까.


 옛날 중동지방의 어느 부유한 아버지가 세상을 떠나기 전 세 아들들에게 다음과 같은 유언을 남겼다.  "내가 17마리의 낙타를 물려 줄 터이니 맏이는 절반을 갖고 둘째는 1/3을 갖고 막내는 1/9을 갖거라.단, 반드시 산 채로 나누어 주어야 한다."... 고민하던 삼형제는 때마침 지나가던 상인으로부터 낙타 1마리를 빌려 유산을 나눌 수 있었다...


 공부가 안 되거나, 일이 잘 안 풀릴 때 그때는 잠시 바람을 쐬거나, 커피를 마셔보는 것이 어떨까. 잠시 주위를 환기 시킨 후 다시 일을 시작한다면 분명 다음과 같은 깨달음을 얻게 될 것이다. '아까 할 걸 ...'


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2018-07-05 14:07   URL
비밀 댓글입니다.

2018-07-05 14:13   URL
비밀 댓글입니다.

양철나무꾼 2018-07-05 14:25   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
‘아까 할걸...‘에서 빵 터져 웃습니다.
점심 먹고 잠이 쏟아지는 오후, 덕분에 경쾌하게 시작합니다.
일단 시원한 커피 한잔 마시고 잠을 깨볼려구요~^^

겨울호랑이 2018-07-05 14:30   좋아요 1 | URL
저도 친구에게 들은 농담이었습니다. 날이 많이 덥네요. 양철나무꾼님께서도 건강한 하루 보내세요^^!

북다이제스터 2018-07-05 19:58   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
우연찮게 요즘 저와 비슷한 소재 책 읽으셨습니다. ㅎㅎ

겨울호랑이 2018-07-05 20:01   좋아요 0 | URL
북다이제스터님께서는 워낙 다양한 분야의 책을 읽으시니, 북다이제스터님의 관심사가 아닌 책을 고르기가 더 어려울 것 같습니다^^:)

갱지 2018-07-05 20:07   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
모르겠지만 알 것도 같아요:-), 말그대로 모순 없는 체계 안에서 증명을 하다보면 그 체계가 모순일 수 있다는 거죠? 인간이 한자락 깔고 신을 증명하듯이... 제 짧은 머리로는 한계가 오네요. 후후
문득 괴델이라는 사람의 종교적 신실함이 궁금해지네요.


겨울호랑이 2018-07-05 20:19   좋아요 1 | URL
저도 ‘불완전성 정리‘를 완벽하게 아는게 아니어서 조심스럽지만, 제가 이해하기로는 체계 내에서 그 체계의 모순여부를 판단하는 것은 불가능하다는 것이기에 갱지님의 말씀과 큰 틀에서 일치되는 부분이 있다고 여겨집니다. 괴델의 삶을 보면 다른 논리학자들과는 달리 종교에 많은 관심이 있었다고 합니다.^^:)

서니데이 2018-07-05 21:34   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
마지막의 ˝아까 할 걸.˝ 같은 마음에 요즘 한 달 전으로 돌아가고 싶어집니다.
겨울호랑이님, 시원한 여름밤 되세요.^^

겨울호랑이 2018-07-05 21:37   좋아요 1 | URL
^^:) 제가 있는 곳은 비가 많이 오네요.. 뭐 지금 하는 것이 남은 인생 중 가장 빨리 하는 것이라니, 마음 편히 드시고 행복한 하루 마무리 하시길 바랍니다. 서니데이님 감사합니다^^:)

AgalmA 2018-07-05 22:00   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
도선생 작품 대부분이 그렇듯 <까라마조프 씨네 형제들>도 여전히 신 문제로 옥신각신 중ㅎㅎ
신이 있다 없다를 차치하고서 기독교적 세계가 그들의 종교를 믿는 자만 구원한다는 점에서 굉장히 폐쇄적이고 지극히 인간적 세계관이라는 생각이 들더군요. 모든 것을 포용하고 사랑하는(?) 신이라는 전제에 모순이 생겨요. 그러니 ˝신이 없다면 모든 것이 가능하다˝란 말이 나올 밖에^^;

겨울호랑이 2018-07-05 22:03   좋아요 1 | URL
^^:) 기독교 이외의 길이 있다는 것을 인정하는 기독교인들도 제법 알고 임습니다. 물론 아닌 분도 있겠습니다만. 신이 있다 없다의 문제보다 인간답게 사는 것이 더 중요하다는 생각을 해봅니다^^:)

겨울호랑이 2018-07-08 23:47   좋아요 1 | URL
‘신이 없다면 모든 것이 가능하다‘는 내용을 어디서 말이 들었다 생각했는데, 혹시 <죄와 벌>에 나오는 문장이 아닌가 싶네요...

