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기하학에서 가장 대단한 법칙이 바로 이 법칙(법칙 44)이다. 그 까닭은 다음 사항들을 고려하면 알 수 있다. (1) 여기서 얻은 결과는 매우 중요하다. 이떠한 모습의 평행사변형을 주든, 그것과 각들의 크기가 같고 넓이가 같으면서, 주어진 직선을 한 변으로 가지는 평행사변형을 만들 수 있다. 예를 들어 단위 길이가 한 변이 되도록 할 수 있다. (2) 이 법칙은 아주 간단한 방법을 쓰고 있다. 즉, 평행사변형의 맞모금에서 만든 평행사변형들을 빼고 남는 것들은 넓이가 같다는 성질을 적용한 게 전부이다.  - P296


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점이란 쪼갤 수 없으며 어떤 위치가 있는 것이라고  아리스토텔레스는 생각하였는데,  점이란 물체가  아니며 무게가 없다고 말한 것을 보면 (Decaelo), 이 개념을 더욱 분명히 알 수 있다. 그리고 점과 그 점이 놓여 있는 위치는 구별할 수 없다(Physica). 아리스토텔레스는 한없이 작아서 쪼갤 수 없는 점에서, 유한한 크기의 쪼갤 수 있는 양으로 넘어가는 과정을 설명하는 것이 어려움을 깨달았다. 점이란 쪼갤 수 없으며, 점을 아무리 많이 모으더라도 쪼갤 수 있는 어떤 양이 될 수 없다. 반면에 선은 쪼갤 수 있는 어떤 양이다. 그러므로 점들은 선과 같이 이어진 것을 만들 수 없으며, 점과 점은 서로 이어지게 할 수 없다고 주장하였다. 그러므로, 선은 점들을 가지고 만든 것이 아니다(Physica) - P5


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도형이 쉬워지는 인도 베다 수학 - 기적의 연산법 인도 베다 수학
마키노 다케후미 지음, 고선윤 옮김, 노마치 미네코, 비바우 칸트 우파데아에 감수 / 보누스 / 2009년 2월
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구판절판


빠르게 풀기가 아닌 생각하며 풀기를 설명한 수학책.

쉬운 사칙연산을 주제로 수식의 의미를 찾아들어간다. 전통적인 마방진의 숫자로부터 무한수열을, 무한수열의 숫자들의 질서를 기하학적으로 표현하면서 마치 어린 시절 만화경을 보는 느낌을 선물한다.

책에서는 곱셈법을 유형별로 구분 제시하고 있지만, 크게 도형을 이용한 풀이법을 이해하면 좋을 듯 싶다. 본문에서는 47*43을 그림으로 설명하여 직관적으로 이해를 돕는다. 개인적으로는 아래처럼 계산하지만, 이는 크게 학교에서 배우는 방식과 차이가 없어 보인다. 아래 수식이 ‘추상☞추상‘으로의 전환이라면, 인도 수학은 대수학과 기하학이 결합된 ‘추상+구체‘라는 느낌을 받는다.

47*43=(50-3)*(50-7)=50*(50-7-3)+(3*7)=2000+21=2021

책을 읽으며 인도가 수학 강국인 이유에 대해서도 생각을 해본다. 우리가 학교에서 배우는 풀이 방식은 분명 더 빠르다. 그렇지만, 그만큼 관념적인 수학에 머무르고 있는 것은 아닐런지. 대신, 인도 수학의 방식을 통해서는 직관적으로 관념이 현실화되는 과정을 이해한다는 점에서 보다 장점이 있다.

19단을 외우는 인도. 19단표에서 보여지는 보다 넓어진 시야만큼 현실에 적용하는 인도 수학. 이것이 인도가 IT 강국인 진정한 이유가 아닐까...

잠시 머리를 식히는 겸해서 수학책을 들여다 보면서 예전 학창시절에는 채 느끼지 못했던 즐거움을 잠시나마 맛본다...


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미미 2021-04-29 19:35   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
인도는 우리같은 구구단이 아닌 두자릿수 19단을 외운다던데요.
그런 면에서도 솔깃해요ㅋㅋ그런데 저자는 의외로 일본인이네요?

