우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다

인간, ' 대칭 ' 의 매력에 사로잡히다

아름다움은 왜 진리인가 - 대칭의 역사 ㅣ 승산의 대칭 시리즈 3
이언 스튜어트 지음, 안재권.안기연 옮김 / 승산 / 2010년 3월

수학은 진리와 아름다움에 관한 공부야. 해답을 찾고 그 해답이 옳다는 것을 증명하는 공부야.

- 이언 스튜어트 <아름다움은 왜 진리인가> p 25 -

  불광불급 (不狂不及)   

' 미치지 않으면 미치지 못한다. '  내가 가장 좋아하는 말이다. 광적으로 덤벼들어야 무언가를 이룰 수 있다는 뜻이다. 불광불급의 열정 없이는 세상에 이룰 것은 아무 것도 없다. 그런 뜨거운 열정을 마음 한 구석에 품으면서 자신감을 갖고 오랜 시간을 노력하다 보면 자연스럽게 성공이 보이게 되는 것이다.  끊임없는 노력의 결과가 성공이든 실패를 하든 간에 내가 하는 일에 정신이 나갈 정도가 되었다는 것을 깨닫게 되었을 때 비소로 그때, ' 아! 그래도 내가 열심히 했구나 ' 하고 당당하게 말 할 수 있는 것이야말로 진정한 불광불급의 열정인 것이다.  

  수학벽(癖)에 들린 사람들   

수학자라고 하면 단순히 수학을 연구하고 어렵기 짝이 없는 수학 문제들을 푸는데 공을 바치는 사람들이라고 생각하고 있었다. 하지만 이언 스튜어트의 <아름다움은 왜 진리인가>라는 책을 읽고나서는 수학자라는 직업에 대한 새로운 정의가 필요하다는 것을 느끼게 되었다.  사회의 현상에 대한 통렬한 풍자와 해학으로 가득찬 귀스타브 플로베르의 <통상 관념 사전> 식으로 ' 수학자 ' 라는 인간을 정의하자면 ' 수학벽(癖)에 들린 사람들 ' 이라고 하고 싶다.

지구상에서 아무도 풀지 못하는 어려운 수학 난제를 해결하는 것이 모든 수학자들이 바라는 담대한 꿈이며 자신의 이름을 후세에도 길이 빛나게 할 수 있는 영광적인 표식이기도 하다. 그리고 자신만의 해법으로 어려운 난제를 해결하게 되었을 때 얻는 기쁨의 카타르시스는 어려운 문제 하나에 집요하게 매달릴 수 있는 남들보다 뛰어난 사고력의 힘을 발휘하는 정신적인 근원이며 수학자로서의 삶을 추구하게 만드는 원동력이 되기도 한다.     

 

폴 에어디쉬 (에르디쉬, 1913~1996)

아마도 수학벽에 들린 진정한 수학자를 꼽으라면 바로 헝가리의 폴 에어디쉬일 것이다. 에어디쉬는 이론이나 개념의 틀을 짜는데 치중하는 수학자가 되기 보다는 특별히 어렵다고 여겨지는 문제들만 해결하려고 하는 일반 수학자들과는 남다른 모습을 보였다. 그리고 그는 하루 최대 4, 5시간밖에 자지 않았고, 극도로 오랜 시간 연구를 계속한 것으로 유명하다.  

그렇다고 그가 수학 해결의 결과에만 집착했던 것은 아니었다. 단지 문제를 푸는 것에 만족하지 않고 아름답고 기초적인 풀이를 얻고자 하였으며 그런 수학 문제 풀이를 위해서라면 어디든지 찾아가는 방랑 생활을 마다하지 않는 보헤미안이기도 했다.  어려운 수학 문제들을 해결하는 공로로 화려한 수상과 상금 경력을 가졌음에도 불구하고 그는 거의 대부분의 재산을 학생들을 돕거나, 문제풀이 상금으로 내거는 것으로 썼다. 그렇다보니 집도 가지지 않는 무일푼으로 단촐한 삶을 살았다.  에어디쉬에게 수학 문제 풀이는 수학적으로 아름다운 증명의 과정을 체험할 수 있는 유쾌한 지적 활동이었던 것이다.   

	* 본의 아니게 폴 에어디쉬 이야기로 삼천포로 빠지고 말았다. 사실 이언 스튜어트의 책에는 폴 에어디쉬와 관련된 내용이 언급되지 않는다. 폴 에어디쉬 이야기는 같은 출판사(승산)에서 출간되었던 <우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다>와 지호에서 출간된 <화성에서 온 수학자>(품절)에 소개되어 있다.

