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산수의 기초 대우고전총서 8
고트롭 프레게 지음, 최원배 외 옮김 / 아카넷 / 2003년 3월
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<산수의 기초 Grundlagen der Arithmekik>는 고트롭 프레게(Gottlob Frege, 1848 ~ 1925)가 저술한 수학철학서다. 책 내용은 책 제목처럼 기초적인 내용을 대상으로 한다. 그렇지만, 수리철학의 기본내용에 대한 깊이있는 고찰과 프레게 이전의 철학자들의 사상에 대한 비판을 담고 있기 때문에 수리철학에 대해 사전이해가 없다면 내용이 어려울 수도 있다는 생각을 하게 된다. 이번 리뷰에서는 프레게가 결론 부분에서 정리한 요약 내용을 중심으로 <산수의 기초>의 전체 내용을 살펴보도록 하자.

 

1. [1~ 64]의 내용 요약 : 재인식 대상으로서의 수

 

  프레게에 따르면 수()는 독립적으로 파악되는 것이 아니라 관계에 의해 파악되는 개념이다. ‘1+2=3’ 이라는 수식(數式)‘I am a boy’와 마찬가지로 언어적인 관계성을 가지며, 우리는 이러한 관계 속에서 수를 재인식하게 된다.

 

우리는 수()가 사물들의 무더기도 아니며, 무더기의 성질도 아니라는 것, 그렇다고 해서 수가 심리 과정의 주관적 결과도 아니라는 것, 그리고 수 진술은 개념들에 관해 객관적인 것을 서술한다는 것을 확립한 다음, 먼저 개별 수 0,1 등과 수 계열에서 앞에 나옴을 정리하려고 하였다... 산수에서 다루어지는 수는 비자립적인 수식어가 아니라 명사적인 것으로 파악되어야 한다는 사실이 드러났다. 따라서 수는 물리적인 것이 아니고, 단지 공간적인 것도 아니며, 우리가 상상력을 통해 어떤 영상을 그릴 수 있는 것도 아니지만, 수는 재인식될 수 있는 대상으로 보인다.(p231)

 

  수에 있어서 재인식(再認識)의 문제는 등식을 통해 제기된다. ‘1+2=3’이라는 수식에서 등식 왼편과 등식 오른편을 대응시키는 것이 수식에 대한 재인식 판단 내용이 된다.

 

대상마다 뜻을 지녀야 할 한 가지 종류의 문장이 있는데, 그 문장은 재인식 문장이며, 수의 경우에는 등식이라 불린다... 수 낱말이나 라는 낱말을 사용하지 않고, 수에 관한 등식의 뜻을 고정하는 것, 그 뜻을 표현하는 것이 중요하다. 우리는 개념 F 아래 속하는 대상들과 개념 G 아래 속하는 대상들을 양쪽으로 일의적으로 대응시킬 수 있다는 것이 수에 관한 재인식 판단의 내용임을 알게 되었다.(p232)

 

2. [65 ~ 69]의 내용 요약 : 수식에서의 개념의 외연


  수식의 왼편과 오른편을 대응시키는 과정을 재인식이라고 할 때, 왼편과 오른편은 약속된 형식을 갖춰야 한다. 그리고 이러한 일정한 형식 조건을 만족시켰을 때 우리는 수식의 참(True)과 거짓(False)을 판별할 수 있다.

 

우리는 언제 재인식 판단의 내용을 파악했다고 할 자격이 있는가? 그런 자격을 갖추기 위해서는, 모든 판단에서 그 판단의 진리를 손상하지 않고 탐구 중에 가정된 등식의 왼편의 것을 오른편 것으로 바꾸어 넣을 수 있어야만 한다... 재인식 문장은 언제나 뜻을 지녀야 한다. 등식의 한쪽만이 형식을 가질 경우, 우리는 정의에 따라서 그 등식이 참인지 거짓인지 판단할 수 없다.

 

개념 F에 귀속되는 기수는 개념 F와 동수인 개념이라는 개념의 외연이다. 여기서 우리는 개념 F와 개념 G를 양쪽으로 일의적으로 대응시킬 수 있다면, 그 두 개념을 동수(同數)라고 한다.(p233)

 

3. [70 ~ 86]의 요약 : 논의의 확장

 

  수식의 대응 관계를 논리적 관계로 바꾸면서 우리는 참, 거짓을 판별할 수 있다. 그리고, 우리는 임의의 수 n 다음에 n+1이 나온다는 사실을 통해서 수학이 논리학의 보편성을 가지고 있다는 사실과 함께 수학적 논의를 확장시킬 수 있게 된다.

 

양쪽의 일의적 대응을 순수 논리적 관계로 환원하였다. 그러고 나서 다음 문장의 증명을 암시하였다. : 개념 F가 개념 G와 동수일 경우, 개념 F에 귀속되는 기수는 개념 G에 귀속되는 기수와 같다. 그 다음 우리는 0, “n은 자연적 수 계열에서 m 바로 다음에 나온다.” 는 표현, 그리고 수 1을 정의하고서, 1이 자연적 수 계열에서 0 바로 다음에 나온다는 사실을 분명히 보여주었다.


자연적 수 계열에서 모든 수 다음에는 어떤 수가 나온다.

 

이를 위해 우리는 “n으로 끝나는 자연적 수 계열에 속하는이라는 개념을 도입하고서, 그 개념에 귀속되는 기수가 자연적 수 계열에서 n 바로 다음에 나온다는 것을 보이려 했다... 이를 통해 보통 수학의 고유한 추리 방법으로 간주되는 n으로부터 (n+1)로의 추리 방법이 논리학의 보편적인 추리 방법에 근거하고 있음을 증명할 수 있었다.(p234)

 

이제 수 계열의 무한성 증명을 위해 우리에게 필요한 문장은 어느 유한한 수도 자연적 수 계열에서 자기 자신 다음에 나오지 않는다는 것이다. 이렇게 해서 우리는 유한 수 및 무한 수 개념에 도달하였다.(p235)

 

4. [87 ~ 105]의 내용 요약 형식주의 비판

 

  이상의 논의(수학의 구조는 언어적 구조를 가진다는 사실과 재인식을 통한 참, 거짓의 인식, 그리고 수의 개념 확대 등)로부터 우리는 인식론(認識論)에 대해 다시 생각해 볼 수 있다. 안셀무스(Anselmus Cantuariensis, Anselm of Canterbury, 1033 ~ 1109)의 신 존재 증명의 기본 가정(그것보다 더 큰 것을 생각할 수 없는 어떤 것)과 같이 임의의 가정으로부터 도출된 증명은 논리적인 증명이 아님을 우리는 확인할 수 있다.


[그림] 켄터베리의 안셀무스(출처 : 위키백과)

 

이제 앞의 논의로부터, 산수의 진리들이 분석적이고 선천적인 본성을 지녔을 확률이 높다는 점이 드러나게 되었다. 그리고 우리는 칸트의 견해에 대한 개선을 이루었다.(p235)

 

끝으로 우리는 우리의 결과를 형식주의자들의 음수, 분수, 무리수, 그리고 복소수 이론을 비판하는데 사용하였고, 이런 비판을 통해 그들의 이론이 성공할 수 없다는 사실이 분명하게 되었다... 형식주의 이론이 상상하는 바에 의하면, 우리는 가정을 하기만 하면 된다. 그러면 그 가정이 충족되었다는 것은 당연한 것으로 여기게 된다. 그들은 마치 자기에게 필요한 것을 말만으로도 창조될 수 있는 신()처럼 행세한다.(p236)

 

<산수의 기초>를 읽고난 후 수학(數學)과 언어학(言語學)의 관계에 대해서 생각하게 된다. ‘I am a boy’라는 언어적 구조와 ‘1+1=2’라는 수리적 구조가 같다는 사실을 통해서 우리는 서양 문명에서 수학의 중요성에 대해서 생각해 본다. 조금 더 나가서 여기서 Iboy의 관계(충분조건, 필요조건 등)에 대해서도 추가적으로 생각하게된다. 또한, 내가 여자일 경우에 거짓이 되는 이 문장의 참, 거짓 문제 역시 보다 일반적으로 적용되는 수식과는 차이가 있기에 추가적인 논의의 대상이 될 수 있을 것 같다. 다른 한편 위의 문장(I am a boy)에서 boyI의 여러 속성을 설명하는 술어 개념이라면 추가적으로 I am rich, I am wise 등과 같이 I를 설명하는 수많은 추가 서술이 가능할 것이다. 이런 추가적인 서술이 가능한 문장과 ‘I am Who I am’(이 문장은 자체로 추가적인 서술이 전혀 필요하지 않다.)과는 또 어떤 차이가 있는 것인지에 대해서도 생각을 해보게 되었다.  이처럼 <산수의 기초>에서 논의된 내용을 통해서 여러 생각들이 들지만, 이들에 대한 고민해결은 다음 과제로 넘겨야할 것 같다.

