모이고 모인 집합들의 이야기

칸토르가 들려주는 집합 이야기 + 독서활용노트 세트 - 과학자들이 들려주는 과학이야기 이벤트
정완상 지음 / 자음과모음 / 2005년 10월

집합의 종류는 도대체 얼마나 될까? 7 - 가를 공부하고 있다면 단순히 수학에 있어 무척 중요한 방식이라는 것만 막연히 알고 있을 수도 있다. 하지만 집합은 말그대로 다양하게 쓰인다.

"집합!"

선생님이 말하셨다. 그러자 운동장에서 뛰놀던 아이들은 황급히 선생님 앞으로 줄을 맞추며 선다. 이 아이들이 바로 Ⅹ초등학교에 다니는 A반의 학생들의 모임이라는 집합이다. 또 살펴보자. 도서관에는 인문책, 위인전, 동화책등으로 나누어져있다. 이들을 합치면 A라는 거대한 집합이 생긴다. 그 중에서 동화책이라는 이름을 가진 B집합이 있고 과학책이라는 이름을 가진 C 집합이 존재한다. 물론 도서관에는 동화책과 과학책만 있는 것이 아니다. 그래서 동화책과 과학책 외에 또 다른 책은 벤 다이어그램으로 표현하면 두 집합으로 표현된 원 밖에 있는 것들일 것이다. 그런데 만약 과학에 관한 동화책이 있다면? "아이작 뉴턴과 함께하는 사과 이야기"라는 과학 내용이 담긴 동화책은 비록 아이들이 읽는 동화 이야기라지만 결국 과학책이다. 서기들은 분류가 할 수가 없어서 이를 과학동화책에 집어넣었다. 과학동화책은 벤 다이어그램으로 보면 동화책과 과학책이 겹친 것이다. 모양으로 따지자면 두 동그라미가 조금씩 겹쳐서 세 부분으로 나뉜 것을 말한다. 여기서 두 원이 겹친 가운데부분이 바로 과학동화책이다. A에도 속하고 B에도 속하는 것은 A와 B의 교집합이라고 한다. 그런데 A집합에 있는 동화책은 결국 이야기책인 셈이다. 동화책과 이야기책은 같은 종류라 할 수도 있겠다. 그래서 동화책중에서 이야기책에 속하는 것은 모두 이야기책이 꽂혀있는 칸으로 옮겼다. 그러면 A집합에 속하는 것은? 아무것도 없다. 이를 ∮집합, 곧 공집합이라고 한다. 모든 집합에는 공집합이 속해있다. 사람이라는 집합중에서 키가 10m 넘는 사람의 모임이라 한다면 이는 당연히 공집합이 된다.

집합이라는 것도 정말 흥미있는 것 같다. 세상에는 많은 집합이 존재하고,어떠한 것을 나누고 분류할 때에도 집합이라는 것이 필수일 것이다. 앞으로도 더 집합에 관한 많은 공부를 해야겠다.

천재 수학가 가우스의 수열 이야기

가우스가 들려주는 수열이론 이야기 + 독서활용노트 세트 - 과학자들이 들려주는 과학이야기 이벤트
정완상 지음 / 자음과모음 / 2005년 10월

세상에 얼마나 많은 종류의 수열이 존재하는지 당신은 알 것이다. 이 수열이란 것은 피보나치 수열에 이어서 셀수 없이 많다. 왜냐하면 수의 규칙을 이용하여 온갖 것을 만들어낼 수 있기 때문이다. 세상에서 가장 간단해 보이는 것에서도 수의 규칙이 가끔씩 숨어있는 경우가 있다. 1에서 100까지 더하는 것을 단숨에 구할 정도로 수의 규칙에 대해 천재적인 능력을 발휘하는 가우스의 이야기를 들어보자.

수에는 규칙이 숨어있다. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11... 하는 수에도 1씩 더해진다는 그런 오묘한 규칙이 숨어있다. 만약 당신에게 이런 수가 주어진다면 당신은 어떤 규칙을 발견할 수 있는가?

A - 1, 4, 7, 11 ...

B - 2, 5, 10, 12 ...

C - 3. 6, 8, 9 ...