AgalmA 2018-07-09 00:45   좋아요 1 | URL
<카라마조프가의 형제들>에서 자주 나오는 말입니다. 관념적 인간인 이반 카라마조프가 신을 부정하며 내세우는 논리죠^^ 무신론을 논할 때 철학이나 기타 인문학서에서 자주 인용되는 말이죠.

겨울호랑이 2018-07-09 00:28   좋아요 1 | URL
^^:) 그렇군요. AgalmA님 덕분에 이반도 알게 되네요. 저도 언제 기회가 되면 「카라마조프가의 형제들」을 읽고 싶어지네요^^:) 감사합니다. 다른 이야기지만, 아인슈타인의 ˝신은 주사위 놀음을 하지 않는다.˝는 말속에서 도박을 좋아했던 도스토예프스키가 갑자기 떠오릅니다. 혹시 그래서 ‘도선생‘은 아니겠지만요..

AgalmA 2018-07-09 00:34   좋아요 0 | URL
이번 주 내내 <카라마조프가의 형제들>을 읽고 있었어요. 당시 과학과 유럽 사상의 범람 속에 도선생이 인간의 휴머니즘을 살리고자 하는 노력이 많이 엿보이는 작품이죠. 거의 다 읽고 이제 리뷰를 써야 하는데 머릿속이 너무 복잡ㅎㅎ....겨울호랑이님도 무슨 책을 읽다가 생각나서 말씀하신 게군요~
그래서 도선생ㅋㅋ 역시 이름은 중요해ㅋㅋ 저도 어디서는 개장수의 뜻으로 불리는 건 아닌지ㅋ 그런 이름에 관련된 언어 유희들도 도선생 책에 많이 나와요ㅎ

겨울호랑이 2018-07-09 00:38   좋아요 1 | URL
그렇군요. AgalmA님 덕분에 읽고 싶은 책과 과제가 늘어났네요. 한 권 읽으면 보관함에는 세 권이 쌓이니 만년 독서수지는 적자입니다 ㅋㅋ

2018-07-06 13:10   URL
비밀 댓글입니다.

2018-07-06 14:29   URL
비밀 댓글입니다.

2018-07-07 07:11   URL
비밀 댓글입니다.

2018-07-07 09:09   URL
비밀 댓글입니다.

2018-07-10 18:43   URL
비밀 댓글입니다.
 

 '항우는 어렸을 때 글을 배웠으나 다 마치지 못한 채 포기하고 검술을 배웠다. 이 또한 다 마치지 못했다. 항량이 노하자 항우는 말했다. "글은 이름과 성을 기록하는 것으로 족할 따름입니다. 검 또한 한 사람만을 대적할 뿐이니 깊이 배울만 하지 못합니다. 만인을 대적하는 일을 배우겠습니다." 항량이 병법을 가르치자 항우가 크게 기뻐했다. 그러나 대략 그 뜻만 알고는 또한 끝까지 배우려 하지는 않았다.'<사기본기 史記 本記 >(항우項羽 p317) 


 마지막 문장은 사마천(司馬遷, BC 145 ~ BC93)이 항우의 인물됨을 비판하기 위해 넣은 문장일 가능성이 큰 것이 사실이다. 그렇지만, 다른 한 편으로 항량이 항우가 원하는 것을 가르치지 못한 것은 아닐까하는 생각도 들게 된다.  만약, 항우가 만인(萬人)이라는 모호한 표현 대신 보다 구체적인 수치을 제시해서 뜻을 명확히 했다면 자신이 원하는 것을 배우지 않았을까. 수학(數學)은 구체적인 수치를 제시하여 통해 우리로 하여금 양(量)을 가늠케 한다. 이러한 수학의 위상은 서구 문명에서 더욱 크다.