 

<산수의 기초>에서 다루는 내용은 이처럼 이미 우리가 약속하고 사용하고 있는 개념들에 대한 설명이다. 때문에, 독자는 ‘왜 이러한 사항을 다루는가?’라는 질문을 던지고, 흥미를 잃을 수도 있다는 생각을 하게 된다. 그렇지만, 우리가 유클리드 기하학(Euclidean geometry)<원론>에서 저자가 5가지의 정의와 공리를 통해 거대한 기하학의 이론을 증명하고 있다는 사실을 생각한다면, 이 책에서 다루고 있는 작은 정의가 거대한 논리철학의 구조를 이루는 뼈대가 됨을 깨달을 수 있을 것이다. 그런 관점에서 바라본다면, 논리철학에 관심있는 분들은 끝까지 정독(精)할 가치가 있는 책이라 생각된다. 



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AgalmA 2017-09-17 18:39   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
비트겐슈타인이 <논리-철학 논고>에서 왜 프레게와 러셀 이론을 공격했는지 이 글을 보니 더 감이 잘 오네요.
‘관계‘와 ‘재인식‘ 체계를 개념으로 도입해 놓고는 ˝산수의 진리들이 분석적이고 선천적인 본성을 지녔을 확률이 높다˝라는 말을 하다니... 비트겐슈타인은 관계 자체를 부정하죠. 그림이론과 게임이론은 바로 허점 공략~
겨울호랑이님이 잠깐 지적하셨듯이 언어로 들어가면 복합문장일 때도 프레게 이론은 유격이 발생합니다.
<논리-철학 논고> 다시 제대로 읽으려고 소쉬르 <일반 언어학 강의> 준비해놨는데 프레게, 러셀까지 섭렵한 겨울호랑이님은 훨씬 수월할 거 같아 부럽습니다!

겨울호랑이 2017-09-17 20:55   좋아요 2 | URL
^^: 프레게, 러셀 형님 철학의 윤곽을 어설프게 파악했다고 하는 것이 정확한 제 수준이고, 결정적으로 아직 비트겐슈타인까지 이르러면 칸트, 헤겔, 니체등 어마어마한 산들이 남아 있네요.그 사이에 있는 마르크스나 프로이트를 타다보면 그전에 낙오해버릴지도 모르겠습니다.ㅋ 제가 오히려 AgalmA님 덕분에 비트겐슈타인 전에 소쉬르를 공부해야한다는 사실을 배웠네요. (항상 많이 배우지만요^^:) 덕분에 다음 읽어야할 책 대기표가 발행되네요.ㅋㅋ

AgalmA 2017-09-17 19:00   좋아요 2 | URL
어설픈 건 제가 더 하죠; 제가 이게 늘 문제지만 진득하니 차근차근 공부하지 않고 서로 연결이 된다 싶으면 갑자기 두더지 땅굴 파듯이 한단 말이죠ㅜㅜ; 겨울호랑이님의 꼼꼼하고 체계적인 공부가 얼마나 부러운지 몰라요;_;) 내 멱살을 아무리 흔들어도 잘 안 돼요;
우리 서로 참 달라서 재밌어하며 이웃친구인가봐요. 허허허허))))

겨울호랑이 2017-09-17 18:59   좋아요 2 | URL
^^: 네. AglamA님 덕분에 더 넓게 세상을 보게 되고, 새로운 자극을 받게 되네요. 그래서 사는게 재밌습니다.^^:ㅋ

五車書 2017-09-20 08:10   좋아요 2 | URL
두 분께 새삼 감탄하게 됩니다. ^^;

겨울호랑이 2017-09-22 16:20   좋아요 1 | URL
^^: 제 경우에는 아직 계획일 뿐이라 갈 길이 아직 머네요... 감사합니다.

AgalmA 2017-09-22 07:11   좋아요 2 | URL
五車書님~ 저야 겨울호랑이님 학당에 얹혀 더부살이 시늉 정도죠ㅎ;

2017-09-17 21:33   URL
비밀 댓글입니다.

2017-09-17 21:37   URL
비밀 댓글입니다.
 
아름다운, 너무나 아름다운 수학 경문수학산책 11
K.C.콜 지음, 박영훈 옮김 / 경문사(경문북스) / 2000년 12월
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<아름다운, 너무나 아름다운 수학>은 수학이 우리 생각과 달리 우리 자신과 밀접한 관련을 맺고 있음을 여러 분야에서 활용되는 수학 이야기를 통해 풀어낸 책이다. 세상의 거의 모든 지식에 대해 언급되기에 이러한 내용을 깊이 있게 들어가다면 어렵겠지만, 이 책에서는 적절하게 난이도를 조절하여 흥미있게 제시하고 있다. 또한, 독자의 배경지식과 흥미에 따라 여러가지 생각을 할 수 있는 소재를 제공하고 있는데, 이번 리뷰에서는 글에 언급된 내용을 바탕으로 하되, 의식의 흐름(stream of consciousness)에 따라 자유롭게 풀어가보려한다.


 1. 시간(Time), 공간(Space) 그리고 대칭성(Symmetry)


우주(宇宙 universe)에서 '宇''는 공간을 의미하고, '宙'는 시간을 의미한다. 시간과 공간은 결코 분리될 수 없다는 사실은 이미 '우주'라는 말 속에 담겨있음을 확인하게 된다. '언어(言語, language)'가 의미없는 약속이 아님을 다시 생각하게 된다.


'실제로 시간과 공간은 서로를 따로 떼어놓고 측정할 수는 없다... 다른 말로 하면 시간과 공간은 분리해서 생각할 수 없는 동반자이다... 지구상의 어느 지점에서 현재의 시각을 측정하고 나서 2초가 지났다면 이미 공간에서 어떤 움직임을 측정한 것이다.'(p56)


속도는 공간의 변화량과 시간의 변화량으로 측정되며, 공간과 시간의 개념은 상대적, 절대적 개념으로 나뉜다. 절대적, 상대적인 시간과 공간의 개념 그리고 절대적인 속성은 아인슈타인의 특수상대성 이론을 설명하는 중요한 개념이기도 하다.


'아인슈타인의 특수 상대성 이론도 그러하다. 상대적인 시간과 공간의 저편에는 절대적인 빛의 속성이 존재한다. 빛이 당신을 향해 오고, 당신이 이 빛을 향해 달려간다 해도 당신이 그 빛에 더 빨리 도달할 수는 없다. 또한 당신이 그 빛으로부터 멀어진다해도 빛은 같은 속도로 당신에게 다가갈 것이다... 당신은 결코 빛을 따라잡을 수 없다... 속도는 거리/시간이기 때문에 속도가 변하지 않는다면 이에 따라 시간과 공간 모두가 탄력적으로 작용한다. 당신이 어떤 속도로 움직이는가에 상관없이 측정된 빛의 속도는 항상 초속 300,000Km다.'(p228)


위의 내용에 대해 신학(神學)적인 설명도 가능할 것이라 생각된다. 아우구스티누스(Sanctus Aurelius Augustinus, 354 ~ 430)은 <고백록>에서 '신의 시간'과 '인간의 시간'이라는 개념으로 이를 설명하기도 했었다. 한편 아인슈타인의 특수상대성이론에 포함된 중요한 개념 중 또하나의 개념은 '대칭성'이다. 에미 뇌터(Amalie Emmy Noether1882 ~ 1935)는 '뇌터 정리'를 통해 4차원 공간에서도 에너지가 보존된다는 사실을 증명하였으며, 여기에 활용되는 개념이 '대칭성'이다. 


[페이퍼 참고] 뇌터정리


"물리학의 법칙이 가진 모든 연속 대칭성에 대해 대응되는 보존 법칙이 존재해야 한다. 또, 모든 보존법칙에 대해 대응되는 연속 대칭성이 존재해야 한다."


'종종 내부에 있는 대칭성은 거시적 규모로 그 모습을 드러내기도 한다. 우리 눈에 보이는 눈송이 대칭은 물분자에서 수소결합의 세기와 특성에 따라 패턴화된 것이다. 이것이 우리 눈에 보이는 것은 보이지 않던 내면의 분자구조가 화학적 힘으로 거시적 규모로 확대된 것이다. 우주 전체에 들어 있는 탄소원자와 물분자가 모두 똑같다는 아이디어는 또 다른 방법으로의 대칭을 생각하게 한다. 어떤 사물을 따로 구별할 수 없다면 이들은 완전히 대칭(對稱)이다.'(p224)


2. 규모의 문제 


대칭성에 따라 자연(nature)을 설명할 수 있다고 하더라도, 규모(크기)에 따라 지배받는 법칙은 서로 다르다. 한국에서는 한국법이, 미국에서는 미국법이 통하듯, 자연의 세계에서도 크기에 따라 서로 다른 자연의 법칙이 적용된다. 전기력과 중력, 핵력, 약력의 힘이 지배하는 세계는 서로 다르지만, 이들을 하나로 통합하려는 접근방식을 '통일장 이론'이라 부른다.