겨울호랑이 2021-04-29 19:43   좋아요 2 | URL
책에는 구구단을 손가락으로 외우는 방법이 소개되어 있는데, 아마 19단도 그런 방식이 있지 않을까 생각해 봅니다. 인도대사관 공인 수학책이라고 설명되어 있는데, 미미님 말씀대로 저자는 일본인이더군요. 일본 번역 문화가 발달되어서인지 다양한 분야에 여러 수준의 작가들이 포진되어 있다는 생각을 해봅니다.^^:)
 
수학이란 무엇인가 경문수학산책 21
리차드 쿠랑 외 지음, 이언 스튜어트 개정, 박평우 외 옮김 / 경문사(경문북스) / 2002년 5월
평점 :
품절


우리가 당연하게 받아들이고, 무의식적으로 사용하는 수학의 공리, 법칙들을 막상 들여다 보면 자연의 세계를 있는 그대로 보여주는 것이 아니라, 자연을 인간의 상식에 맞게 해석하고 있음을 느끼게 된다. 오일러와 같은 대수학자도 분배법칙을 설명하기 위해 귀류법을 시용한 것을 보면 공식 하나가 하나의 예술작품, 한 편의 시임을 깨닫게 된다. 수학은 자연과 소통하는 언어라는 말에 절로 고개가 끄덕여진다...

b < a 인 경우에 대하여도 b - a  =  -  (a  - b) 로  정의하고  기호 -1, - 2, .... 를 도입하게 된 것은 더욱 커다란 중요성을 갖는다. 이는 뺄셈이 양과 음의 정수 범위에서 제한없이 이루어지게 되었다는 사실을 말해준다... 
법칙(-1)(-1) = 1은 음수의 곱셈에서 성립하는 법칙인데 이와 같은 법칙은 분배법칙a(b + c) = ab + ac를 유지하고자 하는 바람의 결과이다. 왜냐하면,
(-1) (-1) = -1이 성립한다면, 분배법칙에서 a = -1, b = 1, c = -1로 각각 잡았을 때, 
- 1(1 - 1) = -1-1=-2가 되어야 하지만 실제로는 -1(1 - 1) = -1.0 = 0을 얻기 때문이다. 음수와 분수에 적용되는모든 다른 정의가 증명될 수 없다는 사실과 "부호의 법칙" (3)을 수학자들이 받아들이기에는 오랜 세월이 걸렸다. 이러한 법칙은 산술의 기본법칙을 유지하면서 연산을 자유롭게 하기 위하여 사람이 만든 것이다.  이러한 정의를 바탕으로 하여 보일 수 있고 또 보여야만 하는 것은 산술의 교환법칙,  결합법칙  그리고  분배법칙이 그대로 성립한다는 사실이다. 오일러 같은 위대한 수학자도 (-1)(-1) 이  반드시  +1이 되어야 한다는 것을 보이기 위하여 (-1)(-1)은 +1 이나 -1 중에 하나가 되어야 하는데 -1 = (+1)(-1) 이기 때문에 -1이 될 수 없어 +1이 되어야 한다는 불확실한 논리를 제시하기도 하였다(p73)


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산수의 기초 대우고전총서 8
고트롭 프레게 지음, 최원배 외 옮김 / 아카넷 / 2003년 3월
평점 :
품절


<산수의 기초 Grundlagen der Arithmekik>는 고트롭 프레게(Gottlob Frege, 1848 ~ 1925)가 저술한 수학철학서다. 책 내용은 책 제목처럼 기초적인 내용을 대상으로 한다. 그렇지만, 수리철학의 기본내용에 대한 깊이있는 고찰과 프레게 이전의 철학자들의 사상에 대한 비판을 담고 있기 때문에 수리철학에 대해 사전이해가 없다면 내용이 어려울 수도 있다는 생각을 하게 된다. 이번 리뷰에서는 프레게가 결론 부분에서 정리한 요약 내용을 중심으로 <산수의 기초>의 전체 내용을 살펴보도록 하자.