 '수학은 방법, 예술, 그리고 언어 이상의 것이다. 그것은 자연과학자와 사회과학자, 철학자, 논리학자 그리고 예술가들에게 도움이 되는 내용, 그리고 정치가와 신학자들의 교리에 영향을 주는 내용, 천체를 조사하는 사람들과 음악의 달콤함에 대하여 명상을 하는 사람들의 호기심을 만족시켜주는 내용, 그리고 비록 때로는 잘 지각되지는 않지만 현대 역사의 과정을 형성했음을 부인할 수 없는 내용으로 이루어진 지식의 총체이다.'(p24)


<수학, 문명을 지배하다 Mathematics in Western Culture>는 모리스 클라인(Morris Kline) 교수가 저술한 수학이 서구 문명에 미치는 영향에 관한 책이다. 음악, 미술, 물리, 경제 등 여러 분야와 수학이 어떤 관계를 맺고 있는가를 구체적으로, 그러나 어렵지 않게 서술하고 있다.  수학이 서구 문명에서 다른 분야와 어떤 관련이 있는가를 이번 페이퍼에서 구체적으로 살펴보자.


1. 미술 안의 수학 : 원근법


<수학, 문명을 지배하다>에서는 미술의 원근법에 대해 상세히 설명한다. '주 소멸점'이라고 불리는 한 점을 통해서 그림 감상자는 수직으로 그림과 만나게 되고, 주 소멸점을 중심으로 지평선이 뻗어가면서 구도를 잡게 된다. 또한, '주 소멸점'과 '대각선 소멸점' 사이의 관계 사이에도 원칙이 있는데, '등거리'와 '평행'의 원칙이 적용된다. 이러한 원칙하에서 실제와는 다소 차이가 있지만, 원근법을 통한 그림의 전체 구도가 잡히게 된다. 


[그림] 원근법


 '원근법의 수학적 주요 정리 또는 규칙은 무엇인가? 캔버스가 수직으로 놓여져 있다고 가정해보자. 눈에서 캔버스까지의 수직면은 주소멸점이라고 불리는 한 점에서 캔버스와 만난다. 주 소멸점을 통과하는 수평으로 된 선을 지평선이라 불린다. 그림에서 점P가 주 소멸점이며 선D2-P-D1이 지평선이 된다 ... 첫 번째로 핵심적인 정리는 그림 속에 있는 캔버스의 평면과 수직인 모든 지평선들은 주 소멸점과 만나도록 캔버스 위에 그려야 한다는 것이다. 그래서AA', EE', DD'와 다른 선들이 P에서 만나게 된 것이다...두 번째 정리는 AB'와 EK와 같은 선들은 실지 장면에서는 평행이며 캔버스의 면과는 45도의 각도로 점 D와 만나게 되는데, 이를 대각선 소멸점이라고 부른다. 여기서 거리 PD2는 거리 OP와의 거리, 즉 눈에서 주 소멸점까지의 거리와 같아야 한다... 세번째 정리는 캔버스 평면과 평행하는 장면의 평행 수평선들은 수평이면서 평행하게 그려야 하며 수직 평행선들은 수직이며 평행하게 그려야 한다는 것이다.'(p199)


[사진] 최후의 만찬( 출처 : https://brunch.co.kr/@bookfit/907)


 주 소멸점이 눈에서 캔버스까지의 수직면이라는 정의를 생각해본다면 대표적인 원근법 적용 작품으로 알고 있는 <최후의 만찬>을 우리는 현장에서 제대로 감상하지 못한다는 사실을 알 수있다. 아래에서부터 올려다 보는 관점은 원근법의 수학적 원칙을 위반한 감상관점이 아닌지 생각하게 된다.


2. 음악 안의 수학 : 푸리에 변환

 

'장 바티스트 조제프 푸리에 남작(jean Baptiste Joseph, Baron de Fourier, 1768 ~ 1830)은 물체를 가열했을 때의 열의 전달 방식을 연구하고 있었다. 그는 열이 퍼져 나가는 상태도 파동으로 나타낼 수 있었다. 푸리에가 관찰한 파동은 매우 복잡했지만 주기를 갖고 있었다. 즉, 같은 형태의 파동이 거듭하여 나타나는 것이었다. 같은 형태를 반복하는 주기를 가진 파동은, 아무리 복잡한 것이라도 단순한 파동이 결합해 이루어진다.'<수학으로 배우는 파동의 법칙>(p24)


 <수학으로 배우는 파동의 법칙>은 푸리에 법칙에 대해 그림과 함께 설명했기 때문에 푸리에 급수에 대해 보다 이해를 쉽게 한다. 주기를 가진 파동은 단순한 파동의 결합이라는 푸리에 법칙이 음악에는 구체적으로 어떻게 적용될 수 있을까? 