'사실, 당신이 벌레 크기로 작아진다면, 이 세상의 거의 모든 것이 달라질 것이다. 개미 크기의 사람은 결코 책을 쓸 수 없는데, 개미 크기의 타이프에 있는 자판들이 서로 달라 붙을 것이며 원고의 각 페이지도 마찬가지이기 때문이다. 개미가 불을 만들 수 없는 이유도 가장 작은 불꽃이 개미 몸집보다 크기 때문이다.'(p72)


'원자 크기로 작아진다면 전혀 상상할 수 없는 상황으로 바뀐다. 원자 크기의 물질들은 양자 역학의 확률 법칙에 지배를 받는다.... 분자 크기의 물질로 확대되면 전기력의 지배를 받는다. 좀더 규모가 커지면 중력의 지배를 받는다.... 물질을 좀 더 첨가하면 중력이 압축되어 핵폭발을 일으킨다... 크기가 자그마한 것들의 세계에서는 시간조차도 빨리 간다. 작은 동물은 움직임도 빠르며, 음식도 빨리 먹고 소화한다.'(p73)


3. 양자역학의 세계 : 확률의 세계 


원자 크기의 물질을 지배하는 법칙인 양자역학은 확률의 법칙에 따른다. '슈뢰딩거의 고양이'로 대표되는 양자역학의 세계는 선택과 확률의 세계다. 그렇다면, 양자역학의 문제는 우리 삶과 분리된 문제인가? 그렇지는 않을 것같다. 우리는 투표제도를 통해 양자역학의 확률적 문제(당선/낙선)가 우리 인간세계에서도 적용됨을 확인할 수 있다.


'양자 역학에 따르면, 어떤 대상을 측정하고자 할 때의 선택 자체가 측정에 영향을 주면서 심지어 측정을 결정하는 경우도 있다. 이 패러독스같은 명제의 가장 유명한 예로, 에르빈 슈뢰딩거는 자신이 느끼기에 양자 이론의 황당함을 가장 잘 설명해 줄 것이라는 실험을 꾸며냈다. 양자 이론의 논리를 따라가다다 보면 살아 있으면서 동시에 죽어 있는 한 마리의 고양이가 닫힌 상자 속에 갇혀 있는 것을 발견하게 된다. 당신이 상자를 여는 순간 그 안에 있던 고양이는 완전히 죽었거나 또는 완전히 살아 있다는 말이다. 그러므로 고양이를 관찰하기 위해 상자를 여는 행위는 생명을 앗아가는 행위이거나 생명을 구하는 행위가 된다.'(p57)


'스튜어트가 제안했듯이 이를 관찰하는 한 가지 간단한 방법으로 동전 돌려보기를 생각하는 것이다. 동전을 돌려볼 때는 앞면도 아니고 뒷면도 아니며 이 두 가지가 결합된 것이다. 그러나 그것이 앞면인지 뒷면인지를 측정하고자 하려면 돌리는 행위를 멈추어야만 한다.'(p58)


4. 투표 제도는 민주적인가? 


자연과학에서 사회과학으로 넘어오면서 우리는 일반적인 상식에 물음을 던져야 한다. 다수결 제도는 과연 최선의 선택인가? 우리가 대의민주주의제도를 실현하기 위해 필수적인 제도로 알고 있는 다수결 투표는 어떠한 문제가 있을까?


'다수결은 패러독스의 가능성이 가장 높은 제도이기 때문에 최악의 선택"이라고 노스웨스턴 대학의 수학자인 도널드 사리 Donald Saari는 말한다. "여러 가지 방법 중에서 대부분의 사람이 B보다는 A를 선호하는 경우에도 B가 선택될 수 있는 방법이 바로 다수결이다.".. 200년 동안 수학자들은 투표 제도의 결함을 연구했다. 그들은 어떤 제도가 가장 좋은 것인지에 대해서는 의견의 일치를 보지 못했지만, 무엇이 최악의 것인지에 대해서는 의견의 일치를 보았다. 가장 많은 표를 얻은 사람이 모든 것을 차지하는(winner takes all) 우리가 신성시 여겼던 그 전통이 바로 최악의 제도라는 것이다.'(p129)


다수결 투표에서 유권자의 선호는 이진법으로 표시된다. 1(YES)/0(NO).이렇듯 '1인 1표'를 행사하는 시스템은 개인의 선호의 정도(깊이, 충성도) 등을 나타내지 못한다. 이에 대해 우리는 새로운 대안을 생각해 볼 수 있다. 대통령 선거가 얼마 남지 않았으니, 대통령 선거를 생각해보자. 다수결 투표에서는 집단(국민)의 호불호(好不好)는 득표율(%)로 표시되지만, 개인의 선호는 나타나지 않는다. '점(点)'이 모여 '선(線)'이 만들어지듯 개인의 선택이 모여 집단의 선호를 표시할 뿐이다. 그렇다면, 개인의 선호를 표시하는 방법은 없을까?  


'예를 들어, "승인투표(approval voting)"는 각 투표자가 후보마다 하나의 표를 던지는 제도이다. "투표자 한 사람이 한 표"에서 "한 후보에 한 투표"로 바꾸는 것이다. 그런 식으로 하면, 한 명의 투표자가 자신이 좋아하는 후보자에게 모두 "승인하는" 표를 던질 수 있다.... 파울루스가 훨씬 좋아하는 제도는 누적투표법(accumulative voting)이다. 이 제도에서 투표자는 자신이 강렬한 지지를 보내는 후보자(또는 쟁점)에게 여러 표를 누적해서 던질 수 있다. 이 제도 에서는 투표자가 가장 중요한 논점에 초점을 두는 것이 가능하다.'(p131)


승인투표나 누적투표법이 가지는 여러 장점에도 불구하고, 민주주의 제도는 사회적으로 가장 바람직한 결론을 도출하지 못한다. 민주주의 국가에서 의사 결정 방식이 합리적인 결과를 가져오려면 특정 조건들을 만족시켜야 하지만 이 조건을 만족시키는 것은 불가능함을 증명한 내용이 애로(Kenneth Joseph Arrow, 1921 ~ )의 불가능성 정리다.(애로는 이 내용으로 1972년 노벨경제학상을 수상한다.)


[페이퍼 참고]  애로(Arrow)의 불가능성 정리不可能性定理(imposibility theorem)


5. 공정성에 대한 문제


 그럼에도 불구하고, 우리는 선거를 통해 우리 사회의 문제를 해결해야 한다. 리뷰를 작성하는 시점에서 제19대 대통령 선거를 눈 앞에 둔 우리 사회의 과제는 무엇일까. 많은 과제가 있겠지만, 반드시 언급되는 문제중 하나가 '공정성(公正性)' 문제일 것이다. 특히, 최근 우리 사회에서 가장 문제가 되고 있는 '부(富)의 불평등한 배분' 문제는 우리 사회 긴급한 현안 중 하나다. 그렇다면, 부의 배분은 어떤 방식으로 이루어져야 공정하다고 할 것인가?


'공정성에 대한 솔로몬의 생각은 현재의 학문적 이론에서도 그대로 보존되어 있다 공정한 분배란 어떤 것을 단순히 똑같이 나누어 주는 것이 아니라 분배 물건에 대하여 당사자들이 생각하고 있는 그 가치를 고려해야 한다는 것에 그 본질이 담겨 있음을 말해 준다.'(p141)


'"조정된 승자(adjusted Winner)"라는 이 새로운 제도는 경기에 참가한 각자가 100점을 갖고 이 점수를 자신의 선호에 따라서 분배하도록 하는 것이다.(p140)... 분쟁의 소지를 없애는 핵심은 서로 다른 당사자가 다른 방식으로 물건에 가치를 매긴다는 사실에 있다.'(p141)


'그러나 그 과정을 공정하게 하기 위해서는 전체 오염의 양을 처음부터 공정하게 분배해야만 한다. "이 경우에 동일한 것이 공정한 것은 아니'라고 레드야드는 말한다. "화학공장과 음식점에 똑같은 허용권을 주는 것은 공정하지 않다."'(p142)


'자산에 따른 개인의 주관적 가치'에 따라 부가 분배된다면 가장 좋겠지만, 이에 대해서는 사회적 합의를 비롯한 여러 선결과제가 필요할 것이다. 이러한 세부적인 사항 이외에 '부의 분배'에 대한 대원칙(大原則)이 있다면 무엇일까?  부의 공정한 배분에 대해서는 여러 이론이 있지만 '정의(Justice)'에 대한 대표적 이론가 롤스(John Rawls, 1921 ~ 2002)에 따르면, 사회기준을 가장 약자(弱者)를 기준으로 했을 때 '정의로운 사회'가 될 수 있다고 한다. 과연 2017년 세월호 참사 3주년 맞이하는 이 시점에서 대한민국은 정의로운 사회를 구현할 수 있을까? 이런 과제를 던져보면서 <아름다운, 너무나 아름다운 수학>의 리뷰를 마친다.


