산수의 기초 대우고전총서 8
고트롭 프레게 지음, 최원배 외 옮김 / 아카넷 / 2003년 3월
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<산수의 기초 Grundlagen der Arithmekik>는 고트롭 프레게(Gottlob Frege, 1848 ~ 1925)가 저술한 수학철학서다. 책 내용은 책 제목처럼 기초적인 내용을 대상으로 한다. 그렇지만, 수리철학의 기본내용에 대한 깊이있는 고찰과 프레게 이전의 철학자들의 사상에 대한 비판을 담고 있기 때문에 수리철학에 대해 사전이해가 없다면 내용이 어려울 수도 있다는 생각을 하게 된다. 이번 리뷰에서는 프레게가 결론 부분에서 정리한 요약 내용을 중심으로 <산수의 기초>의 전체 내용을 살펴보도록 하자.

 

1. [1~ 64]의 내용 요약 : 재인식 대상으로서의 수

 

  프레게에 따르면 수()는 독립적으로 파악되는 것이 아니라 관계에 의해 파악되는 개념이다. ‘1+2=3’ 이라는 수식(數式)‘I am a boy’와 마찬가지로 언어적인 관계성을 가지며, 우리는 이러한 관계 속에서 수를 재인식하게 된다.

 

우리는 수()가 사물들의 무더기도 아니며, 무더기의 성질도 아니라는 것, 그렇다고 해서 수가 심리 과정의 주관적 결과도 아니라는 것, 그리고 수 진술은 개념들에 관해 객관적인 것을 서술한다는 것을 확립한 다음, 먼저 개별 수 0,1 등과 수 계열에서 앞에 나옴을 정리하려고 하였다... 산수에서 다루어지는 수는 비자립적인 수식어가 아니라 명사적인 것으로 파악되어야 한다는 사실이 드러났다. 따라서 수는 물리적인 것이 아니고, 단지 공간적인 것도 아니며, 우리가 상상력을 통해 어떤 영상을 그릴 수 있는 것도 아니지만, 수는 재인식될 수 있는 대상으로 보인다.(p231)

 

  수에 있어서 재인식(再認識)의 문제는 등식을 통해 제기된다. ‘1+2=3’이라는 수식에서 등식 왼편과 등식 오른편을 대응시키는 것이 수식에 대한 재인식 판단 내용이 된다.

 

대상마다 뜻을 지녀야 할 한 가지 종류의 문장이 있는데, 그 문장은 재인식 문장이며, 수의 경우에는 등식이라 불린다... 수 낱말이나 라는 낱말을 사용하지 않고, 수에 관한 등식의 뜻을 고정하는 것, 그 뜻을 표현하는 것이 중요하다. 우리는 개념 F 아래 속하는 대상들과 개념 G 아래 속하는 대상들을 양쪽으로 일의적으로 대응시킬 수 있다는 것이 수에 관한 재인식 판단의 내용임을 알게 되었다.(p232)

 

2. [65 ~ 69]의 내용 요약 : 수식에서의 개념의 외연


  수식의 왼편과 오른편을 대응시키는 과정을 재인식이라고 할 때, 왼편과 오른편은 약속된 형식을 갖춰야 한다. 그리고 이러한 일정한 형식 조건을 만족시켰을 때 우리는 수식의 참(True)과 거짓(False)을 판별할 수 있다.

 

우리는 언제 재인식 판단의 내용을 파악했다고 할 자격이 있는가? 그런 자격을 갖추기 위해서는, 모든 판단에서 그 판단의 진리를 손상하지 않고 탐구 중에 가정된 등식의 왼편의 것을 오른편 것으로 바꾸어 넣을 수 있어야만 한다... 재인식 문장은 언제나 뜻을 지녀야 한다. 등식의 한쪽만이 형식을 가질 경우, 우리는 정의에 따라서 그 등식이 참인지 거짓인지 판단할 수 없다.

 

개념 F에 귀속되는 기수는 개념 F와 동수인 개념이라는 개념의 외연이다. 여기서 우리는 개념 F와 개념 G를 양쪽으로 일의적으로 대응시킬 수 있다면, 그 두 개념을 동수(同數)라고 한다.(p233)

 

3. [70 ~ 86]의 요약 : 논의의 확장

 

  수식의 대응 관계를 논리적 관계로 바꾸면서 우리는 참, 거짓을 판별할 수 있다. 그리고, 우리는 임의의 수 n 다음에 n+1이 나온다는 사실을 통해서 수학이 논리학의 보편성을 가지고 있다는 사실과 함께 수학적 논의를 확장시킬 수 있게 된다.