 

1. [1~ 64]의 내용 요약 : 재인식 대상으로서의 수

 

  프레게에 따르면 수()는 독립적으로 파악되는 것이 아니라 관계에 의해 파악되는 개념이다. ‘1+2=3’ 이라는 수식(數式)‘I am a boy’와 마찬가지로 언어적인 관계성을 가지며, 우리는 이러한 관계 속에서 수를 재인식하게 된다.

 

우리는 수()가 사물들의 무더기도 아니며, 무더기의 성질도 아니라는 것, 그렇다고 해서 수가 심리 과정의 주관적 결과도 아니라는 것, 그리고 수 진술은 개념들에 관해 객관적인 것을 서술한다는 것을 확립한 다음, 먼저 개별 수 0,1 등과 수 계열에서 앞에 나옴을 정리하려고 하였다... 산수에서 다루어지는 수는 비자립적인 수식어가 아니라 명사적인 것으로 파악되어야 한다는 사실이 드러났다. 따라서 수는 물리적인 것이 아니고, 단지 공간적인 것도 아니며, 우리가 상상력을 통해 어떤 영상을 그릴 수 있는 것도 아니지만, 수는 재인식될 수 있는 대상으로 보인다.(p231)

 

  수에 있어서 재인식(再認識)의 문제는 등식을 통해 제기된다. ‘1+2=3’이라는 수식에서 등식 왼편과 등식 오른편을 대응시키는 것이 수식에 대한 재인식 판단 내용이 된다.

 

대상마다 뜻을 지녀야 할 한 가지 종류의 문장이 있는데, 그 문장은 재인식 문장이며, 수의 경우에는 등식이라 불린다... 수 낱말이나 라는 낱말을 사용하지 않고, 수에 관한 등식의 뜻을 고정하는 것, 그 뜻을 표현하는 것이 중요하다. 우리는 개념 F 아래 속하는 대상들과 개념 G 아래 속하는 대상들을 양쪽으로 일의적으로 대응시킬 수 있다는 것이 수에 관한 재인식 판단의 내용임을 알게 되었다.(p232)

 

2. [65 ~ 69]의 내용 요약 : 수식에서의 개념의 외연


  수식의 왼편과 오른편을 대응시키는 과정을 재인식이라고 할 때, 왼편과 오른편은 약속된 형식을 갖춰야 한다. 그리고 이러한 일정한 형식 조건을 만족시켰을 때 우리는 수식의 참(True)과 거짓(False)을 판별할 수 있다.

 

우리는 언제 재인식 판단의 내용을 파악했다고 할 자격이 있는가? 그런 자격을 갖추기 위해서는, 모든 판단에서 그 판단의 진리를 손상하지 않고 탐구 중에 가정된 등식의 왼편의 것을 오른편 것으로 바꾸어 넣을 수 있어야만 한다... 재인식 문장은 언제나 뜻을 지녀야 한다. 등식의 한쪽만이 형식을 가질 경우, 우리는 정의에 따라서 그 등식이 참인지 거짓인지 판단할 수 없다.

 

개념 F에 귀속되는 기수는 개념 F와 동수인 개념이라는 개념의 외연이다. 여기서 우리는 개념 F와 개념 G를 양쪽으로 일의적으로 대응시킬 수 있다면, 그 두 개념을 동수(同數)라고 한다.(p233)

 

3. [70 ~ 86]의 요약 : 논의의 확장

 

  수식의 대응 관계를 논리적 관계로 바꾸면서 우리는 참, 거짓을 판별할 수 있다. 그리고, 우리는 임의의 수 n 다음에 n+1이 나온다는 사실을 통해서 수학이 논리학의 보편성을 가지고 있다는 사실과 함께 수학적 논의를 확장시킬 수 있게 된다.

 

양쪽의 일의적 대응을 순수 논리적 관계로 환원하였다. 그러고 나서 다음 문장의 증명을 암시하였다. : 개념 F가 개념 G와 동수일 경우, 개념 F에 귀속되는 기수는 개념 G에 귀속되는 기수와 같다. 그 다음 우리는 0, “n은 자연적 수 계열에서 m 바로 다음에 나온다.” 는 표현, 그리고 수 1을 정의하고서, 1이 자연적 수 계열에서 0 바로 다음에 나온다는 사실을 분명히 보여주었다.