 '순수 수학의 정리라고 말하기에는 푸리에의 공헌이 너무나 단순한 것처럼 보인다. 그 정리에 따르면, 주기적인 음을 나타내는 공식은 a sin bx 형식에서 단순한 sin 항들의 총합이다. 게다가 a sin bx의 형태로 나타난 간단한 사인 항들의 빈도는 두 배, 세 배처럼 가장 낮은 것의 정수 곱으로 나타난다.(p413)... 그렇다면 푸리에의 정리는 물리학적으로 어떠한 중요성을 지니고 있는가? 수학적 언어로 보면, 이 정리는 어떤 음향의 공식이든 모두  a sin bx의 형태로 된 항들의 합이라는 것을 보여준다. 이 항들은 각각 적절한 진동과 진폭을 지닌 소리굽쇠의 소리와 마찬가지로 단순 음향을 나타내기 때문에, 이 정리에 따르면 아무리 복잡한 음향이라도 모든 음향은 소리굽쇠가 내는 소리인 단순 음향들의 결합으로 나타낼 수 있다는 것이다.'(p414)


[그림] 악기와 푸리에 변환(출처 : http://fluorf.net/lectures/lectures3_2.htm)


 악기로 연주할 수 있는 음(音)은 옥타브(octave : 주파수가 두 배 차이 나는 두 음 사이의 음정)으로 세분화할 수 있다. 이는 음을 sin과 cos함수로 분석할 수 있으며, 이는 음악을 수학적으로 표현할 수 있다는 것을 의미한다. 이는 음악과 AI(artificial intelligence)이 결합할 경우 '예술적 영감(靈感)'없이도 작곡이 될 수 있다는 것을 의미하기도 한다. 한편, 음사이의 수학적 관계는 피타고라스(Pythagoras, BC 582 ? ~ BC 497 ?)가 최초로 제시하였으며, 바흐(Johann Sebastian Bach, 1685 ~ 1750)에 의해 동일하게 조율된 음계가 제기된 이후 서양의 기본 음계로 자리잡게 되었다.


 '피타고라스의 발견에 따르면, 가장 듣기 좋은 코드, 즉 화음은 그 진동수가 단순 정수들의 비율이 되는 소리들로 구성된다. 예를 들어 장음 3도는 그 진동수의 비가 4대 5인 한 쌍의 음, 즉 음정이 된다. 4도는 그 진동수가 3 대 4인 음정이며, 5도는 2 대 3인 음정이다. 이들 화음이 우리 귀에 즐겁게 들리는 것은 화음의 고저 사이에 이와 같은 산술 관계를 인식하는 것으로 잘 설명된다... 각 음의 진동수가 고정되어 있는 피아노와 같은 악기들로부터 무한한  또는 아주 넓은 범위의 진동수를 창출하는 것이 불가능하기 때문에 동일하게 조율한 음계를 구성함으로써 그러한 어려움을 해결하였다. 바흐와 그의 아들 카를 필립 에마누엘이 이 음계를 주창하였으며, 이후 서구 문명은 이를 영구히 채택하기에 이른다.'(p420)


 동일하게 조율된 음계(평균율 平均律, Equal temperament)는 완전한 협화를 포기하고 모든 음의 간격을 동일하게 만든 음계를 말한다. 이러한 평균율을 사용하여 만든 대표적인 곡이 바흐의 <평균율 클라비어(Well-Tempered Clavier)>다.



 '동일하게 조율된 음계에는 12개의 음이 있다. C에서 한 옥타브 높은 C'까지는 12개의 음정이 있게 된다. 11개의 중간 음들의 진동은 고정되어 있으며 각 음들은 앞선 음과 일정한 비율을 가진다. C에서 C' 사이에 12개의 음정이 있고, 이 두 음의 진동 비율은 2이기 때문에 연속한 음들의 진동 비율은 (1.0594의 12승 = 2) 1.0594이다. 그러므로 반음으로 불리는 동일하게 조율된 음계에서 각 음정은 동일하다. 결과적으로 어떤 음이든 작곡할 때 조로 사용될 수 있다.'(p420)


  20세기에 들어 12음계를 사용한 기법은 아르놀트 쇤베르크(Arnold Schoenberg, 1874 ~ 1951)에 의해 더욱 발전하게 된다. 12음계의 수학적 의미는 다음과 같이 정리될 수 있다.

