수학동아 2011.11

수학동아 2011.11
수학동아 편집부 엮음 / 동아사이언스(잡지) / 2011년 10월

이번 편에서 칸토어의 이야기는 매우 인상적이었다. 칸토어는 집합론을 정립하였으며, 또한 무한의 세계에 대하여 전혀 새로운 관점으로 바라본 인물이기도 했다. 전혀 새로운 관점으로 보았기 때문에 대다수의 수학자들이 그의 이론에 반대하고 엉터리라고 비난하였지만, 그것은 단지 새로운 시도를 받아들일 그런 용기가 없었기 때문이다. 결국 그의 이론은 훗날 수많은 후배들에게 훌륭한 이론이라며 칭송받으며, 그렇게 무한의 세계를 열게 된다. 

칸토어와 같이 새로운 혁신을 시도하는 수학자가 있기 때문에 수학이 더 발전할 수 있으리라 생각한다. 수학은 지금도 이미 탄탄한 기초 위에 서있지만, 문제를 해결하기 위해서는 다른 방식으로 바라보는 사고가 필요하다. 그래야지만 수학적으로도 더 많은 연구가 가능하리라 생각한다. 그러므로, 나 또한 수학을 새로운 관점으로 바라보는 그런 수학자가 되어보고 싶다.

재미있는 수학자들 이야기

달콤한 수학사 4 - 힐베르트의 기하학부터 에르되스의 정수론까지
마이클 J. 브래들리 지음, 배수경 옮김 / 일출봉 / 2007년 9월

수학자들 중에서는 참으로 엉뚱하면서도 기발한 사고방식을 가진 인물들이 많은 것 같다. 무한의 개념에 매우 관심이 많았던 힐베르트의 이야기. 그 이야기 중에서 가장 접근하기 쉬운 힐베르트의 호텔 이야기를 해보자. 

호텔은 무한개의 방이 있고, 그 무한개의 방에 무한명의 손님이 와서 투숙해 있다고 하자. 이 때, 한 명의 손님이 찾아올 때 지배인은 모든 손님에게 n방에 있을 시 n+1번 방으로 옮겨줄것을 부탁하고, 1번방에 넣는다고 한다. 만약 또 무한명의 손님이 갑자기 호텔에 들이닥칠시, 기존의 모든 사람들을 2n번 방으로 옮겨서, 새로 온 사람들에게 홀수 번의 방을 제공한다고 한다. 그리고 무한 명의 손님이 무한 번 들이닥칠 때에, 그는 각 수의 제곱 수들로 옮겨서 그 나머지 방을 채운다는 명쾌하고도 기발한 이론을 내어 놓았다. 무한이란 개념은 생각하기가 쉽지 않다. 결국 그 끝이 없기 때문에, 우리는 극한과 수렴이라는 개념을 이용하여 무한에 대해 어느정도 이해해보려고 노력한다. 

여수학자들도 심심찮게 등장한다. 보통 여자가 남자들보다 논리력이 떨어진다고 말하는 사람이 있으며, 그들은 그 증거로 남자 수학자가 여자 수학자에 비해 월등히 뛰어남을 앞세운다. 하지만 그것은 교육 기회의 불균등의 문제였으며, 지금 시기에서는 여자 수학자들도 수나 실력에서 그리 뒤지지 않는다는 것을 보여주고 있다. 물론 이전에도 존재했던 여자 수학자들은, 우연히 교육의 기회를 접하게 되어 수학에 대한 높은 학구열과 실력을 발휘해 수학의 발전의 토대를 닦는다. 특히, 에미 뇌더란 여 수학자는 뇌더 스쿨을 다지고, 아인슈타인의 양자 역학의 토대와 수학, 물리학에서 온갖 발전을 세워놓는 공헌을 한다. 

수학은 사람을 차별하지 않는다. 생각할 수 있는 존재라면, 심지어 장애인도 수학을 할 수 있다. 스티븐 호킹이라는 천재 물리학자가 있지 않은가? 어떠한 여건에서도, 인종 차별이나 성별 차별 등의 악조건을 모두 무시해가면서 수학에 다가갔던 그 선구자들의 이야기가 지금의 후손들에게 큰 도움이 될 것이다. 그들이 성공했던 것처럼, 지금 시대의 사람들도 그 학구열을 불태워 수학을 더 단단히 다질 기틀이 될 것이리라.