  ' 수학자 ' 라는 이름의 독한 사람들 
 

하지만 이언 스튜어트의 책에서 등장하는 수학자들은 중에는 폴 에어디쉬보다는 더한 사람들도 있다.  에어디쉬의 수학 문제 풀이 앓이를 뛰어넘는 종결자 정도는 아니지만 어려운 역경 속에서도 수학 문제 하나를 풀기 위해서 치열하게 살았으며 에어디쉬의 생애 못지않은 독특한 생의 이력을 남긴 수학자들도 있었다.    

  1) 기하학을 연구했던 무명씨의 수학자들

 

임의의 각 삼등분하기 (출처: 네이버캐스트)

 

부피가 주어진 정육면체 부피의 정확히 2배인 정육면체 작도하기  

(출처: 네이버캐스트)
 

 

주어진 원의 넓이와 같은 넓이의 정사각형 작도하기 (출처: 네이버캐스트)

고대 그리스 때부터 기하학으로는 풀지 못했던 세 가지의 불가능한 문제가 전해내려 오고 있는데  ' 임의의 각을 삼등분하기 ' , ' 원과 같은 넓이의 정사각형 만들기 ' , ' 2배의 부피를 가진 정육면체 만들기 ' 이다.   유클리드의 저서 <기하학 원론>에는 수많은 기하학 명제들과 해법을 담고 있었음에도 불구하고 유독 이 세 가지 문제에 대해서는 일말의 언급도 없었다는 점에서 비롯되어 후세의 수학자들 사이에서는 불가능한 작도 문제에 대한 관심이 커지기 시작했다.   

특히, 기하학을 가르쳤던 고대 그리스의 철학자 플라톤은 기하학에서는 오직 눈금 없는 자와 컴퍼스만 사용하여 도형을 작도해야한다고 말함으로써 오랜 세월 기하학의 전통으로 자리잡게 되어 자와 컴퍼스만으로도 이 세 가지 작도를 증명하려고 도전하였다. 그러나 그 누구도 이 문제를 해결하지 못했다.  

아무리 똑똑한 현자들마저 해결하지 못하는 나제일수록 오히려 더 불가능한 문제에 대해서 호기심을 가지게 되며 열심히 연구하려는 사람은 많아지기 마련이다. 19세기에 들어서야 수학자들은 비로소 자와 컴퍼스만으로 풀 수 있는 문제와 절대로 풀 수 없는 문제로 분류할 수 있다고 결론을 지었으며 ' 해법이 없다 ' 는 결론이 나오기까지 수천년동안 수많은 무명씨의 수학자들은 플라톤의 정의에 사로잡혀 불가능한 기하학 문제에 매달려야 했다.    

  2) 병약한 천재, 닐스 헨리크 아벨   

 

닐스 헨리크 아벨 (1802~1829)

가난한 형편과 자신의 목숨을 노리는 병약한 기질이라는 이중고 속에서도 오직 하나의 분야를 해결하기 위해서 끝장 보려는 수학자도 있었다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨은 3세기 동안 수학상의 어려운 문제로 남아 있던 5차 방정식의 해법을 탐구하였다. 19세라는 나이에 아벨은 5차 방정식은 기존의 방정식 풀이 방법으로는 절대로 풀 수 없음을 증명하였지만 그의 증명 방법이 난해한 나머지 제대로 인정을 받지 못하게 되었다. 수학계의 1인자였던 프리드리히 가우스마저 어려운 수식과 증명으로 가득한 젋은 무명 수학자의 연구 논문을 거들떠보지도 않았을 정도이다.  젊은 나이에 인정을 받을 수 있는 절호의 기회를 놓친 아벨은 이에 굴하지 않고 자신의 증명을 널리 알리기 위해서 5차 방정식 연구에 더욱 매진하였다.  

그러나 열심히 수학을 연구하기에는 아벨은 너무나 가난했으며 날이 갈수록 병마로 인해 쇠약해져만 갔다. 그러나 아벨은 자신의 수학적 공로를 통해서 고정된 일자리를 찾기 위해서 안간힘을 썼다.  다행히 동료들의 끊임없는 노력 덕분에 아벨의 연구 결과는 차즘 인정받기 시작하게 되고 독일의 베를린 대학은 젋은 아벨을 교수로 초대하기에 이르렀다.  하지만 교수 임명직을 알리는 초대장이 도착되기 이틀 전에 아벨은 26세라는 짧은 나이로 불행한 생애를 마쳤다.  

어떻게 보면 아벨의 생애는 정말 불행하다라고 말할 수 밖에 없다. 그는 이른 나이에 아무도 이루어내지 못한 수학적 성과를 발견했음에도 불구하고 제대로 된 평가를 받지 못했다. 19세라는 아직 어린 나이에 사회가 주는 쓴 맛을 맛 본 아벨은 자신의 생활고를 극복할 수 있는 방법으로 수학 연구를 통한 안정된 일자리를 얻는 것이라는 것을 이미 깨달았을 터이다.  그리고 그런 자신의 삶을 구제할 수 있다는 희망적인 강박관념 속에서 그나마 남아 있는 생의 모든 에너지를 오직 수학 연구를 위해 소진해버렸다.  그런 아벨의 삶은 젊은 천재의 요절을 재촉하는 지름길이 되고 말았다.   