'음악의 패턴들, 특히 음의 높낮이와 리듬은 수학적으로 잘 설명할 수 있었고, 그중 일부는 대수적 논리로 다룰 수 있었다. 특히 12개의 똑같은 평균율의 음표체계는 자연스럽게 모듈러 연산을 이용하여 모형화되었고, 이는 조합론 명제들과 함께 20세기 음악이론에 사용되었다.(p439)... 아르놀트 쇤베르크(Arnold Schoenberg)의 12음계 작곡 기법은 1920년대 시작되었는데, 12음계 음악에서는 12음계를 똑같은 중요성을 가진다고 가정한다. 특히 장조나 단조에서 으뜸음처럼 특별한 위치를 차지하는 단음이 없다. 12음계 곡의 기본 요소는 음렬(tone row)로 반음계의 12음의 어떤 치환에 의해 주어진 수열이다. 일단 음렬이 선택되면, 네 가지 유형의 변환, 즉 조옮김, 전위, 역행, 역행, 역행전위에 의해 조작될 수 있다. 음악의 조옮김은 수학에서 평행이동에 해당한다.'<The Princeton companion to Mathematics>2(p445)

3. 경제 속의 수학 : 상관관계


 데카르트(Rene Descartes, 1596 ~ 1650)과 페르마(Pierre de Fermat, 1601 ~ 1665)는 현재 우리가 사용하고 있는 사분면과 방정식을 결합시키는 아이디어를 고안한다. 이는 기하학과 대수학이 결합하게 된 계기가 되었는데, 이 아이디어는  '일대일대응 一對一對應'에 기반한 수학적 사고다. 


 '데카르트와 페르마가 행한 아이디어의 핵심은 명백하다. 각 곡선에는 다른 점이 아닌, 그 곡선의 점만을 유일하게 나타내는 하나의 등식이 존재한다. 역으로 x, y와 관련된 각 등식은 x와 y를 점의 좌표로 해석함으로써 곡선으로 나타낼 수 있다. 공식화 하여 말하면, 어떤 곡석은 등신은 다른 점들의 좌표에 의해서가 아니라, 그 곡선상의 모든 점들의 좌표에 의하여 만족되는 대수식과 동일하다. 이제 등식과 곡선의 관련이 바로 새로운 사고의 핵심이다. 대수의 최선과 기하학의 최선을 결합함으로써, 데카르트와 페르마는 기하학적 도형을 연구하는 새롭고, 엄청나게 가치있는 방법을 가지게 된 것이었다.'(p244)


 '일대일대응 一對一對應'의 관계가 유지되는 자연법칙과는 달리 사회과학 속에서는  '일대다대응 一對多對應'의 관계가 성립되어 일반적인 공식을 유도하기 어렵다. 이러한 경우 수학적으로 '상관관계(Correlation Analysis)'를 분석하게 된다. 그리고, 상관관계 분석은 폭넓은 자료의 활용을 가능케하여 사회과학 발전에 이바지한다. 


 '골턴(Francis Galton, 1822 ~ 1911)은 상관관계라는 개념을 도입했다. 두 변수간의 상관관계는 둘 사이의 관계를 측정한 것이다. 이 측정치, 혹은 수치는 -1에서 +1까지의 값을 갖는 특별히 고안된 상관계수를 말한다. 1의 상관이 있으면 이것은 정적인 관계가 있다는 것을 나타낸다. -1의 상관이 있다는 말은 한 변수가 정확히 다른 변수가 변화하는 것과 반대로 변화하는 것을 뜻한다.(p490)... 상관관계라는 개념은 광범위하게 사용될 수 있다. 가령, 미국의 산업 생산 수준을 연구하기 위해서는 복잡한 자료를 수집하는 일이 필요하다. 그러나, 만일 산업 생산과 주식거래소에서 거래되는 주식의 수량 사이에 높은 상관 관계가 있다면, 그 중에서 더 쉽게 얻을 수 있는 자료, 즉 주식의 수량을 이용할 수 있다.'(p491)


4. 물리 속의 수학 : 상대성 이론


 현대 물리학은 수학없이는 성립하지 않는다. 현대 물리학에서 가장 대표적인 아인슈타인(Albert Einstein, 1879 ~ 1955)은  그의 '상대성 이론 (theory of relativity)'을 적절한 함수의 선택을 통해 훌륭하게 증명했음을 이 책을 통해 확인할 수 있다.