[페이퍼 참고 ] 롤스(J.Rawls) 최소극대화원칙 最小極大化原則(Maximin Principle)


결론 : 어떤 사회의 후생수준은 그 사회에서 가장 못사는 사람의 효용수준에 의해 결정된다.


<아름다운, 너무나 아름다운 수학>에 언급된 내용을 기초로 하여 쓴 글이다. 쓰고난니 페이퍼인지 리뷰인지 잘 모를 정도로 여러분야의 내용이 쏟아져 나오지만, 이 리뷰에서 순서만 바꿨을 뿐 이런 내용이 거의 언급된다. 수학이 추상적인 분야가 아니라 이미 우리 삶과 깊은 연관이 있음을 <아름다운, 너무나 아름다운 수학>을 통해 확인해 볼 수 있다. 동시에, 과학의 여러 분야에 대한 개론에 해당하는 지식은 덤으로 얻을 수 있는 재밌는 책이라 생각된다.


PS. [페이퍼 참고]에 해당하는 내용은 같은 제목의 페이퍼로 부연 설명되었습니다. 




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꿈꾸는섬 2017-04-15 17:52   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
이 책 정말 흥미로운데요.
리뷰 잘 읽었습니다.^^

겨울호랑이 2017-04-15 17:54   좋아요 0 | URL
^^: 페이퍼와 리뷰 읽어주셔서 감사합니다. 어지럽지 않을까 살짝 걱정했는데, 좋게 생각해 주셔서 감사합니다. 꿈꾸는섬님 즐거운 토요일 저녁 되세요.^^:

cyrus 2017-04-15 20:03   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
케네스 애로는 올해 2월에 세상을 떠났습니다.

투표의 역설을 생각한다면, 현재 후보자들의 지지율을 그대로 믿어선 안 됩니다.

겨울호랑이 2017-04-15 20:17   좋아요 0 | URL
그렇군요.. cyrus님 말씀처럼 현재 여론조작을 위한 조사결과에 일희일비하지 말아야겠지요...

북다이제스터 2017-04-15 22:09   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
수학 혹은 산수의 등가부호 양편이 이미 대칭입니다. 수학이 단순하게 기호의 약속이 아니라 현실을 반영한다고 믿게 만듭니다. ^^

겨울호랑이 2017-04-15 22:16   좋아요 1 | URL
^^: 그렇네요. 북다이제터님 말씀을 듣고 보니 수식 부터가 대칭이군요... 또한, 대칭성은 수식외에 사람사이 mirroring에서도 발견되는 것 같습니다.. 수식도 일종의 미러링이라 한다면 북다이제스터님 말씀처럼 현실의 반영이라는 하나의 예시가 되지 않을까 잠시 생각해 봅니다.^^:

북다이제스터 2017-04-15 22:31   좋아요 1 | URL
네, 그렇기에 속도가 일정하여 상수가 되는 광속에서 시간과 공간이 반비례로 등호 사이에서 대칭, 즉 똑같아지는 거 같습니다. ^^ 반비례지만, 결국 시간과 공간 성질이 같다고 해석됩니다. ;;

겨울호랑이 2017-04-15 22:38   좋아요 1 | URL
^^: 북다이제스터님께서 특수상대성이론의 절대 빛의 속도와 상대 시간, 공간의 의미를 명료하게 설명해 주신 것 같습니다.

북다이제스터 2017-04-15 23:24   좋아요 1 | URL
위험한 제 착각일 수 있습니다. 이렇게 해석해 주는 책이 없어 그냥 제 짐작일 수 있습니다. 아무튼 대칭이 제 요즘 관심사입니다.
겨울호랑이님 글 보면 요즘 제 관심사와 많이 겹쳐 반갑습니다. 저도 요즘 책 <선거는 민주적인가> 사놓았고 공정성도 끝없는 관심사입니다. 개인적으로 공정성은 ‘티 포 탯‘ 전략뿐이란 걸 <협력의 진화> 읽고 생각을 바꾸고 있습니다. ^^
항상 좋은 글 감사합니다. ^^

겨울호랑이 2017-04-15 23:29   좋아요 1 | URL
^^: 저도 물리학 초보인지라 장님 코끼리 다리잡듯 배우고 있는중입니다..북다이제스터님의 가설(?)을 염두에 두고 가면 더 깊이있는 공부를 하게 되리라 생각합니다. 저 역시 책을 구매하기 전 북다이제스터님께서 남겨주신 리뷰의 덕을 많이 보고 있습니다. ^^: 믿고 선택할 수 있어 저 역시 깊이 감사드리고 있습니다.
 
튜링 & 괴델 : 추상적 사유의 위대한 힘 지식인마을 36
박정일 지음 / 김영사 / 2010년 11월
평점 :
품절


<튜링 & 괴델>은 튜링의 '보편 튜링 기계'와 괴델의 '불완전성 정리'의 개념을 중심으로 현대 수학의 집합론과 컴퓨터에 대해 설명한 수리논리학 입문서다. 


<튜링 & 괴델>에서는 두 수학자의 이론이 다루어진다.

영화 <이미테이션 게임 Imitation game>으로 유명한 튜링(Alan Mathison Turing, 1912 ~ 1954)의 '보편 튜링 기계'를 설명하기 위해 <튜링 & 괴델>에서는  프레게(Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848 ~ 1925)의 <개념 표기법 Begriffsschrift>(1879)상의 '문장 논리'와 '술어 논리', 칸토어(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845 ~ 1918)의 '집합론'의 개념을 연관설명하고 있다. 또한, 괴델(Kurt Godel, 1906 ~ 1978)의 '불완정성 정리'를 설명하기 위해 힐베르트(David Hilbert, 1862 ~ 1943)의 '힐베르트 프로그램'의 개념을 소개한다. 


프레게는 기존 아리스토텔레스(Aristoteles, BC 384 ~ 322)의 삼단논법으로 대표되는 기존 논리학 대신 문장연결사를 활용한 '현대 논리학'을 창시했으며, 현대 논리학과 무한(infinty)의 개념을 잠재무한(potential infinity)과 실제무한(actual infinity)으로 구분한 칸토어의 '무한론'은 튜링기계(Turing machine)의 이론적 토대가 된다. 책에서는 튜링 기계의 작동원리가 후대 컴퓨터 특히 인공지능(AI)과 어떤 방식으로 연결될 수 있는지가 '보편 튜링 기계(universal Turing Machine)'를 통해 설명된다.


'간단히 말하면 보편 튜링 기계란 다른 튜링 기계가 할 수 있는 모든 일을 흉내낼 수 있는 기계를 말한다(p108)... 그렇다면 보편 튜링 기계가 의미하는 바는 무엇인가? 보편 튜링 기계에서는 다른 튜링 기계의 프로그램이 하나의 수치로, 다시 말해 하나의 데이터로 입력되고 처리된다'(p123)



[그림] 알파고 서버(출처 : http://www.insight.co.kr/newsRead.php?ArtNo=54225)


괴델의 불완전성 정리는 '제1불완전성 정리'와 '제2불완전성 정리'로 나눌 수 있다.