수학을 사랑했던 선구자들의 이야기

달콤한 수학사 3 - 제르맹의 정리부터 푸앵카레의 카오스이론까지
마이클 J. 브래들리 지음, 안수진 옮김 / 일출봉 / 2007년 9월

수학사를 읽다보면서, 의외의 인물도 있고, 정말로 어려운 개념을 연구한 사람도 있었으며, 그 연구가 사람들의 삶에 큰 도움이 되었던 수학자들도 있었다. 이렇듯 다양한 수학자들은 모두 수학을 사랑했다는 공통점 하에 수학을 크게 발전시키는 결과를 가져다주었다. 수학은 인간에게 주어진 가장 큰 선물이라고 했다. 어떤 사람은 그 소중함을 못 느낄지도 모르지만, 삶 속에 가득찬 수학이 모두 이러한 수학자들의 노력에 의해 만들어진 것임을 기억하는 순간을 가져보자. 

이 책의 첫 번째 인물의 연구 분야는 내게 큰 흥미를 가져다 주었다. 소피 제르맹. 제르맹 소수의 발견자로, 페르마의 마지막 정리를 연구한 수학자이기도 했다. 현재 내가 주목하고 있는 규칙은 바로 'quadly'이다. n, n+1, n+2가 모두 4개인 약수를 지닌 숫자로, 그 경우는 소수의 세제곱이거나, 아니면 서로 다른 두 소수의 곱으로 이루어진 연속적인 숫자의 배열을 찾는 것이다. n으로는 33, 85, 93 등의 숫자를 찾아내었고, 앞으로는 그 규칙성을 활용해 더 많은 것을 찾아볼 생각이다. 제르맹 소수는 n과 2n+1이 모두 소수인 경우를 찾아내는 것이다. 페르마 소수, 메르센 소수 등 이미 많은 이들이 소수의 규칙성을 연구했으며, 그 과정이 현재 내가 가진 분야와 비슷하다는 것을 알고, 나도 작은 수학자란 사실에 희열감을 느꼈다. 

나이팅게일이 수학자였다?! 사실이다. 백의의 천사라고 부르지만, 나는 그녀를 통계학의 어머니라 부를 것이다. 통계학이 기존에 있었을지라도, 그것이 전문적으로 실생활에 활용된 경우는 드물었다. 그녀는 전쟁의 부상자와 전사자등의 그 원인을 통계를 통해서 숫자를 집약해냈으며, 그 대부분의 원인이 위생 불량에 의한 것임을 일깨워 주었다. 통계를 쓰니, 평소에 보이지 않았던 것들이 일목요연하게 드러난 것이다. 아마 우리가 배우는 수학 중에서도, 쓸모 없어 보여도 이렇듯 실생활에 도입하면 많은 목숨을 살릴 수 있는 그런 결과를 나타낼 지도 모른다. 

수학의 역사를 통하여, 앞으로도 많은 연구가 이루어질 수 있고, 그 연구가 심지어 사람의 목숨까지 살릴 수 있다는 사실을 알아내었다. 수학은 많은 분야에서 쓰인다. 우주 산업, 컴퓨터 그래픽, 회계 등 온갖 부문을 두루 점령하고 있다. 이러한 수학에 많은 관심을 가지게 된 내 자신이 자랑스럽다.

개념으로 깨치는 쉬운 수학

중학수학 개념사전 - 개념을 잡으면 만점이 보인다
호시다 다다히코 지음, 김경은 옮김, 김준형 감수 / 다산에듀 / 2009년 7월

많은 책들이 아마도 중학 수학은 쉽다고 말해왔을 것이다. 그러면서도, 초등학교에서는 수학을 잘 했는데 왜 중학 수학에서 어려움을 겪는지 의아함을 표하는 사람들이 있을 것이다. 그것은, 초등학교 때 자신이 이미 그 개념을 배웠다는 사실을 인지하지 못하기 때문에 그렇다. 초등학교 때 우리가 배운 풀었던 문제는 이러했다. 

"철수의 나이는 현재 5살입니다. 철수의 형이 15살일 때, 철수의 형의 나이는 철수의 몇 배입니까?" 

여기서 우리는 5 X □ = 15, □ = 3이라는 식을 말이다. 하지만, 중학교에선 이렇게 나온다. 

"15가 5의 배수일 때, 그 수가 몇 배인지를 구하여라." 