 

양쪽의 일의적 대응을 순수 논리적 관계로 환원하였다. 그러고 나서 다음 문장의 증명을 암시하였다. : 개념 F가 개념 G와 동수일 경우, 개념 F에 귀속되는 기수는 개념 G에 귀속되는 기수와 같다. 그 다음 우리는 0, “n은 자연적 수 계열에서 m 바로 다음에 나온다.” 는 표현, 그리고 수 1을 정의하고서, 1이 자연적 수 계열에서 0 바로 다음에 나온다는 사실을 분명히 보여주었다.


자연적 수 계열에서 모든 수 다음에는 어떤 수가 나온다.

 

이를 위해 우리는 “n으로 끝나는 자연적 수 계열에 속하는이라는 개념을 도입하고서, 그 개념에 귀속되는 기수가 자연적 수 계열에서 n 바로 다음에 나온다는 것을 보이려 했다... 이를 통해 보통 수학의 고유한 추리 방법으로 간주되는 n으로부터 (n+1)로의 추리 방법이 논리학의 보편적인 추리 방법에 근거하고 있음을 증명할 수 있었다.(p234)

 

이제 수 계열의 무한성 증명을 위해 우리에게 필요한 문장은 어느 유한한 수도 자연적 수 계열에서 자기 자신 다음에 나오지 않는다는 것이다. 이렇게 해서 우리는 유한 수 및 무한 수 개념에 도달하였다.(p235)

 

4. [87 ~ 105]의 내용 요약 형식주의 비판

 

  이상의 논의(수학의 구조는 언어적 구조를 가진다는 사실과 재인식을 통한 참, 거짓의 인식, 그리고 수의 개념 확대 등)로부터 우리는 인식론(認識論)에 대해 다시 생각해 볼 수 있다. 안셀무스(Anselmus Cantuariensis, Anselm of Canterbury, 1033 ~ 1109)의 신 존재 증명의 기본 가정(그것보다 더 큰 것을 생각할 수 없는 어떤 것)과 같이 임의의 가정으로부터 도출된 증명은 논리적인 증명이 아님을 우리는 확인할 수 있다.


[그림] 켄터베리의 안셀무스(출처 : 위키백과)

 

이제 앞의 논의로부터, 산수의 진리들이 분석적이고 선천적인 본성을 지녔을 확률이 높다는 점이 드러나게 되었다. 그리고 우리는 칸트의 견해에 대한 개선을 이루었다.(p235)

 

끝으로 우리는 우리의 결과를 형식주의자들의 음수, 분수, 무리수, 그리고 복소수 이론을 비판하는데 사용하였고, 이런 비판을 통해 그들의 이론이 성공할 수 없다는 사실이 분명하게 되었다... 형식주의 이론이 상상하는 바에 의하면, 우리는 가정을 하기만 하면 된다. 그러면 그 가정이 충족되었다는 것은 당연한 것으로 여기게 된다. 그들은 마치 자기에게 필요한 것을 말만으로도 창조될 수 있는 신()처럼 행세한다.(p236)

 

<산수의 기초>를 읽고난 후 수학(數學)과 언어학(言語學)의 관계에 대해서 생각하게 된다. ‘I am a boy’라는 언어적 구조와 ‘1+1=2’라는 수리적 구조가 같다는 사실을 통해서 우리는 서양 문명에서 수학의 중요성에 대해서 생각해 본다. 조금 더 나가서 여기서 Iboy의 관계(충분조건, 필요조건 등)에 대해서도 추가적으로 생각하게된다. 또한, 내가 여자일 경우에 거짓이 되는 이 문장의 참, 거짓 문제 역시 보다 일반적으로 적용되는 수식과는 차이가 있기에 추가적인 논의의 대상이 될 수 있을 것 같다. 다른 한편 위의 문장(I am a boy)에서 boyI의 여러 속성을 설명하는 술어 개념이라면 추가적으로 I am rich, I am wise 등과 같이 I를 설명하는 수많은 추가 서술이 가능할 것이다. 이런 추가적인 서술이 가능한 문장과 ‘I am Who I am’(이 문장은 자체로 추가적인 서술이 전혀 필요하지 않다.)과는 또 어떤 차이가 있는 것인지에 대해서도 생각을 해보게 되었다.  이처럼 <산수의 기초>에서 논의된 내용을 통해서 여러 생각들이 들지만, 이들에 대한 고민해결은 다음 과제로 넘겨야할 것 같다.