만약 당신이 정말 창의력이 넘친다면은 이 문제를 금방 풀 수 있을 것이다. 하지만 이 문제는, 아주 어린 수를 모르는 아이거나 수에 대한 천재가 아니라면 잘 풀 수 없는 문제다. 세상에 있는 모든 규칙을 적용해보아도 이런 불규칙적인 수의 규칙을 구해낸다는 것은 힘든 일이다. 그럼  본론을 말하자면, 이 수들은 직선과 곡선의 차이다. 직선과 곡선이라 말한다면 아마 수를 더 자세히 들여다 보아야 할 것이다. 그렇다. A, B, C의 수들은 공통점을 가지고 있다! A는 오직 직선만으로, B는 직선과 곡선으로, C는 곡선만으로 이루어져 있다. 물론 9는 쓰기에 따라 직선이 될 수도 있지만 이 경우에는 C에 집어넣겠다.

위에도 보았듯이 수열이란 정말 정답을 알면 너무 간단하다고 생각할지도 모른다. 하지만 이 수들속에서 규칙을 찾는 일이란 꽤 어려운 일이다. 수열에 관한 문제가 나오면 어떤 규칙이 숨어있을지 머리를 싸매지만 책을 읽고 나서 수열에 좀더 가까이 다가간 느낌이다. 수에 대한 더 많은 공부를 하도록 노력해야겠다.

함수, x와 y로 표현되는 세계

데카르트가 들려주는 함수 이야기 + 독서활용노트 세트 - 과학자들이 들려주는 과학이야기 이벤트
정완상 지음 / 자음과모음 / 2005년 10월

함수. 우리 생활에서 어쩌면 제일 필요로 하는 것일지도 모르겠다. 함수는 어떤 미지의 수 여러가지를 x와 y라는 문자를 이용해서 표현한다. 데카르트는 이 함수의 체계를 정확히 정리해냈던 사람이다. 그의 함수는 규칙에 있어서 매우 정확하게 규정이 되어 있다. 이 책에서는 여학생과 남학생의 예가 들어져 있는데, 나는 자판기의 예를 들겠다.

자판기에는 세 종류의 음료수가 있다. 사이더, 쿨라, 휜티이다. 자판기에는 종류가 다양하다는 것을 알고 있을 것이다. 또 이들 음료수를 뽑을 수 있는 버튼 A, B, C, D가 있다고 가정하자. 버튼 A를 누르면 사이더란 음료가 나오고, 버튼 B를 누르면 쿨라, C를 누르면 휜티가 나온다고 가정하자. 그렇다면 이는 함수로 표현하면 A-사이더, 곧 A가 x이고 사이더가 y라면 x⇒y라는 결과가 나오게 된다. 그렇데 남은 버튼 D를 눌렀더니 C를 누르면 나오는 음료수 휜티가 나왔다. 그렇다면 이 자판기는 고장난 것일까? 아니다. 여러개의 버튼이 한 종류의 음료수를 내보내는 경우는 많이 보았었을 것이다. 하지만 버튼 A를 눌렀더니 사이더, 쿨라, 휜티가 모두 나왔다. 그럼 이는 고장난 자판기인가? 우리에게는 이득이 되지만 안타깝게도 고장난 자판기이다. 또 버튼 D를 눌렀더니 아무 음료수도 나오지 않았을 때 이는 과연 무슨 일이 일어난 것일까? 이것은 확실히 고장난 자판기라는 사실을 알 수 있다. 이로 인해 알 수 있는 사실은, 하나의 x가 여러개의 y와 연결되어 있거나 x⇒ 아무것도 없는 결과라면 이것은 함수라고 볼 수가 없다. 고장난 자판기가 정상적인 자판기라 할 수 없듯이 말이다.

함수를 이용하면 정말 많은 것을 알 수가 있다. x와 y를 이용한 대표적인 그림으로는 좌표가 있다. 가로축은 x, 세로축은 y, 그리고 가로축과 세로축이 만나는 곳은 원점이다. 이 좌표를 이용해 많은 경우에 이용할 수도 있다. 부록에 보면 택시 회사 사장이 된 클레의 이야기가 있다. 그는 좌표를 이용해 손님과 택시가 위치하는 것을 나타내어 더 많은 돈을 벌었다. 좌표는 위치를 나타낼 때에도 쓰인다. 심지어는 바둑판에 그려져있는 선 모양을 보라. 좌표와 무척 비슷하다. 이 바둑판의 바둑알의 위치를 x와 y를 이용해서 나타낼 수도 있다.

함수. 생활에 정말 여러모로 편리하게 쓰이는 듯 하다. 보통은 함수가 온갖 문자와 수식을 이용해 나타낸 것인지라 제일 어려워 보이지만 어른들이 함수를 무척 중요시하는 까닭을 이해할 것 같다. 함수를 이용해 새로운 수의 세계를 향해 더 나아가 보아야겠다.