자연적 수 계열에서 모든 수 다음에는 어떤 수가 나온다.

 

이를 위해 우리는 “n으로 끝나는 자연적 수 계열에 속하는이라는 개념을 도입하고서, 그 개념에 귀속되는 기수가 자연적 수 계열에서 n 바로 다음에 나온다는 것을 보이려 했다... 이를 통해 보통 수학의 고유한 추리 방법으로 간주되는 n으로부터 (n+1)로의 추리 방법이 논리학의 보편적인 추리 방법에 근거하고 있음을 증명할 수 있었다.(p234)

 

이제 수 계열의 무한성 증명을 위해 우리에게 필요한 문장은 어느 유한한 수도 자연적 수 계열에서 자기 자신 다음에 나오지 않는다는 것이다. 이렇게 해서 우리는 유한 수 및 무한 수 개념에 도달하였다.(p235)

 

4. [87 ~ 105]의 내용 요약 형식주의 비판

 

  이상의 논의(수학의 구조는 언어적 구조를 가진다는 사실과 재인식을 통한 참, 거짓의 인식, 그리고 수의 개념 확대 등)로부터 우리는 인식론(認識論)에 대해 다시 생각해 볼 수 있다. 안셀무스(Anselmus Cantuariensis, Anselm of Canterbury, 1033 ~ 1109)의 신 존재 증명의 기본 가정(그것보다 더 큰 것을 생각할 수 없는 어떤 것)과 같이 임의의 가정으로부터 도출된 증명은 논리적인 증명이 아님을 우리는 확인할 수 있다.


[그림] 켄터베리의 안셀무스(출처 : 위키백과)

 

이제 앞의 논의로부터, 산수의 진리들이 분석적이고 선천적인 본성을 지녔을 확률이 높다는 점이 드러나게 되었다. 그리고 우리는 칸트의 견해에 대한 개선을 이루었다.(p235)

 

끝으로 우리는 우리의 결과를 형식주의자들의 음수, 분수, 무리수, 그리고 복소수 이론을 비판하는데 사용하였고, 이런 비판을 통해 그들의 이론이 성공할 수 없다는 사실이 분명하게 되었다... 형식주의 이론이 상상하는 바에 의하면, 우리는 가정을 하기만 하면 된다. 그러면 그 가정이 충족되었다는 것은 당연한 것으로 여기게 된다. 그들은 마치 자기에게 필요한 것을 말만으로도 창조될 수 있는 신()처럼 행세한다.(p236)

 

<산수의 기초>를 읽고난 후 수학(數學)과 언어학(言語學)의 관계에 대해서 생각하게 된다. ‘I am a boy’라는 언어적 구조와 ‘1+1=2’라는 수리적 구조가 같다는 사실을 통해서 우리는 서양 문명에서 수학의 중요성에 대해서 생각해 본다. 조금 더 나가서 여기서 Iboy의 관계(충분조건, 필요조건 등)에 대해서도 추가적으로 생각하게된다. 또한, 내가 여자일 경우에 거짓이 되는 이 문장의 참, 거짓 문제 역시 보다 일반적으로 적용되는 수식과는 차이가 있기에 추가적인 논의의 대상이 될 수 있을 것 같다. 다른 한편 위의 문장(I am a boy)에서 boyI의 여러 속성을 설명하는 술어 개념이라면 추가적으로 I am rich, I am wise 등과 같이 I를 설명하는 수많은 추가 서술이 가능할 것이다. 이런 추가적인 서술이 가능한 문장과 ‘I am Who I am’(이 문장은 자체로 추가적인 서술이 전혀 필요하지 않다.)과는 또 어떤 차이가 있는 것인지에 대해서도 생각을 해보게 되었다.  이처럼 <산수의 기초>에서 논의된 내용을 통해서 여러 생각들이 들지만, 이들에 대한 고민해결은 다음 과제로 넘겨야할 것 같다.