 '행성의 위치는 네 개의 좌표를 사용함으로써 구체화된다는 것에 주목해보자. 네 개의 좌표 중 세 개는 공간 속의 위치에 해당하는 것이며, 나머지 하나는 그 위치를 사건이 점유하게 되는 시간을 뜻한다. 연속적인 위치는 4차원 수학적 세계의 곡선상에 놓여 있다. 아인슈타인이 각 행성의 "경로"가 그 결과로 형성된 기하학에서 최단 거리를 나타내는 선이 되도록 공간-시간차에 대한 공식을 선택했다는 데에 그의 위대함이 있는 것이다.'(p607)


 '산맥 속에 있는 산들의 형태 차이가 지구 표면상의 최단 거리를 나타내는 선을 다양하게 만들어내듯이, 공간-시간 간격에 대한 공식 속에 적절한 함수를 선택함으로써, 아인슈타인은 물리적 세계의 질량의 존재가 그 질량 주변의 공간-시간과 최단 거리를 나타내는 선의 성격을 결정하도록 자신의 공간-시간을 만들었던 것이다. 지구 표면 근처의 물체들은 이 지역의 공간-시간의 최단 거리를 나타내는 선을 따르는 것뿐이므로, 그 경로를 설명하는 데에 만유인력 같은 것은 전혀 필요 없게 된다.'(p608)

 

<상대성 이론>에서 각 행성의 경로가 최단 거리를 나타낸다는 선이 되도록 아인슈타인이 설명했으나, 현대 양자 이론에서는 행성의 경로(빛의 경로)가 확률적으로 결정됨을 설명한다. 이와 관련하여 파인만(Richard Phillips Feynman, 1918 ~ 1988)의 <일반인을 위한 파인만의 QED강의>를 참고해도 좋을 것 같다.


 이처럼 <수학, 문명을 지배하다>에는 수학이 서구 문명에 미치는 영향에 대해 쉽지만, 구체적으로 살펴보고 있어 흥미롭게 읽을 수 있는 책이다. 다만, 영문 제목과 다른 제목 번역은 책 내용과는 다소 떨어진 느낌이 들어 아쉽다. 또한, 수학자인 저자의 한계일까. 수학이 발달하지 못한 로마 문명은 창조적인 문명이 아니라 빌려온 문명이라는 저자의 비판은 쉽게 공감하기 힘들다.


 '경영과 관리 및 정복에 모든 힘을 쏟아부었고, 아름다운 아치 밑을 통과하는 군대의 개선 행진으로만 상징되는 것은 아니겠지만, 어쨌든 둔감한 사람의 상징으로 묘사되는 로마인들은 실용적인 정신의 소유자였다. 그러나 이들은 진정으로 창조적이고 독창적인 것을 거의 만들어내지 못했다. 간단히 말해 로마 문화는 빌려온 것들이다. 로마의 통치 시기에 이루어진 대부분의 업적들은 모두 로마의 정치적 지배를 받고 있던 소아시아의 그리스인들이 이룬 것이기 때문이다.'(p28)


  다소 공감하기 어려운 부분도 있지만, <수학, 문명을 지배하다>속에서 우리는 수학이 서구 문명의 근원이었음을 우리는 확인하게 된다. 서구 문명에 대한 수학의 이러한 공헌에도 불구하고, 지나친 추상화를 통한 관념(觀念)화와 동떨어진 이론화는 우리가 경계해야할 부분이라고 여겨진다. 마지막으로, <수학, 문명을 지배하다>를 읽으며 떠오른 우화하나를 옮겨본다. 


'수학의 추상적 정리들과 그것들을 적용하는 것과의 관련에 대하여 또 다른 점을 짚고 넘어가야 한다. 추상적 정리들은 이상적인 경우를 진술하는 것인 반면에, 그것이 적용되는 물질적 상황은 이상과는 거리가 멀다는 것을 염두에 두는 것이 매우 중요하다는 사실이다.'(p84)


'어떤 사람이 황금 알을 낳는 예쁜 암탉 한 마리를 갖고 있었다. 그는 암탉의 몸속에 금덩이가 들어있는 줄 알고 암탉을 죽였다. 그러나 그 암탉은 여느 암탉과 똑같았다. 그는 단번에 부자가 되려다가 가지고 있던 작은 이익마저 잃고 말았다.'<이솝 우화> 황금알을 낳는 암탉 (p313)