'수학의 체계가 무모순이라면, 수학의 체계에서는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 것이다(제1불완전성 정리). 나아가 수학의 체계가 무모순이라면, 수학의 체계에서 모순이 도출되지 않는다는 것을 그 체계에서는 증명할 수 없다는 것이다.(제2불완전성 정리)' (p161)


'한 문장에 대해서 그 자신과 그것의 부정이 동시에 증명 불가능한 경우, 그 문장을 결정 불가능한 문장이라고 부르며, 이를 "괴델의 제1불완전성 정리"이다.'(p167).. 괴델은 산수 체계의 무모순성이 그 체계 내부에서 증명될 수 없다는 것을 증명했다.'(p180)


<튜링 & 괴델>에서는 각각의 명령어가 어떤 방식으로 개별 숫자에 대응할 수 있는지를 보여주고, 이러한 수대응(數對應)이 무한히 계속될 수 있음을 통해, 보편 튜링 기계의 작동이 '멈추지 않는다'는 것을 보여주고 있다. 그리고, 이러한 개념은 '기계는 생각할 수 있는가?'의 문제제기로 이어진다. 책에서 제기한 이러한 질문에 대해 2015년 알파고와 이세돌의 바둑 게임 결과로 답을 할 수 있다고 생각된다. '기계학습'을 통해 발전하는 인공지능(AI)의 시대를 살아가는 우리에게 <튜링 & 괴델>은 컴퓨터의 기본개념에 대해 잘 설명해주는 좋은 입문서라 생각된다.



[그림] 바둑의 경우의 수( 출처 : http://www.bloter.net/archives/249668)


이러한 입문서로서의 역할 이외에도 <튜링 & 괴델>은 수리논리학이 결코 <수학 정석>의 집합, 명제 수준이 아님과 수학의 여러 정리를 추가적으로 제시하여 독자의 흥미를 더한다. 그 중 두 가지를  소개해본다.


1. 부랄리-포르티 역설과 안셀무스의 신 존재 증명


<튜링 & 괴델>에서는 칸토어의 역설을 설명하면서 '부랄리-포르티 역설'을 설명하고 있는데, 이는 중세 안셀무스의 신 존재 증명을 연상시킨다. 서양에서 무한(infinity)라는 개념은 신(God)의 존재와 뗄 수 없는 관계라는 생각이 든다.


[부랄리-포르티 역설]

모든 서수들의 집합은 존재하는가? 다시 말해 가장 큰 서수는 존재하는가? 이를 증명하기 위해 가상의 집합 Ω를 가정하자. 이 집합에는 0, 1, 2, 3, ... ω(초한 서수)가 포함될 것이다. 모든 서수들의 집합 Ω의 서수는 Ω의 원소인 어떤 서수보다 크며, 가장 큰 서수가 될 것이다. 그런데 Ω로부터 Ω+1을 구성할 수 있다. 또한 Ω+1은 Ω보다 더 크다. 그러나 이는 가 가장 큰 서수라는 사실과 모순된다.(p142)


[안셀무스의 신 존재 증명] 

1. 신은 그보다 더 큰 것이 상상될 수 없는 존재다.(가장 큰 존재다.)

2. 이런 신의 개념은 인간의 지성 속에 존재한다. (즉, 그런 개념을 인간이 이해할 수 있다.)

3. 신이 실재가 아닌 마음 속에만 존재한다고 가정하자.

4. 그것은 마음 속에 한정된 신보다 더 큰 개념이므로, 그보다 더 큰 것이 상상될 수 없는 존재라는 신의 정의에 모순된다.

5. 따라서 신은 실제로 존재한다. (출처 : 위키피디아)


2. 러셀의 역설(Russell's paradox)


책에서는 자기 지시의 모순의 대표적 예로 러셀의 역설을 소개한다.


[그림] 러셀의 역설( 출처 : 네이버)


S라는 집합을 "자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의하자. 다시 말해, A가 S의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아닌 것으로 한다. 이 경우 "S는 S의 원소이다"라는 명제와 "S는 S의 원소가 아니다"라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다. (출처 : 위키피디아)


러셀의 역설을 이용해서 한 가지 명제를 만들어 보면서 리뷰를 마치고자 한다.


'세상에 바뀌지 않는 사실은 "세상 모든 것은 바뀐다"는 사실이다.'


PS. '분명하게 말할 수 있는 것은 "모든 것을 분명하게 말할 수는 없다."라는 사실이다' 라는 명제 때문에 비트겐슈타인(Ludwig Josef Johann Wittgenstein, 1889 ~ 1951)것이 '말할 수 없는 것에 대해 침묵해야한다'고 한 것은 아닐테지... 


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五車書 2017-03-11 07:36   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
예전부터 느낀 바지만, 겨울호랑이 님은 수학 세계로 지식의 지평을 넓히고 개척해내는 노력에 감동을 받습니다. 좋은 글을 읽고 모른 척 할 수 없어서 이렇게라도… ^^;;

겨울호랑이 2017-03-11 07:41   좋아요 1 | URL
감사합니다 오거서님^^: 사실 제가 수학을 잘 못해서 뒷북으로 책을 봅니다..ㅋ 서양철학, 음악, 미술 등 문화 전반에 수학 아닌 것이 없다는 것을 많이 느끼는 요즘입니다^^: 감사합니다. 탄핵도 되었으니 오거서님께서도 좋아하시는 카라얀의 연주 즐감하시는 주말 되세요^^!

yureka01 2017-03-11 08:11   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
논리가 다 현상에서 추상으로 나오더군요..그러니 현상의 수리적 추상이 곧 수학?이겠다 싶습니다. 이 책의 난이도가 상당할듯합니다..ㅎㅎㅎ

겨울호랑이 2017-03-11 14:40   좋아요 1 | URL
^^: 제목에서 책의 난이도를 산출하시는 것을 보면 유레카님의 내공이 더 대단하십니다^^: 유레카님의 내공이라면 재밌게 보실 수 있으실 것이라 생각합니다.

서니데이 2017-03-11 20:28   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
알파고는 저렇게 생겼군요.^^
겨울호랑이님 주말 즐겁게 보내세요.
날씨가 따뜻합니다.^^

겨울호랑이 2017-03-11 20:37   좋아요 1 | URL
꽃샘 추위도 물러가는 것 같아요^^: 서니데이님도 몸도 마음도 행복한 주말 보내세요^^: 감사합니다

AgalmA 2017-03-12 07:37   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
오늘 제가 읽은 책 <왜 세계는 존재하지 않는가> 내용과 겹치는 게 많네요.

일단 안셀무스 신 존재 증명은 이미 1번부터 틀렸습니다. 신이 가장 크다는 가정은 어디서 나왔는지 그 가정 증명부터 나와야 겠는데요^^ 그렇다고 치고 따라가도 4,5번에서는 엉터리란 말이 절로 터져 나옵니다-_-; 이 논법으로 설득된 사람들이 정말 많단 말인가;;;;
인간의 마음을 어떤 크기로 측정할 수 있는지. 한 사람만이 아니라 이제껏 생존했던 모든 인간의 마음을 측정할 수도 없으면서. 또한 마음 속의 신과 실제하는 신의 비교가 과연 대비적일 수 있는 것인지. 토끼의 마음 속이나 인간의 지성 외에서 신의 존재 증명을 찾지 못한다면 신은 인간 지성 크기보다 더 클 수 없습니다. 여전히 인간 지성 손바닥 안에 있음을 저 명제들은 보여줍니다. 가정한 인간의 지성도 신도 이미 개념 속 대상인데 무엇보다 가장 문제적인 건 마음 속 신이 한정되어 있다는 것도 일반화 오류같고 거기서 모순을 말하는 것도 괴이하며 그 도출로 실제가 존재한다는 결론 이것도 논리 모순입니다.


러셀의 역설에 대한 건 마르쿠스 가브리엘이 구성주의를 비판하며 만든 도식과도 비슷합니다.
{[(T는 S에 상대적이다)는 S에 상대적이다]는 S에 상대적이다}는 S에 상대적이다 ………이것이 무한으로 이어짐. 궁극적인 준거가 되는 최후의 체계가 없죠.


비트겐슈타인의 저 유명한 말 ‘말할 수 없는 것에 대해 침묵해야한다‘는 여러 전제들을 생각해야 합니다. 자연 과학적 사고를 추구한 비트겐슈타인이<논리-철학 논고>에서 하이데거의 형이상학적 진술들을 비판한 데서 정확히 썼지만, 비트겐슈타인은 ˝철학은 말할 수 있는 것을 분명하게 말함으로써, 말할 수 없는 것을 의미할 것이다˝라고도 말했죠. 분명하게 말하기 위해 생각의 한계로 설정한 것이지 모든 것을 분명하게 말할 수 없다는 불가해적 판단에서 나온 말은 아니라는 겁니다.