  3) 불운한 혁명가, 에바리스트 갈루아    

 

에바리스트 갈루아 (1811~1832)

수학사에서 가장 불행했던 수학자 2명은 앞서 소개했던 아벨 그리고 또 한 사람이 바로 프랑스의 에바리스트 갈루아이다.  아벨은 26세의 나이로 요절했지만 갈루아는 아벨보다 5살 적은 21세의 나이로 짧은 생을 마감했다. 그리고 아벨보다 더 불운한 경험을 가득찬 삶을 살아야했다. 호랑이는 죽어서 가죽을 남기고 사람은 죽으면 이름을 남긴다는 속담이 있다. 공통적으로 이 두 사람은 5차 방정식이 분야의 연구로 인정을 받으려고 했지만 실패했다는 점 그리고 죽고 난 뒤에 생전에 빛을 보지 못했던 연구로 인해 수학사에서 자신의 이름을 새겼다는 점에서 보면 이 두 사람의 생애는 흥미롭다.

이미 어렸을 때부터 갈루아는 수학적 신동의 기질이 나타나고 있었다.  다른 과목의 성적은 나빴음에도 불구하고 유독 수학 성적은 동급생들보다 더 뛰어났으며 오히려 수학 공부를 좋아하는 모습을 보였다.  그리고 17세의 나이로 5차 방정식에 관한 주제로 첫 논문을 발표했지만 그의 논문을 심사하는 교수가 논문을 분실한 탓에 인정받을 기회를 놓치고 말았다.  

자신의 능력을 세상으로부터 인정 받고 싶어했던 열혈 청년 갈루아의 불운은 여기서 그치지 않았다. 두 번째 논문 심사에서는 탈락하고 말았고 세 번째로 다른 권위 있는 수학자로부터 심사를 받을 수 있는 논문 제출에 응모했으나 하필이면 심사위원 수학자가 사망하게 되렸기 때문에 갈루아의 세 번째 논문은 또 분실되고 말았다. 

정말 아벨 못지 않게 지독하게 운이 따라주지 않았다. 그런 연속된 불행의 좌절 속에서 갈루아는 자신의 혈기왕성한 열정을 새로운 사회로 개선하려는 7월 혁명으로 향함으로써 세상에 대한 분풀이를 시도하였다.  태어날 때부터 호전적인 기질이 강한 나머지 젋음 특유의 힘을 주체하지 못했던 갈루아는 7월 혁명에 참가했다는 죄목으로 잠시 감옥에 수감되기도 했고 그 사이에 연애 관계까지 맺게 되었다.  자신의 연애 관계가 짧은 수명으로 마감하게 만드는 치명적인 원인이 될 줄은 그는 알고 있었을까?   

복잡한 연애 관계로 인해 갈루아는 결투를 피할 수 없게 되었다. 프랑스 남자들에게 결투는 자신의 자존심을 걸린 싸움이며 이 싸움에서 진다는 것은 곧 죽음이었다.  결투 전날 밤 자신의 죽음이 다가오고 있다는 사실을 예감하게 되고 갈루아는 자신과 같은 소속인 공화당원이며 절친한 사이의 친구인 슈발리에에게 유서를 남겨둔 채 결투로 인한 총상으로 사망하고 말았다.  

갈루아가 죽기 전날에 쓴 유서는 지금도 수많은 역사가들의 연구 대상이며 그의 짧은 생애에 대한 수많은 추측들이 등장하고 있다.   유서에는 단순히 죽기 전에 남기는 보통 평범한 내용만 남겨져 있지 않다.  마무리하지 못했던 연구 내용을 슈발리에에게 논문으로 출판해줄 것을 부탁하고 있기 때문이다.  죽기 하루 전에 갈루아가 급하게 쓰다보니 유서에는 휘갈겨 쓴 수학적 용어와 수식들로 빽빽하게 가득 차 있는데 그 내용에는 훗날 5차 방정식에 대한 연구에 대한 ' 갈루아의 이론 ' 으로 불리게 될 내용에서부터 오늘날 자신의 이름을 널리 알리게 해준 군(group)의 이론까지포함되어 있었다.   지금도 갈루아가 고안한 이론들은 물리학, 우주 과학 등 다양한 분야에서 사용되고 있다. 갈루아는 유서에서 자신이 ' 생각해 낸 ' 이론들을 유용하게 사용하는 사람들이 있을 것이라고 예언을 했는데 그의 말대로 실현되었다.   