 

<산수의 기초>에서 다루는 내용은 이처럼 이미 우리가 약속하고 사용하고 있는 개념들에 대한 설명이다. 때문에, 독자는 ‘왜 이러한 사항을 다루는가?’라는 질문을 던지고, 흥미를 잃을 수도 있다는 생각을 하게 된다. 그렇지만, 우리가 유클리드 기하학(Euclidean geometry)<원론>에서 저자가 5가지의 정의와 공리를 통해 거대한 기하학의 이론을 증명하고 있다는 사실을 생각한다면, 이 책에서 다루고 있는 작은 정의가 거대한 논리철학의 구조를 이루는 뼈대가 됨을 깨달을 수 있을 것이다. 그런 관점에서 바라본다면, 논리철학에 관심있는 분들은 끝까지 정독(精)할 가치가 있는 책이라 생각된다. 



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AgalmA 2017-09-17 18:39   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
비트겐슈타인이 <논리-철학 논고>에서 왜 프레게와 러셀 이론을 공격했는지 이 글을 보니 더 감이 잘 오네요.
‘관계‘와 ‘재인식‘ 체계를 개념으로 도입해 놓고는 ˝산수의 진리들이 분석적이고 선천적인 본성을 지녔을 확률이 높다˝라는 말을 하다니... 비트겐슈타인은 관계 자체를 부정하죠. 그림이론과 게임이론은 바로 허점 공략~
겨울호랑이님이 잠깐 지적하셨듯이 언어로 들어가면 복합문장일 때도 프레게 이론은 유격이 발생합니다.
<논리-철학 논고> 다시 제대로 읽으려고 소쉬르 <일반 언어학 강의> 준비해놨는데 프레게, 러셀까지 섭렵한 겨울호랑이님은 훨씬 수월할 거 같아 부럽습니다!

겨울호랑이 2017-09-17 20:55   좋아요 2 | URL
^^: 프레게, 러셀 형님 철학의 윤곽을 어설프게 파악했다고 하는 것이 정확한 제 수준이고, 결정적으로 아직 비트겐슈타인까지 이르러면 칸트, 헤겔, 니체등 어마어마한 산들이 남아 있네요.그 사이에 있는 마르크스나 프로이트를 타다보면 그전에 낙오해버릴지도 모르겠습니다.ㅋ 제가 오히려 AgalmA님 덕분에 비트겐슈타인 전에 소쉬르를 공부해야한다는 사실을 배웠네요. (항상 많이 배우지만요^^:) 덕분에 다음 읽어야할 책 대기표가 발행되네요.ㅋㅋ

AgalmA 2017-09-17 19:00   좋아요 2 | URL
어설픈 건 제가 더 하죠; 제가 이게 늘 문제지만 진득하니 차근차근 공부하지 않고 서로 연결이 된다 싶으면 갑자기 두더지 땅굴 파듯이 한단 말이죠ㅜㅜ; 겨울호랑이님의 꼼꼼하고 체계적인 공부가 얼마나 부러운지 몰라요;_;) 내 멱살을 아무리 흔들어도 잘 안 돼요;
우리 서로 참 달라서 재밌어하며 이웃친구인가봐요. 허허허허))))

겨울호랑이 2017-09-17 18:59   좋아요 2 | URL
^^: 네. AglamA님 덕분에 더 넓게 세상을 보게 되고, 새로운 자극을 받게 되네요. 그래서 사는게 재밌습니다.^^:ㅋ

오거서 2017-09-20 08:10   좋아요 2 | URL
두 분께 새삼 감탄하게 됩니다. ^^;

겨울호랑이 2017-09-22 16:20   좋아요 1 | URL
^^: 제 경우에는 아직 계획일 뿐이라 갈 길이 아직 머네요... 감사합니다.

AgalmA 2017-09-22 07:11   좋아요 2 | URL
五車書님~ 저야 겨울호랑이님 학당에 얹혀 더부살이 시늉 정도죠ㅎ;

2017-09-17 21:33   URL
비밀 댓글입니다.

2017-09-17 21:37   URL
비밀 댓글입니다.
 
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