플라톤- 철학에 얽힌 삼각형의 비밀

플라톤 삼각형의 비밀 - 집중력을 키워주는 수학동화
김성수 지음 / 주니어김영사 / 2008년 5월

집중력을 키워주는 수학동화 시리즈, 그 세번째 이야기. 저번의 피타고라스 구출작전과 탈레스박사와 수학 영재 미로 게임 모두 마음에 들었었다. 피타고라스 이야기와 탈레스 박사 이야기에서는 온갖 수학 이야기가 종합적으로 나왔지만, 이번에는 도형 이야기가 전문적으로 나왔다. 내가 제일 좋아하는 도형을 살펴볼 수 있어서 정말 기분이 좋았다.

이번 책에 나오는 플라톤은 소크라테스, 플라톤, 아리스토텔레스에 이르는 3대 철학자에 이르러 세상에 큰 업적을 남겼다고 한다. 플라톤은 소크라테스의 제자이며 소크라테스가 억울하게 죽음을 당했을 때에 여행을 다녔고 그의 제자 아리스토텔레스와 30년 이상 깊은 교류를 나누었으며 80 평생동안 36권에 이르는 저서를 냈다.

삼각형. 가장 적은 수의 변으로 이루어지는 최초의 도형이며 찌그러지지 않는 튼튼한 도형이다. 큰 비밀에 휩싸여 있는 도형, 삼각형. 이번에는 수학 동화에서 삼각형의 비밀을 찾아본다.

주철이는 게임기를 가지고 놀다가 우연히 TMT본체와 연결되어서 과거로 가게 된다. 과거로 여행을 하게 되는 주철이, 이번에 새로 등장한 홍주와 혜지 셋이서 과거를 여행하며 플라톤 학당에서 생기는 미션을 무사히 수행해 나가는 이야기이다. 알렉산더 댕왕과 3대 철학자의 보물을 찾아나선다는 이야기가 무척 인상적이었다.

피타고라스에게 삼각형의 정리가 있었다면, 플라톤에게는 삼각형의 비밀이 있었다. 삼각형의 원리를 정리를 한 것보다 비밀에 휩싸인 삼각형이 훨씬 더 궁금하지 않은가? 이번 플라톤의 이야기를 읽으면서 삼각형의 다양한 비밀을 깨달을 수가 있었다.

책속에서는 삼각형을 이용한 갯수 구하기, 작도하기, 비밀 풀어내기등 다양한 재미가 숨어있다. 읽기가 어려운 부분도 있긴 있었지만, 무척 재미있게 읽을 수있었던지라서 참 즐거운 책이었다. 최근에는 플라톤과 같은 위인에 대해서 많이 잊고 지냈던 것 같다. 이 책을 읽고서, 다시금 플라톤의 존재가 내 마음속으로 들어오게 되었다.

영화속에서 찾아보는 수학!

수학 교과서, 영화에 딴지 걸다 ㅣ 생각이 자라는 나무 7
이재진 지음, 윤장로 외 감수 / 푸른숲 / 2007년 5월

수학을 아무리 쉽게 배운다고 하더라도 x와 y만 본다면 잠이 쏟아질 사람이 많을 것이다. 도대체 수학은 맨날 같은 방식으로 어렵게만 공부해야 하는 것일까? 하지만 우리가 좋아하는 영화속에서 수학을 찾아낸다면 어떨까? 아마도 좋아하는 영화의 영향으로 수학에 더 관심이 있어질수도 있다.

아버지 세대의 천하무적 로보트 태권 V. 마징가같은 위대한 영웅을 기대했던 한국의 어린이들을 위해서 탄생했던 로보트 태권 V는 선풍적인 인기를 끌어냈다. 그리고 그 원본이 2003년도쯤에 다시 발견되었다는 것이다. 그래서 화질도 디지털을 이용해 고급으로 이끌어내고 태권 V의 추억을 고스란히 되살린 영화가 다시 떠오르고 있다.

이런 로보트 태권 V속에도 수학이 숨어있다. 그 수학은 무엇일까? 그것은 바로 로보트 태권 V에 관한 질량과 부피이다. 로보트 태권V는 우리들보다 몇 배나 클까? 그리고 얼마나 무거울까? 실제 단위를 비교할 수가 없었기에 로보트 태권V에 대한 궁금증은 최근에 영화에 관한 이야기가 자주 입에 오르내리면서 더 커지고 있다.

