우주론의 핵심적인 쟁점은 우주의 시작이 있었는지 혹은 없었는지에 관한 것이다. 이 특이점은 단순히 물질의 시작이 아니다. 이것은 공간의 시작이자 시간의 시작이고 물리학 자체의 시작이다. 즉 모든 것의 존재의 시작이다. _ 니콜라스 하이엄 외, <프린스턴 응용수학 안내서 1> , p933
제프리 R. 윅스(Jeffrey R. Weeks)의 <우주의 모양 The Shape of Space>은 위상수학의 곡면, 다양체에 대한 설명으로부터 우주의 기원, 모양에 대해 설명하는 위상수학, 우주학 입문서다. 여러 그림과 사이트를 통한 인터넷 자료 제공으로 최대한 독자의 이해를 도우려 애쓴 노력이 담긴 책이다. 그럼에도 대다수 사람들에게 위상수학은 낯선 분야이기에 내용이 어렵게 느껴지는 것은 어쩔 수 없는 부분이라 여겨진다.
저자는 에드윈 A. 애벗(Edwin A. Abbott, 1838 ~ 1926)의 전설적인 수학 소설 <플랫랜드 Flatland: A Romance of Many Dimensions>의 상황을 빌려와 설명하는데, 결론적으로 추정되는 우주의 모형은 타원형 기하(a+b+c>180, 삼각형 내각의 합이 180보다 큰 기하), 유클리드 기하(a+b+c=180), 쌍곡형 기하(a+b+c<180)로 압축시킨다. 그리고 이로부터 유력한 모형인 삼차원 토러스(3-torus)를 소개한다.
[그림] 3차원 토러스(출처 : 위키백과)
만약 우주가 타원형 기하를 가진다면 우주는 닫혀 있어야 합니다. 반면 우주가 유클리드 혹은 쌍곡형 기하를 가진다면, 우주는 닫혀 있을 수도 있고 열려 있을 수도 있습니다. _ 제프리 R. 윅스, <우주의 모양> , p231
1890년에 클라인은 훨씬 더 일반적인 해를 발견했는데, 그것은 다중연결된 우주입니다. 다중연결된 삼차원 다양체 중 가장 단순한 것은 바로 삼차원 토러스입니다. 대략적으로 말하자면, 삼차원 다양체가 다중연결되었다는 것은 그 다양체 안에서 자신의 다중상을 보게 된다는 것입니다. 닫힌 삼차원 다양체 중 삼차원 구를 제외한 모든 것은 다중연결된 것입니다. 유명한 푸앵카레의 추측은 더 이상의 예외는 존재하지 않는다는 것을 주장합니다. _ 제프리 R. 윅스, <우주의 모양> , p240
저자가 삼차원 토러스를 기본 모델로 설명한 것은 무한히 많은 방향에서 자신을 발견할 수 있는 구조(다중연결)를 갖기 때문으로, 적어도 이러한 구조를 갖는다는 것은 '균질성'과 '등방성'이라는 최소한의 기준을 갖췄다는 것을 의미한다. 그럼에도 불구하고, 책의 결론은 '우주의 모양을 확신할 수는 없다'는 것으로 내려진다.
관찰을 통해, 우주에서 적어도 우리가 볼 수 있는 부분은 균질하며 등방적이라는 사실을 알 수 있습니다. 균질성은 우주의 어떤 두 지역도 기본적으로는 똑같다는 말입니다. 물론, 상당히 큰 규모로 볼 때 말입니다... 등방성은 우리가 우주의 어디에 있든지 간에 기본적으로는 모든 방향이 똑같아 보인다는 것입니다. 등방적인 우주는 반드시 균질합니다.(p224)... 다행히도 우리가 고려해야 할 균질하고, 등방적인 국소적 기하는 세 개밖에 없습니다. 즉, 타원형 기하, 유클리드형 기하, 그리고 쌍곡형 기하입니다. _ 제프리 R. 윅스, <우주의 모양> , p225
중력은 전체적으로 우주를 지배한다. 충분히 큰 규모에서 관찰된 우주는 공간적으로 균일하고(공간의 어떤 점도 다른 점보다 선호되지 않는다) 등방성(어떤 방향도 다른 방향보다 선호되지 않는다)인 로버트슨 - 워커(Robertson-Walker)메트릭에 의해서 잘 설명된다. 메트릭은 시간에 종속적이다. _ 니콜라스 하이엄 외, <프린스턴 응용수학 안내서 1> , p931
우리는 우주의 모양을 3개의 공간과 1개의 시간을 통해 설명한다. 이른바 시공간(Space-Time)은 빅뱅(Big Bang)과 함께 태어났고, 약 46억년 이전(빅뱅 이전)의 세계는 알 수 없다는 점에서 우주는 무한(無限)이라 하겠다. (동시에, 우주의 나이가 46억년이라는 사실은 우주의 유한성을 의미한다). 우리가 가진 도구로는 우주의 온도가 충분히 내려간 탄생 이후 38만년 정도부터 관찰할 수 있을 뿐이다. 관찰의 한계점이 존재하기에 우리는 추정할 수 밖에 없다.