 

<산수의 기초>에서 다루는 내용은 이처럼 이미 우리가 약속하고 사용하고 있는 개념들에 대한 설명이다. 때문에, 독자는 ‘왜 이러한 사항을 다루는가?’라는 질문을 던지고, 흥미를 잃을 수도 있다는 생각을 하게 된다. 그렇지만, 우리가 유클리드 기하학(Euclidean geometry)<원론>에서 저자가 5가지의 정의와 공리를 통해 거대한 기하학의 이론을 증명하고 있다는 사실을 생각한다면, 이 책에서 다루고 있는 작은 정의가 거대한 논리철학의 구조를 이루는 뼈대가 됨을 깨달을 수 있을 것이다. 그런 관점에서 바라본다면, 논리철학에 관심있는 분들은 끝까지 정독(精)할 가치가 있는 책이라 생각된다. 



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AgalmA 2017-09-17 18:39   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
비트겐슈타인이 <논리-철학 논고>에서 왜 프레게와 러셀 이론을 공격했는지 이 글을 보니 더 감이 잘 오네요.
‘관계‘와 ‘재인식‘ 체계를 개념으로 도입해 놓고는 ˝산수의 진리들이 분석적이고 선천적인 본성을 지녔을 확률이 높다˝라는 말을 하다니... 비트겐슈타인은 관계 자체를 부정하죠. 그림이론과 게임이론은 바로 허점 공략~
겨울호랑이님이 잠깐 지적하셨듯이 언어로 들어가면 복합문장일 때도 프레게 이론은 유격이 발생합니다.
<논리-철학 논고> 다시 제대로 읽으려고 소쉬르 <일반 언어학 강의> 준비해놨는데 프레게, 러셀까지 섭렵한 겨울호랑이님은 훨씬 수월할 거 같아 부럽습니다!

겨울호랑이 2017-09-17 20:55   좋아요 2 | URL
^^: 프레게, 러셀 형님 철학의 윤곽을 어설프게 파악했다고 하는 것이 정확한 제 수준이고, 결정적으로 아직 비트겐슈타인까지 이르러면 칸트, 헤겔, 니체등 어마어마한 산들이 남아 있네요.그 사이에 있는 마르크스나 프로이트를 타다보면 그전에 낙오해버릴지도 모르겠습니다.ㅋ 제가 오히려 AgalmA님 덕분에 비트겐슈타인 전에 소쉬르를 공부해야한다는 사실을 배웠네요. (항상 많이 배우지만요^^:) 덕분에 다음 읽어야할 책 대기표가 발행되네요.ㅋㅋ

AgalmA 2017-09-17 19:00   좋아요 2 | URL
어설픈 건 제가 더 하죠; 제가 이게 늘 문제지만 진득하니 차근차근 공부하지 않고 서로 연결이 된다 싶으면 갑자기 두더지 땅굴 파듯이 한단 말이죠ㅜㅜ; 겨울호랑이님의 꼼꼼하고 체계적인 공부가 얼마나 부러운지 몰라요;_;) 내 멱살을 아무리 흔들어도 잘 안 돼요;
우리 서로 참 달라서 재밌어하며 이웃친구인가봐요. 허허허허))))

겨울호랑이 2017-09-17 18:59   좋아요 2 | URL
^^: 네. AglamA님 덕분에 더 넓게 세상을 보게 되고, 새로운 자극을 받게 되네요. 그래서 사는게 재밌습니다.^^:ㅋ

五車書 2017-09-20 08:10   좋아요 2 | URL
두 분께 새삼 감탄하게 됩니다. ^^;

겨울호랑이 2017-09-22 16:20   좋아요 1 | URL
^^: 제 경우에는 아직 계획일 뿐이라 갈 길이 아직 머네요... 감사합니다.

AgalmA 2017-09-22 07:11   좋아요 2 | URL
五車書님~ 저야 겨울호랑이님 학당에 얹혀 더부살이 시늉 정도죠ㅎ;

2017-09-17 21:33   URL
비밀 댓글입니다.

2017-09-17 21:37   URL
비밀 댓글입니다.