지극히 간단명료하지만, 때로는 더 어렵게 느껴지는 그런 말. 초등학교 수학을 산수, 중학 수학을 산수로 표현하는 이유는 바로 이러한 차이 때문이다. 산수에서는 최대한 간단하게, 긴 말을 생략하여 식을 표현하기 때문에 더 빠른 연산이 가능해진다. 처음부터 이러한 과정을 겪을 순 없으니 실생활의 예를 적용해가면서 수학을 배우는데, 사실 그것이 우리가 중학교 때 배우는 그 짧은 문장들을 길게 늘인 것 뿐이다. 

이미 배운 사실들을 개념으로 형상화 시키는 것. 그것이 바로 이 중학수학 개념사전의 역할이다. 평소에 우리가 친구에게 빚 500원을 졌다고 하면, 그것은 나의 현재 재산이 -500원임을 나타낸다. 그리고 내가 500원짜리 물건을 샀을 때, 그것은 기존금액 - 500원이 된다. 여기서, 두 마이너스 부호는 같은 모양이고 비슷한 뜻이지만, 실제로 나타내는 것은 다르다는 사실 등을 깨달아야 하는 것이다. 

그림을 통하여 쉽고 재미있게 개념들을 설명해 놓아서, 지금까지 희미했던 개념들이 점점 명확해짐이 느껴진다. 이러한 책들 덕분에 수학 실력이 부쩍 상승할 수 있을 것 같다. 

문장제 쉽게 이해해보기

중학수학 문장제 별거 아니야 - 문장제와 서술형 시험을 대비하는 최고의 중학수학 학습서 ㅣ 중학수학 별거 아니야 시리즈
배수경 지음, 문진록 그림 / 동아엠앤비 / 2011년 1월

중학수학. 여기서 대다수 사람들이 접하는 문제가 존재한다. 그것은 바로 서술형 문장제. 기다란 문장을 보면, 도대체 문제가 무엇이고 설명이 무엇인지 갈피를 잡지 못한다. 국어 실력이 뛰어나서 요점만 정확히 분석해내지 못하는한, 이 서술형 문제에 오랜 시간을 투자할 수 밖에 없다. 그렇다면, 이러한 서술형 문장제들은 그냥 망연히 지켜보고있어야만 하는가? 

이렇게 말했어도 이 책은 문장에서 요점이 무엇인지를 파악해주는 그런 족집게 논술 교과서가 아니다. 이것은 중학수학 책으로써, 다양한 개념에 대해 폭넓게 다룸으로써 주로 등장할 문장제를 어떻게 바라보고 요리해야 할지를 알려주는 것이다. 그렇기 위해서는, 먼저 문제의 다양한 유형을 아는 것이 필수이다.  

중학 수학에서는 초등 수학에서 보지 못했던 생소한 요소가 자주 등장한다. 먼저 이진법. 그동안 십진법만 다뤄온 우리는, 컴퓨터 연산에 유용한 이진법이란 것을 접해볼 기회가 거의 없었을 것이다. 그래도 주판을 해본 사람이라면, 5진법의 원리를 깨닫고서 2진법도 쉽게 이해할 것이다. 1과 0 두 개의 숫자만으로 1부터 무한에 가까운 수까지 모두를 표현해 낼 수 있고, 또한 이것이 전구의 깜박임과 유사하기 때문에 수학 문제에서도 자주 등장하고 있다. 아마도 네모칸에 색칠을 했는지 안했는지와, 전구의 깜빡임 문제를 통해 다양한 문제들이 출제될 것이다. 0과 1만으로 이루어졌다는 것은 이러한 것이다. 예를 들어 십진법 숫자 33을 이진법으로 표현하면 이러하다. 

100001⑵로 표현한다. 마지막의 1은 1을 나타내며, 그 왼쪽으로 갈수록 1이 있을 때에는 그 전 수의 2배를 나타낸다. 그러므로, 6번째인 제일 왼쪽의 1이 2의 5승인 32를 나타내는 것이다. 그러면 이것은 32+1이므로 33으로 나타낼 수가 있는 것이다. 

이러한 기초적인 원리를 먼저 습득했다면, 이 책을 통하여 그 문제 유형들을 자세히 살펴보도록 하자. 책의 앞에서 자세히 소개된 그 학습 방법을 터득한다면, 만화와 재미있는 예시를 통한 설명으로 쉽게 학습이 가능할 것이다.