겨울호랑이 2017-03-12 07:49   좋아요 1 | URL
^^: Agalma님 아침에 보내주신 장문의 편지 감사합니다.ㅋ 덕분에 늦잠자다 깼어요..ㅋㅋ

1. 안셀무스의 신 존재 증명에 대해서 Agalma님께서 말씀하신 내용이 맞습니다. 일종의 삼단논법 형식으로 전개된 위 논증은 첫 번째 대전제가 받아들여지지 않는다면 성립될 수 없겠지요.. 안셀무스의 증명은 대강 이렇게 생각하시면 될 듯 합니다.
‘세상 어떤 속성도 함께 포함하고 있는 완전한 존재가 있다고 가정을 하자. 그 존재에게 ˝실존성˝이 빠졌다는 것은 우리가 가정한 ˝완전한 존재˝라는 가정에 모순되는 속성이다. 그래서, 신은 존재한다..‘ 안셀무스의 관점은 현대에서 바라볼 때 받아들여 지기는 어렵지만, 그가 살았던 중세(11세기)에는 ˝믿음의 시대˝였기 때문에 가능했을 것입니다...이외에도 신 존재 증명은 여러 철학자들이 했던 것 같습니다.

그토록 많은 논의가 이루어진 것은 ‘수학의 체계가 무모순이라면, 수학의 체계에서는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 것이다(제1불완전성 정리)‘를 통해 생각해볼 수 있을 것 같습니다. ‘신이 만든 세계 속에서는 신의 존재를 증명할 수 없다‘ 가 답이 되지 않을까...라는 생각을 합니다.(정작, 괴델은 수학적으로 신 존재 증명을 했습니다.ㅋ )

2. 러셀의 역설

러셀의 역설은 Agalma님께서 말씀하신 문제가 있습니다. 그러한 문제는 언어의 지시적 의미와 형식이 충돌해서 생기는 문제겠지요. 언어는 수단으로서 이미 전제된 부분(사회적 합의)이 있는데, 이러한 부분이 특정 정의를 통해 모순되게 정의될 때 부딪히는 문제인 것 같습니다.. 결론은 말장난이구요.ㅋ

3. 비트겐슈타인의 ˝말할 수 없는 것에 대해 침묵해야한다˝는 전혀 제가 ps에 언급한 내용으로 이야기되지는 않았을 것입니다. 제가 그냥 러셀과 비트겐슈타인의 관계(사제지간이면서 대립되는)를 생각해서 즉흥적으로 던져본 말일테니까요. 아직 비트겐슈타인에 대해 저도 자세히는 모릅니다만, ˝언어˝에 대해 주목한 비트겐슈타인이라면 ‘언어와 대상의 1:1 관계성‘과 그 의미에 대해 당연히 한 번쯤은 고민했으리라는 추측으로 말장난처럼 적어놓았습니다.ㅋ 너무 진지하게 Agalma님께서 응답해 주셔서 다음에 <논리-철학 논고> 읽을 때 제가 잡고가야할 포인트를 건졌네요.

항상 제 부족한 글을 읽고 깊이 생각할 문제를 나눠 주셔서 Agalma님 감사합니다.^^:

AgalmA 2017-03-12 07:57   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
아침 잠 깨워 드려서 죄송합니다^^;; 거기다 성심껏 댓글까지 쓰는 중노동을 시켜드렸군요;; 거듭 죄송합니다;
책 읽고 그 여운에 그와 관계된 글을 보게 되니 저도 모르게a;;

마르쿠스 가브리엘은 괴델의 수학적 신 존재 증명에 대해서도 그 대상영역(수학) 내에서의 증명일 뿐 모든 것을 포함하는 혹은 설명하는 신 존재 증명은 아니라고 말할 겁니다. 저도 그렇게 생각하고요ㅎ
암튼 푹 쉴 일욜 아침부터 죄송; 담엔 새벽에는 댓글 저장해두고 낮에 드리는 예의를 좀 차리겠습니다!

겨울호랑이 2017-03-12 14:29   좋아요 1 | URL
ㅋㅋ 아녜요. 할 일 미루고 농땡이 중이었어요.. ㅋㅋ 사실 저는 새벽에 일어나는 편인데 빈둥거리다 Agalma님께 딱 걸렸네요. 지금 일어나지 않으면 연의와 종일 놀아야하니 책 읽을 시간이 없어 오히려 제가 Agalma님께 감사드립니다. 거기에 안 굴러가는 머리로 답글쓰느라 충분히 예열이 되었으니 잘 되었네요 저도 Agalma님 글이 반갑다보니 리뷰에 가까운 답글 썼답니다. 전혀 미안해 하시지 마시고 아무 때나 쓰셔도 됩니다.. ㅋ 정말 피곤하면 눈을 지긋이 감고 나중에 답글쓰겠지요.. 그땐 이해해 주시길요.^^
 
신의 베틀 경문수학산책 18
클리퍼드 픽오버 지음, 이상원 옮김 / 경문사(경문북스) / 2002년 1월
평점 :
절판


<신의 베틀>은  '수(數)'와 '신(神)'과의 관계를 과학소설의 형식을 빌려 표현한 과학 소설(SF)이다. 작품의 큰 틀은 서기 2080년을 살고 있는 주인공이 기원전 450년으로 돌아가 '피타고라스'를 만나고, 그의 애인인 '테아노'와 사랑에 빠져 함께 시간 여행을 한다는 내용의 소설이다. 마치 어린이 '공룡 백과 사전'의 시간 여행을 연상시키는 <신의 베틀>의 구조는 단순하고, 어설픈 주인공과 피타고라스 애인과 사랑 이야기는 어설프지만, 책에서 다루는 과학사적 내용은 상당히 흥미롭게 빠져들게 만든다.


<신의 베틀>에서 다루는 주요 내용은 피타고라스의 수비학(數秘學), 성(聖) 아우구스티누스와 수, 프랙털(fractal), 카발라(Kabala), 괴델의 신의 존재에 대한 수학적 증명등으로 수학(數學)과 종교(宗敎)와의 관계가 흥미롭게 분석되어 있다. 특히, '신의 존재에 대한 괴델의 수학적 증명'은 평소 관심있던 내용이라 개인적으로 더 흥미로웠다. 다음에서 다루는 책의 주요 내용을 정리해 보면 다음과 같다.


1. 피타고라스의 수비학


우리에게는 '피타고라스 정리'로 유명한 수학자지만, 사실 그' 피타고라스 학파'라는 집단의 우두머리였다. 이 학파는 '수(數)'를 통해 우주적 질서를 파악한 일종의 종교집단으로 그들만의 금기사항으로도 유명하다. <신의 베틀>에서는 피타고라스 학파의 특징과 함께 삼각수, 오각수의 비밀등을 다루고 있다.


'수, 수적 비례, 그리고 조화에 대한 연구와 고민은 피타고라스 학파의 가장 큰 특징이었다. 수는 사물과 닮았고 많은 경우 사물 자체이기도 했다.... 피타고라스 학파에서 짝수는 여성이고, 홀수는 남성이다. 1이라는 숫자는 모든 수의 근원이고 2는 첫 번째 여성수다. 첫 번째 남성수는 3이고 이것을 첫 번째 여성수와 더하면2+3=5가 되어 결혼을 생각한다. 8은 결혼을 상징하는 5에 남성수인 3이 더해진 수로 사랑의 비밀을 간직한 것으로 여겨졌다.'(p38)




[그림] 피타고라스의 삼각수 (출처 : http://guestbook.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=alwaysneoi&logNo=220090463291&parentCategoryNo=21&categoryNo=&viewDate=&isShowPopularPosts=false&from=postView)


2. 성(聖) 아우구스티누스와 수


우리에게 <고백록>으로 유명한 아우구스티누스에게 수학은 성경 해석의 도구였다. 성경의 구절에 적힌 숫자들의 의미를 교리에 따라 해석한 내용이 <신의 베틀>에서 다루어진다.


'성 아우구스티누스는 153이 신비스러운 수이고 말세가 되면 성인 153명이 되살아난다고 믿었어... 성 아우구스티누스는 숫자를 사용해 성경을 해석했거든. 예를 들어 그는 사도들이 티베리아(Tiberia) 바다에서 물고기 153 마리를 잡았다는 신양성서(요한 21:11)에 주목했지. 인간이 10계명을 지킬 수 있도록 해주는 성령의 일곱 가지 선물에서 착안해 이 제자들이 성자임에 틀림없다고 생각한거야. 또한 10+17=17이고 1에서 17까지의 수를 모두 더하면 153이 나오지.'(p122)


3. 프랙털(fractal)


작은 크기의 모양이 끊임없이 반복되는 '자기닮음성'을 보여주는 프랙철이 컴퓨터에 의해서 만들어지는 인위적인 현상이 아니라, 양치류 등의 자연을 통해서도 나타남을 설명한다.


'프랙털이란 같은 모양이 크기를 달리해 반복되는 형태를 말해요. 나뭇가지 안에 다시 조그만 나뭇가지들이 들어 있는 모양이라고나 할까. 수학자들은 그런 구조를 자기 닮음(self-similar)라고도 불러.'(p242)




[그림] 프랙털(출처 : http://www.aistudy.com/physics/chaos/shape_gleick.htm)


4. 카발라(Kabala)


성서의 해설은 기독교만의 전유물은 아니었다. 유대교에서도 이러한 경향이 있음을 <신의 베틀>을 통해 확인할 수 있다.