 원래 위의 우화는 지금 가지고 있는 것에 만족하라는 의미를 가지고 있지만,  <수학, 문명을 지배하다>를 읽으면서 조금은 다른 관점에서 생각하게 된다. 달걀을 낳는 닭도, 황금을 낳는 닭도 결국 같은 닭이었던 것처럼 음악, 미술등의 예술, 사회과학, 자연과학 등의 서구 문명에서의 여러 분야가 '수학'이라는 하나의 원리로 수렴되는 것은 아닌가하는 다소 엉뚱한 생각을 하며 이번 페이퍼를 마친다.


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2017-09-05 17:58   URL
비밀 댓글입니다.

2017-09-05 18:06   URL
비밀 댓글입니다.

cyrus 2017-09-05 18:28   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
아인슈타인이 대학생이었을 때 교수랑 친하지 않아서 수학 공부에 흥미를 잃었다고 해요. 그래서 수포자가 되어 물리학 공부에 전념했어요. 수학 성적 때문에 졸업을 못했어요. 상대성 원리에 수학의 원리가 들어있는 걸 보면 아인슈타인은 ‘게으른 천재’인 것 같습니다. ^^

겨울호랑이 2017-09-05 18:32   좋아요 0 | URL
그렇군요..^^: 수학을 그렇게 싫어하고 못했던 사람이 수학으로 자신 사상의 체계를 설명한 것을 보면 수학이 생각보다 가까운 학문이라는 생각도 하게 되네요^^:

AgalmA 2017-09-08 21:43   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
미켈란젤로의 다비드상이 아름다운 남성 나체상으로 가십처럼 회자되지만 현장에서 보면 각도에 따라 매우 다르게 보입니다. 표정이 우아함과는 거리가 먼 사뭇 위협적이죠. 시선이 향하는 방향도 의미가 있고요. 자세한 내용은 <우아한 관찰주의자> 참조ㅎ 본문에서 겨울호랑이님이 최후의 만찬을 공간까지 가져와 설명하셨듯이 많은 경우 공간을 감안하지 않고 평면적으로 예술을 감상할 때 애초에 예술가가 의도한 것과 매우 달라질 수 있죠. 우리는 손쉽게 감상의 자유를 말하고 있지만 작품의 제반적인 정보뿐 아니라 실재에서도 협소한 단면만 소화하고 있다고 볼 수도 있단 얘기죠. 그런 의미에서 음악이 가장 추상적이라는 말은 아주 의미심장하죠. 수학처럼 확고한 틀을 가지고 있으면서 무한한 의미를 품는다는 것이....

그나저나 바꾸신 연의 사진 보니 맘도 환해지네요 :) 성공!

겨울호랑이 2017-09-08 21:45   좋아요 1 | URL
^^: 그렇겠군요. 그래서 미술 작품 감상을 직접 발품을 팔면서 한다는 것을 느끼게 되네요.. 다른 한편으로는 음악은 연주자에 따라 달라지기에 시간과 공간 제약을 미술보다 더 많이 받기도 한다는 생각도 드네요^^: 이성적인 면에서부터 감성적인 면을 표현한다는 면에서 음악의 옥타브와 미술에서 색채가 통한다는 생각도 하게 되네요^^: 장난꾸러기 연의지요 ㅋㅋ

2017-09-09 23:15   URL
비밀 댓글입니다.

2017-09-09 23:21   URL
비밀 댓글입니다.
 















1. 불가능성 정리 不可能性定理 imposibility theorem


결론 : 바람직한 성격을 두루 갖춘 사회후생함수가 존재하지 않는다.


1950년대 초 경제학자 애로우 Arrow, K. J. 는 사회적 선호체계가 가져야 할 바람직한 성격으로 다음 네 가지 공리(aixom)를 제시한다.


1) 완비성 完備性(completeness)과 이행성 移行性(transitivity) : 모든 사회적 상태를 비교, 평가할 수 있어야 하며, a,b,c 라는 세 사회적 상태에 대해 a를 b보다 선호하고 b를 c보다 선호한다면 a를 c보다 선호해야 한다.


2) 파레토 원칙(Pareto principle) : 이 사회의 모든 사람이 a를 b보다 더 선호하면 사회도 a를 b보다 선호해야 한다.