이상한 사건들이 빅뱅 직후 수 억 조분의 일 초 사이에 일어났습니다. 온도, 압력 그리고 밀도가 엄청나게 높았는데, 무한이라고 말할 수 있을 정도였습니다. 이러한 조건에서는 중력이 양자의 특성을 띠게 되지만 중력에 대한 양자이론은 아직 없습니다. 따라서 우리는 빅뱅 직후의 우주가 어땠는지 알 수 없습니다. _ 제프리 R. 윅스, <우주의 모양> , p237
우주는 팽창하면서 식었습니다. 빅뱅으로부터 약 30만 년이 지나자, 우주는 뜨거운 플라즈마가 기체로 응축될 수 있을 정도로 식었습니다. 우주는 투명해졌고, 따뜻하지만 맑은 수소와 헬륨으로 채워지게 되었습니다._ 제프리 R. 윅스, <우주의 모양> , p251
이러한 한계점은 왜 생겨나는가. 그것은 우리가 우주에 대해 알아내는 방식이 '빛'에 의한 '시간 안'에서의 관찰이기 때문이다. 관찰은 눈으로 들어오는 빛으로 이루어진다. 또한 빛은 결코 '광속 光速'이라는 '절대수치'를 넘어설 수 없다. 이로부터 우리의 관찰을 통한 우주 모형의 증명은 한계점을 갖고 출발한다. 시간적으로는 '시간 탄생 이전'을 규명하지 못하며, 우주 공간의 팽창 역시 설명할 수 없다. 몇 억년 이전 출발해 관측된 '빛'으로부터 우리가 알아낼 수 있는 사실은 '허블의 법칙 - 우리은하에서 거리가 먼 은하일수록 더 빠른 속도로 우리은하에서 멀어지고 있다 - '를 확인하는 정도다. 또한, 관찰된 결과는 오히려 더 큰 수수께끼를 던져주는데, 천구의 모든 방향에서 거의 같은 온도의 빛이 관측된다는 것은 이에 대한 좋은 예가 된다. '우주초단파배경복사'가 던져주는 이러한 의문은 기존의 빅뱅 모델이 갖는 한계점 - 지평선 문제 - 와 연결된다.
실제 우주의 좋은 모형이 되기 위해서 우주 모형은 천문학적인 관측에서 옳은 결과를 예측해야만 한다... 우주론적 관측과 관련하여 핵심이 되는 물리량은 적색편이, 면적 거리(혹은 겉보기 크기), 거리의 증가에 대응하는 국소적 부피가 있다. 발산된 빛에 대한 관측된 빛의 비율이 모든 파장에서 같다는 점은 적색편이의 핵심적인 특징이다. _ 니콜라스 하이엄 외, <프린스턴 응용수학 안내서 1> , p933
원래 우주의 온도는 기체로 응축하기 시작한 때의 플라즈마와 같은 약 3000K였습니다. 그러나 우주는 그때부터 지금까지 약 1100배로 팽창했고, 3000K의 적외선 광자로 파장이 늘어나서 차가운 2.7K의, 즉 절대 영도보다 2.7도 높은 초단파가 되었습니다. 이것이 우주초단파배경복사 Cosmic Microwave Background[CMB] radiation입니다. 그것은 현재 1세제곱센티미터 당 약 400개의 광자 밀도로 전체 우주를 채우고 있습니다. _ 제프리 R. 윅스, <우주의 모양> , p253
이러한 '지평선 문제'에 대한 해답을 인플레이션 (Inflation 급팽창)이론이 내놓으며1980년대부터 제기되어 현재 주류이론이 되었지만, 이에 대한 반론이 없는 것은 아니다. 대표적인 인물이 2020년 노벨 물리학상을 수상한 로저 펜로즈(Sir Roger Penrose, 1931 ~ )다.