'카발라란 12세기와 그 이후에 널리 퍼진 유대인들의 비밀스러운 신비주의야. 그들은 구약석서의 대부분이 암호라고 말하지.(p314)... 카발라에서는 또한 수를 통해 네 글자로 된 신의 이름을 이해하려고 했어. 그 신의 이름은 IHVH라고 씌여 있고 그 발음은 야훼 또는 여호와 정도가 되지만 너무도 신성한 것이었기 때문에 소리내어 읽으면 안 된다고 했지....카발라에 따르면 야훼라고 하는 간단한 이름은 본래 72음절 216글자로 이루어진 진짜 신의 이름을 짧게 부르는 것에 불과해. 이 신성한 이름은 셈 하-메포라시(shem ha-meforash)라고 불리지.' (p319)


5. 신의 존재에 대한 괴델의 수학적 증명


<신의 베틀>에서 불과 1페이지 정도에 이르는 증명을 소개하면서 약 20페이지에 걸쳐 이에 대한 현대 수학자 및 철학자들의 견해를 [부록]으로 설명한다. 내용이 어려워 다 이해하기는 어렵지만, 안셀무스와 토마스 아퀴나스의 신존재 증명(다섯 가지 길)과는 또 다른 관점을 알게 된다.


공리1. (이분법) 속성은 그 부정이 부정적일 경우에만 긍정이다.

공리2. (닫힘) 속성은 긍정적인 속성을 가진 경우에만 긍정이다.

정리1. 긍정적 속성은 논리적으로 일관된다. (다시 말해 실례를 가질 수도 있다.)

정의. 모든 긍정적인 속성을 가지는 것만이 신적이다.

공리3. 신적이라는 것은 긍정적인 속성이다.

공리4. 긍정적인 속성이 되는 것은 (논리적으로) 필요하다.

정의. x가 P를 최소한으로 가지고 있을 경우에만 속성P는 x의 핵심이 된다.

정리2. x가 P를 최소한으로 가지고 있을 경우에만 속성 P는 x의 핵심이 된다.

정의. NE(x) : 핵심 속성을 가지고 있다면 x는 반드시 존재해야 한다.

공리5. 반드시 존재한다는 것은 신적이다.

정리3. 신적인 x는 반드시 몇몇 개가 존재한다. (p382)


<신의 베틀>은 수학과 종교의 관계를 어떻게 보고 있을까?  저자는 서문에서 다음과 같이 말하고 있다.


'신은 정말로 수학자였을까?... 나는 신이 수학자였는지 아닌지 모른다. 하지만 신이 우주라는 천을 짜 내려갈 때 수학이 그 베틀 역할을 했음은 틀림없다고 믿는다.'(p3)


<신의 베틀>에서는 이처럼 우주의 근본질서가 되는 근본원리로서 '수학'을 조명한다. 그리고 피타고라스 이래 수학이 종교와 신의 섭리를 설명하기 위해 어떻게 사용되었는지를 알려준다. 약 400페이지가 넘는 분량이지만, 양(量)에 비해  쉽게 읽을 수 있는 편이다. 그 이유는 무엇 때문일까? 나는 <신의 베틀>이 재밌게 읽히는 것은  '문과'에 속하는 '종교학'과 '이과'에 속하는 '수학'이 결코 다르지 않다는 것을 보여주면서, '문과-이과'의 구분에 익숙한 우리의 편견을 깨기 때문이라고 생각한다. 그리고, 다음과 같은 생각을 해본다.


우리 나라 교육과정은 크게 문과(文科)와 이과(理科)로 나누고 있다. 그리고, 진학 기준을 수학을 잘하는가에 따라 큰 방향을 결정하고 있는 것이 현실이다. 그렇지만, 실제로 전공을 깊게 공부하다보면 모든 학문이 서로 연결되어 있음을 직접 체감하게 된다. 이른바 사회과학이라고 불리우는 분야에 있어서는 이공계만큼의 많은 수학공식이 필요하며, 공학분야에도 인간에 대한 고려 등 철학이 필요하다는 것은 공부를 깊이할수록 절감하게 된다. 이런 부분을 고려한다면, '문-이과' 체계가 합당한 학문 분류 체계인지 다시 고민하게 된다.


PS. '신의 존재에 대한 괴델의 수학적 증명'을 찬찬히 읽어보면 '스피노자(Spinoza)'적 관점이 눈에 띈다. '정의. 모든 긍정적인 속성을 가지는 것만이 신적이다.'에서 '부정은 단지 유한한 피조물에서만 발견되는 속성'이라고 말한 <Ethica>의 관점을 볼 수 있다.


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cyrus 2017-01-18 17:35   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
이 책, 소설이었군요. 처음 알았습니다. 수학과 종교의 공통점은 과거부터 지금까지 인간의 삶에 중대한 영향을 끼쳤다는 점입니다. 그런데 피타고라스 같은 경우, 수학의 진리를 지키기 위해 신비주의를 철저히 고수했다는 게 문제였어요. 수, 진리에 대한 집착이 지나쳐서 절대적인 믿음이 무너지는 것을 두려워했어요. 그래서 진리에 반한 내용을 발견한 동료를 죽이기도 했어요.

겨울호랑이 2017-01-18 17:43   좋아요 1 | URL
네^^: cyrus님 말씀처럼 피타고라스가 자신의 신념을 고수하기 위해 ‘무리수‘ 발견자를 제거하는 모습도 책에서 다루어 집니다. 그런 모습을 톤해 학자의 기본 자세에 대해서도 돌아보게 되네요.. cyrus님 편한 밤 되세요. 감사합니다^^

AgalmA 2017-01-20 00:53   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
수에 대한 인간의 이해를 생각하면 인간 자체가 천재 아녔나 싶어요^^

겨울호랑이 2017-01-20 00:57   좋아요 1 | URL
그렇겠지요?^^: 잘 이해하지 못하는 제가 부족한 것이라기 보다는 그들이 천재인것 같아요 ㅋ 저와는 다른 종족이라는 생각을 많이 하게 됩니다^^:
 
기하학원론 - 가 - 평면기하
유클리드 지음, 이무현 옮김 / 교우사(교재) / 1997년 1월
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<기하학 원론-가>는 유클리드의 <원론Στοιχε?α, 스토이케이아, Elements of Geometry>중 1권부터 4권까지의 내용을 정리한 책이다. '가'에 해당하는 내용은 1권 직선/ 각/ 삼각형, 2권 도형의 넓이, 3권 원, 4권 정다각형의 원을 주제로 논의를 확장시켜 나간다.


<원론>은 앞 뒤의 내용이 체계적으로 연관되어 있는 구조를 가지고 있다. 

각권의 처음은 '뜻매김', '공리', '상식'을 통해 증명을 위한 기본사항을 약속한다. 각 권의 시작에 '뜻매김(정의)'를 통해 이름을 짓고, '공리'를 통해 사실로 받아들여야할 사항을 정리한다. 마지막으로 '상식'은 일반적으로 우리가 받아들일 수 있는 사항들이며, 이들은 증명을 위한 기본 사항이다.


이러한 기본 사항에 동의한 후 우리는 '도형의 작도'를 통해 본격적인 '법칙'을 증명하게 된다. 매 문제 단위로 법칙을 증명하면, 다음 법칙 증명 시 전에 입증한 법칙이 또다른 '상식'으로 다음 증명에 활용된다. 우리가 몰랐던 사실들이 '상식'으로 받아들여지면서, 직선에서 정다각형으로 우리의 '앎'이 나가는 과정이 책의 목차(Index)다. 그래서, <기하학 원론>의 유기적 구성 자체에서 '건축물' 같은 느낌을 받게 된다.



[그림1] 가우디 건축물 (사진출처 : http://blog.daum.net/whitebooks/6039889)


각 법칙을 증명할 때 사용하는 기본 패턴이 존재한다.

예를 들어서, 삼각형의 닮음을 증명할 때는 일단 임의의 점(點)선정, 평행한 선분, 선분의 연장, 내접 또는 외접하는 원을 그려서 증명하는 방식을 취한다. 대부분의 증명방식은 이러한 방식으로 활용하여 증명을 하는데, 사실 내용은 우리가 이미 배운 삼각형의 합동 조건인 SSS합동, SAS합동, ASA합동을 활용한 것이기에 크게 생소하지 않다. 작도를 통한 직접 증명이 어려운 경우에는 '귀류법'을 통해 결론이 모순됨을 보여서 그 역(易)이 성립함을 증명하는 간접증명 방식으로 되어 있다.