로보트 태권 브이 뿐이던가? 과거에 수많은 이야기집을 엮어서 동화를 냈던 그림 형제의 이야기를 담은 영화 <그림 형제>도 있다. <그림 형제>는 두 형제에 관한 이야기로 영화 속에서는 퇴마사로 등장한다. 그림 형제가 엮어낸 동화집속에서는 유명한 백설공주, 신데렐라, 라푼젤 이야기등이 있었다. 그 중 라푼젤의 머리에 관한 계산이 무척 인상적이었다.

탑이 얼마나기에 라푼젤의 머리가 탑의 밑바닥까지 내려갈 수 있었던 걸까? 아무리 머리를 한번도 자르지 않는다고 해도 그 긴 머리를 관리하기도 힘들고 빠지는 머리카락도 꽤 있을 것이다. 일단 관대해져서 라푼젤의 머리카락 길이가 엄청나게 길다고 해보자. 그러면 라푼젤의 머리카락이 끊어지지는 않을까? 머리카락 또한 한 가닥으로도 커피잔을 들 수 있을정도로 튼튼하다. 그러므로 라푼젤이 머리를 잘 관리했을 때를 생각해서 또 관대해져보자. 그러면 머리가 빠지는듯한 고통을 느끼지 않을까? 하지만 그 문제도 머리카락의 두피 착력에 의해서 해결된다. 남은 문제는 바로 라푼젤의 목표다. 50KG이 훨씬 넘는 무게를 7개의 목뼈가 버틸 수 있냐는 것이다. 과거 우리나라의 여인이 1KG정도의 가짜 머리를 머리에 이고서 목뼈가 부러져 죽은 경우가 있으니 이는 목뼈문제에서 막힌다고 할 수 있다.

라푼젤만 있는 것이 아니다. 유명한 헨젤과 그레텔 동화에서도 헨젤이 조약돌을 바닥에 놓아둔 이야기도 수학적으로 살펴보자면 말이 되지 않는다. 우선 그들이 걸은 거리는 최소한 5시간이므로 거리는 대략 10km정도이다. 여기서 또 문제에 막힌다. 관대하게 헨델이 10m 간격으로 조약돌을 뿌려두었다고 하더라도 10000나누기 10은 1000이므로 조약돌 천개를 들고다녀야 한다는 것이다. 그 무거운 것을 들고다닐 수 있다는 것도 말이 되지 않고 조약돌을 아무리 빨리 주운다고 하더라도 1000개를 주우기 위해서는 거의 밤을 지새워야 할 정도였을 것이다. 이처럼 동화는 재미를 위해서인지라 이해를 하지만 엉뚱한 부분이 조금씩 존재한다.

미스터앤드미세스 스미스. 우연히 만나 사랑에 빠진 부부의 직업이 모두 적대 관계에 있던 일급 킬러였던 것이다. 그래서 부부였던 서로를 죽여야 했던 그들. 서로끼리 싸우는 난투극을 벌이기는 하지만 결국에는 이 문제에 대해서 무사히 해결된다.

미스터앤드미세스 스미스속에서는 무한의 개념을 찾아볼 수가 있다. 중간에 나왔던 호텔 이야기는 힐베르트의 호텔 이야기와 관련이 깊다. 무한 개의 방을 가진 호텔에서 무한 명의 손님이 있다. 그런데 1명이 더 들어온 것이다. 방은 꽉 찼는데 이 문제는 어떻게 해결할 것인가? 이 문제는 모든 손님이 방을 한 개씩 옮긴다면 가능한 문제이다. 1번은 2번으로, 2번은 3번으로... 이렇게 간다면 1번만 남고 나머지 방이 채워질 것이 아니던가? 그래서 그 한명의 손님은 1번방을 차지한다면 된다.

이처럼 영화속에서 재미있는 이야기들을 찾아볼 수가 있었다. 내가 모르던 영화도 있었는데 바로 다이하드 3와 띵크였다. 다이하드 3의 5갤런 물통과 3갤런 물통 이야기는 나에게도 정말 흥미있었다. 5갤런 물통과 3갤런 물통으로 5갤런 물통에 4갤런의 물만 채운다는 것은 처음엔 어렵게 느껴졌다. 하지만 그것도 잘 생각해보니 방법이 있다는 것을 알고서 수학이란 재미있는 학문이란 것을 느낄 수가 있었다. 다음번엔 과학 교과서, 영화에 딴지 걸다를 보고 싶다.