구조의 형성과 관측 환경에 영향을 주는 근본적인 성질 중 하나는 원인이 되는 영향이 빛의 속도보다 큰 속도로 전파되는 것이 불가능하기 때문에 나타나는 한계이다. 그러므로 우리에게 원인이 되는 영향을 줄 수 있는 영역은 과거 영원뿔에 의하여 경계가 만들어진다. 우주의 나이가 유한하다는 것과 같이 고려하면, 위의 한계는 인과적으로 연결이 가능한 우주 영역의 경계가 되는 입자 지평선의 존재성을 알려준다... 지평선의 중요성은 두 가지이다. 지평선은 구조와 균일성의 근원과 관계되는 인과 한계성의 근본이 되고, 우주에서 실험할 수 있는 것의 절대적인 한계를 나타낸다. 우주의 초지평선 구조에 관한 현재의 많은 추측은 관측을 통하여 확인할 수 없다. 왜냐하면, 가시 지평선 너머에 있는 것과 관련된 어떤 분명한 정보도 얻을 수 없기 때문이다. _ 니콜라스 하이엄 외, <프린스턴 응용수학 안내서 1> , p934
<실체에 이르는 길>에는 인플레이션 이론에 대한 부정적인 의견이 근거와 함께 자세히 담겨있다. 이러한 그의 학문적 입장은 전체적으로 '대칭(對稱, symmetry'에 부정적인 그의 전반적 성향과도 맞닿아 보인다. 존 러스킨(John Ruskin, 1819 ~ 1900)은 '아름답움이 진실이고, 진실은 아름답다'고 했지만, 매끈한 대칭 보다는 복잡한 프랙탈(fractal)구조를 더 선호하는 펜로즈의 비판을 초끈이론, M이론 역시 피해가지 못한다. 과학계에서 유행처럼 등장하는 새로운 이론에 비판적인 펜로즈의 입장은 <실체에 이르는 길>의 별도의 리뷰에서 다루기로 하자. 여기서는 펜로즈가 정리한 인플레이션 이론의 대강만 챙기자.
구스(Alan Guth)의 인플레이션(급팽창) 이론이 알려진 후, 사람들은 우주의 '급팽창 시기'가 우주의 균질성과 관련되어 있다는 사실을 깨닫게 되었다. 우주는 놀라울 정도로 균질하며 매우 큰 스케일에서 공간적으로 평평하다. 이것은 우주론학자들에게 커다란 수수께끼였다... 표준모형에서 열화에 꼭 필요한 인과적 상호교신이 불가능하기 때문에 나타나는 문제를 '지평선 문제'라고 한다.... 인플레이션의 또 다른 장점은 물질의 분포와 시공간의 기하학적 구조가 균일한 이유를 설명해 준다는 점이다. 이것은 '매끈함 문제 smoothness problem'로 알려져 있다. _ 로저 펜로즈, <실체에 이르는 길 2> , p389
<우주의 모형>에서 언급한 우리 우주의 모형은 대단히 추상적이다. 추상적일 뿐 아니라 증명하는 것도 불가능해 보인다. 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 괴델의 불완전성 정리(Godel's incompleteness theorems)처럼 우주 안에 살고 있는 우리가 우주의 한계 너머를 규명한다는 것은 어쩌면 영원히 불가능할 것이다. 때문에, 더 많은 현상을 설명하는 이론이 백가쟁명(百家爭鳴)처럼 펼쳐지는 것이 아닐까. 우주의 모양을 단적으로 아는 것도 좋겠지만, 이러한 이론 등을 배우는 과정에서 팽창하는 우주와 함께 우리 자신도 커나가는 것에 의의를 두는 것 역시 그리 나빠 보이지는 않는다. 개인적으로 위상수학을 잘 알았더라면 <우주의 모양>을 더 깊이 있게 이해했겠지만, 일단 이 정도로 내용 정리하는 것으로 마무리 짓는다...