많은 사람들이 수학책을 읽는 것을 어렵게 느낀다. 사실, 모든 내용을 완벽하게 이해하기는 어렵다. 그렇지만, 모든 것을 알려고 하기보다는 차근차근 익힌다는 생각을 해야하는 것이 수학에 좀더 친숙하게 다가가는 길이 아닐까 생각해본다.

 우리는  <논어>, <순수이성비판> 등을 한 번 읽고 내려놓지 않는다.  <원론> 역시 이처럼 여러 번 읽는다면 크게 어려운 내용은 아니라는 생각을 해본다. 문학책을 읽듯이 여러 차례 부담없이 읽는다면 '기하학적인 사고'를 읽힐 수 있다는 생각이 든다. 


다만, 그 전에 반드시 문제를 풀면서 나가겠다는 부담을 가지지 않는 것이 중요하다는 생각이 든다. 수험생이 아니라면, 모든 문제를 증명할 필요는 없지 않겠는가? 받아들일 수 있는 사항만 받아들이면서 '고대 그리스 철학자들은 이렇게 생각했구나.'하면서 친근하게 접근한다면 어느새 그들에게 동화될 수 있으리라는 생각이 든다.(고대 그리스 철학자들의 수학적 학습법이 궁금하다면 플라톤의 <메논>을 추천한다.)


그렇게 하다보면 누가 또 알겠는가. 수학에 빠져있는 자신을 발견할지.

다른 사람들은 카페에서 스마트 폰을 꺼내서 게임하는 동안, 가방에서 '컴파스'와 '자'를 꺼내서 취미로 수학문제를 푸는 자신을 발견할 수 있다면 그것도 멋진 일이라 생각한다.(쓰고나서 생각해보니, 주변에서 이상하게 볼 수도 있겠다.)



[그림2 ] 자와 컴파스 ( 사진출처 : http://smart.science.go.kr/scienceSubject/maths/view.action?menuCd=DOM_000000101001006000&subject_sid=286)


PS1. 스피노자의 <에티카>가 어려웠다면, 유클리드의 <원론>부터 훑어보는 것도 하나의 방법이라 생각된다. <에티카>는 마치 <원론>의 인문학적으로 패러디한 느낌이 기 때문에 그 차이를 알면 은근히 재밌다. <원론>의 기본구조를 빼다 박은 구조를 파악하지 못한다면, 마치 말기암환자 수술을 집도하는 의사처럼 <에티카>를 열어보자마자 덮게 될 가능성이 매우 높다.(경험담이다..ㅜㅜ)


PS2. <원론>은 수학책임에도 페이지와 법칙의 순서를 표시하는 곳 이외에는 숫자가 전혀 사용되지 않는다. 때문에 숫자알레르기가 있어서 수학책 못보시겠다는 분들은 이러한 말씀을 이 책에서는 못하실 것이다.



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매너나린 2016-11-02 10:13   좋아요 3 | 댓글달기 | URL
숫자 알러지는 없으나 기하학.도형..넘 어렵고도 먼 얘기입니당~~ㅋ겨울호랭이니임!갑자기 막~~존경스럽습니다~~^^

겨울호랑이 2016-11-02 10:19   좋아요 2 | URL
^^: 사실 내용은 우리가 이미 알고 있는 것 또는 알고 있는데 의식하지 못하는 것들의 내용이 대부분입니다. 다만, 증명을 하는 그들의 접근 방법을 이 책을 통해 아는 것이 좋지 않을까 하는 생각이 들었을 뿐임니다.(저도 사실 존경받을 정도로 알지 못합니다.ㅋㅋ 많이 몰라서 찾아 보는 거지요.) 매너나린님 감사합니다.^^

매너나린 2016-11-02 10:28   좋아요 2 | URL
와~~!문과체질인 저로서는 이과의 학문들 자체가 생경합니당.ㅋ
증명..접근방법..흠..ㅡㅡ점점 더 멋있어 보이려고 그러시는거죠?ㅎ
어려운 책이지만 관심 가질수 있게 알려주셔서 감사합니다~~^^
건강한 하루 되세요!

겨울호랑이 2016-11-02 10:32   좋아요 2 | URL
ㅋㅋ제가 만든 말도 아니고, 유클리드가 책에서 쓴 말이라 부끄럽네요..그리고, 저도 문과(경제학) 출신이라 이과 학문이 어렵지요. 매너나린님 글에 관심가져 주셔서 감사합니다.
오늘도 춥지만 건강한 하루 되세요^^

마립간 2016-11-02 10:54   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
≪원론≫의 형식을 모방한 것들이 ≪에티카≫ 이외에 ≪프린키피아≫, ≪종의 기원≫, ≪자본론≫, ≪순수 이성 비판≫ 등 있습니다. 모두 다 근대의 고전으로 남았고, 읽기 어렵다는 공통점이 있지요.

≪원론≫의 마이리뷰를 보니 반갑네요.

겨울호랑이 2016-11-02 10:59   좋아요 0 | URL
그렇군요..마립간님께서 말씀하신 책 중 아직 제대로 읽어본 고전이 없네요..ㅜㅜ 사실, `<원론>-가`의 내용을 덮어 놓고 다시 해보라고 하면 어려울 것 같습니다. 아직 <원론>도 읽어야할 내용과 익혀야할 내용이 많기에 먼저 <원론>부터 차근히 진도를 나가야겠군요. 항상 좋은 말씀 감사합니다. 마립간님^^:

마립간 2016-11-02 11:26   좋아요 1 | URL
참, 저의 경우 ; 아이의 미래 수학 공부(, 수학의 두번째 관문이 중학교의 논증 기하학)를 위해 아이에게 정삼각형, 정사각형과 같은 간단한 작도는 자와 컴퍼스로 직접하게 합니다.

겨울호랑이 2016-11-02 11:31   좋아요 0 | URL
^^: 제 꿈 중에 하나가 아이와 함께 피타고라스 정리를 같이 증명해보는 것입니다. 그런데, `<원론>_가`를 읽어보니, 갈 길이 머네요. ㅋ 1회독 때는 전체적인 내용 파악 위주로 갔는데, 마립간님께서 말씀하신 것처럼 기본작도를 직접 하는 것이 중요하다는 생각이 듭니다.. <원론>을 읽을 때 자와 컴파스는 필수라는 생각이 듭니다. 감사합니다.^^

해피클라라 2016-11-02 11:20   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
와.. 이런 책이 있었군요!!
덕분에 알게 되네요~ 장바구니로 쏙>_<
감사해요^^

겨울호랑이 2016-11-02 11:25   좋아요 0 | URL
안녕하세요? 해피클라라님

저도 평소 해피클라라님의 어린이 책 소개로 많은 것을 얻습니다. 이번에 해피클라라님께 도움이 되어 기쁘네요. 행복한 하루 되세요^^: 감사합니다.

yureka01 2016-11-02 15:33   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
ㅎㅎㅎ 학교 다닐 때 제도판에 앉아서 제도자와 삼각자로 도면 기초 연습하던 생각이 납니다.
요즘은 세월이 참 좋아져서 뭐 제도고 뭐고 전부다 컴터롤 하니...너무 편리해졌죠...

겨울호랑이 2016-11-02 15:37   좋아요 2 | URL
지금은 CAD 사용을 많이 하는 것 같은데 제 전공이 아니라 맞는지는 모르겠네요. ^^: 예전에는 예쁜 글씨만들려고 펜글씨 학, 서예학원도 있었는데, 지금은 많이 없어진 것 같아요. 컴퓨터 덕분에 결과물은 예쁘게 나오는데, 그게 제대로 습득된 것인가에 대해서는 의문이 들때가 많은 것 같습니다.^^:

심성 2016-11-03 17:34   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
공교육을 들으며 흔히 말하는 수포자 (수학을 포기한 자) 중 한 사람으로써 수학이란 그저 싫고 복잡하고 필요하지 않은 것. 이라고 정의 내리고 생각하기를 포기했었는데 이러한 책들로 흥미를 느끼고 관심을 가진다면 충분히 수학을 좋아할 수 있을 것 같습니다. 이런식으로 소개받지 않는 이상 선뜻 제가 저 책을 뽑아들리는 없겠지만요 ^^;

겨울호랑이 2016-11-03 18:29   좋아요 0 | URL
안녕하세요? 심성님 말씀하신대로 부담없이 책을 그냥 따라만 가더라도 수학에 대한 부담을 많이 줄일 수 있을 것 같습니다. 수험생일때와는 달리 이제는 마음내킬 때 읽어도 되니까요^^: 감사합니다
 
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