3) 非독재성(non-dictatorship) : 이 사회의 어느 한 구성원의 선호가 전체 사회의 선호를 좌우해서는 안 된다.


4) 제3의 선택가능성으로부터의 독립(independence of irrelevant alternatives) :  a와 b의 두 사회적 상태를 비교한다고 할 때, 이들과 직접 관련이 없는 제3의 선택 가능성 c의 존재는 이들 사이의 선호순위에 아무런 영향을 주지 않아야 한다.


애로우는 이 중 공리 1), 2), 4)를 모두 만족시키는 사회적 선호체계는 반드시 공리3)을 위배하게 된다는 것을 증명했는데, 이것이 바로 불가능성정리의 핵심이다.(p571)


PS. 애로우의 이론은 후진국에서 '개발독재론'을 주장할 때 활용되는데, 사회발전을 이루기 위해 독재는 필요하다는 것이 이들의 주장이다. 그렇지만, 이것은 논리적으로 모순된다. 공리 1), 2), 4)를 만족시키는 체제는 반드시 공리3)을 위배하지만, 독재성을 만족시키는 체제(공리3 위배)가 공리 1), 2), 4)를 만족시킨다는 내용이 애로우의 이론이 아니기 때문이다. 우리는 독재가 아니라 사회적 후생에 대해 '최선이 아니면 차선'의 선택을 해야 된다. 















2.  롤스(J.Rawls) 최소극대화원칙 最小極大化原則(Maximin Principle)


결론 : 어떤 사회의 후생수준은 그 사회에서 가장 못사는 사람의 효용수준에 의해 결정된다.


SW= min(UA, UB) 


최소극대화의 규칙에 의하면 여러 대안의 우열을 대안들이 가져올 가능한 최악의 결과에 따라 가리는 것이다. 즉 우리는 어떤 대안의 최악(최소)의 결과가 다른 대안들이 갖는 최악의 결과에 비해 가장 우월한(극대화) 경우에 그 대안을 채택하게 된다는 것이다.(p216)



            [그림] 최소극대화의 규칙( 출처 : <정의론> )


위의 그림에서 이득(G)은 개인의 결정(D)과 상황(C)에 달려 있다. 따라서 G=f(D,C)가 된다. 최소극대화의 규칙은 우리가 세 번째 결정을 내리도록 요구한다. 이 경우에 최악의 상황은 5이며 이는 다른 결정을 내렸을 경우에 일어나는 최악의 것보다 나은 것이 되기 때문이다... "최소의 극대화Maximin" 이라는 말은 최소중의 최대Maximum minimorum를 의미하는 것인데 , 제시된 행동을 취할 때 일어날 수 있는 최악의 경우에 주목하고 그에 비추어 결정을 하라는 것이다.(p216)













3. 물리학 속의 대칭성 : 불변성과 자연법칙


'우리는 현재 모든 자연현상의 배후에 있는 자연의 네 가지 기본 힘들 가운데 하나가 중력이라고 믿고 있다. 20세기의 가장 위대한 지적 업적 가운데 하나는 수학자 에미 뇌터가 밝힌 동적인 힘과 추상적인 대칭성 사이의 관계다. 물리법칙들은 정상적인 공간의 모든 부분에서 동일하게 적용되기 때문에 평행이동 대칭성을 가지고 있다. 또 평행이동 대칭성은 근원적으로 운동량 보존법칙의 결과로 나타난다. 이것은 시간의 평행이동에 대해 대칭적임을 의미한다. 이 경우 또 다른 보존법칙인 에너지보존법칙을 얻을 수 있다.'(p50)




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꿈꾸는섬 2017-04-15 17:49   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
겨울호랑이님 너무 재밌게 읽었어요. 와, 명료하네요.

겨울호랑이 2017-04-15 17:53   좋아요 0 | URL
감사합니다.^^: 꿈꾸는섬님. 사전을 옮겨다 적어서 명료해졌습니다.ㅋㅋ

서니데이 2017-04-15 20:58   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
미시경제학은 경제학 교과서로 많이 보는 책 같은데, 맞는지 모르겠습니다.^^
겨울호랑이님, 즐거운 주말 보내세요.^^

겨울호랑이 2017-04-15 21:00   좋아요 1 | URL
네^^: 대학생들이 학부 때 보는 책입니다. 서니데이님도 즐거운 주말 되세요