갈루아의 유서를 통해서 우리는 그가 생전에 그토록 인정 받지 못했던 5차 방정식 연구를 혁명 참여 와중에서도 천착하고 있었다는 점을 알 수 있다.  그리고 죽기 하루 전날에 영영 무덤으로 가지고 갈뻔했던 자신의 연구 내용들을 유서를 통해서나마 알리려고 했던 그의 모습은 뼛 속 깊이 ' 수학자 ' 라는 것을 보여주고 있다.   
 

  수학자들만 느낄 수 있는 진리의 아름다움   

 

사실 이 책을 읽으면서 수학적 지식 하나 제대로 건지기는커녕 무슨 말인지 제대로 이해하지도 못했다.  그래서 앞에서 언급된 기하학 관련 내용이나 군의 이론 등에 대해서 자세하세 설명하지 못했다.  책의 부제는 ' 대칭의 역사 ' 라고 달고 있는데 정작 ' 대칭 ' 이라는 주제에 대한 내용이 아닌 엉뚱하게도 책에도 언급되지 않는 폴 에어디쉬에다가 책 속에서 소개된 수학자들의 생애만 열거하고 말았다.  저자가 말하고 싶은 주제와 논지에 벗어난 글이 되었음을 뒤늦게나마 알리려고 한다.  

최근에 같은 출판사에서 마커스 드 사토이의 <대칭>이라는 책이 나온 것을 알고 예비독서 삼아서 읽어봤는데 쉽지가 않았다. (이 책 역시 이언 스튜어트의 책보다 한층 더 수준이 놓은 내용이 있을 것이라고 예상된다) 수학적 개념을 알기 위한 입문용으로 읽기에는 조금 어려운 것은 사실이다. 그리고 본문 중간에 수식은 당연히 나온다.  

그렇다고 생전 처음 들어보는 수학적 용어와 수식만 보고 막연히 어렵다고 해서 짐짓 겁먹을 필요는 없다.  이언 스튜어트는 대중들을 위한 수학 전문 저술가로 널리 알려져 있으며 이미 기본적인 개념을 알고 있는 독자라면 읽는데 어렵지 않을 것이다.  그리고 이 책에는 정말 수학에 대해 관심 있는 사람이라면 한 번쯤은 들어봤으며 꼭 알아야 할 중요한 수학적 이론들이 소개되고 있다.  

나는 수학을 전공하지 않아서 읽는데 애먹었지만 그렇다고 이번 독서가 시간 낭비했다고 생각하지 않는다. 전문적인 수학 지식은 건지지 못했지만 수학사에서 중점적으로 다루고 있으면 오늘날에도 중요한 내용으로 자리잡은 기본적이면서도 중요한 수학적 개념은 어느 정도 파악할 수 있었다.  

그리고 수학의 역사 속으로 남게된 수많은 수학자들의 업적을 확인하면서 이들이 남들보다 수학 연구에 매달렸는지 이해할 수 있었다.  그들은 우리와 같은 평범한 일반인과는 다르게 수학 문제를 풀면서 얻게 되는 진리를 찾아가는 과정을 즐기고 있었으며 고생해선 찾아낸 진리라는 결과물의 아름다움에 매료되었던 것이다.  그 속에서 수학자들은 진리라는 빛나는 진주를 발견했던 것이다. 그 아름다움을 찾기 위해 혈안이 된 나머지 일반인과 다른 독특한 사람으로 비춰지기도 했다.  그리고 또 어떤 이들은 생전에 제대로 된 평가도 받지 못했다.  

그러나 그들은 발견한 수학의 진주들은 여전히 빛을 발하고 있으며 일반인들에게 느낄 수 없는 진리의 아름다움을 누릴 수 있었다. 그리고 그 아름다움을 누리기 위해서 그들은 자신이 가지고 있는 모든 집중력을 하나의 수학 문제 해결에 쏟아부었다. 인정을 받는냐 못 받느냐에 떠나서 수학자들은 오직 수학이라는 학문을 통해서 불광불급의 열정을 발산시켰다.  

수학자가 아닌 나로써는 수학자들이 발견해낸 진리의 아름다움은 그 어떤 무엇이다라고 단정하지는 못하겠다.  하지만 학창 시절에 어려웠던 수학 문제를 풀어본 경험을 생각해보면 수학자들이 느꼈던 진리의 아름다움이 무엇인지 조금이나마 알 수 있을 것이라고 생각된다. 해답을 찾고 그 해답이 옳다는 것을 증명하는 과정 그리고 그 인고의 과정 속에서 나온 결과가 나오면서 느끼게 되는 짜릿한 기쁨, 그것이야말로 진리라는 진주가 뿜어내고 있는 수학자들을 미치게 만드는 치명적인 아름다움이 아닐까.