수학의 즐거움 암호학

튜링이 들려주는 암호 이야기 + 독서활용노트 세트 - 과학자들이 들려주는 과학이야기 이벤트
오채환 지음 / 자음과모음 / 2005년 10월

만약 정말 수학을 배우는 목적이 이해되지 않는다면, 튜링은 암호학을 배우라고 했다. 암호학은 수학중에서도 정수론에 의한 수학의 가장 목적적인 학문이다. 곧 수학의 시작이 정수론이고 암호학은 정수론에서 시작되는 것인 암호학이 수학의 시작이라 할 수도 있다.

암호가 발달한 것은 주로 두 차례에 걸쳤던 세계대전이다. 무언가 비밀스런 정보를 전할 때에 있어 암호만큼 중요한 것은 없다. 만약 영국이 암호해독기를 제대로 내놓지 않았다면, 독일이 미국에게 자신들과 동맹을 맺자는 비밀스런 문서가 도착했다면 아마 세계는 지금쯤 독일의 세상으로 뒤바뀌어 있었을 것이다. 암호는 필요함에 있어서 잘 숨기기도 해야하지만 때에 따라서는 악용될 수도 있다.

튜링이 말하길, 사람들이 보통 패스워드를 암호로 착각한다고 말했다. 패스워드는 어떠한 정보의 접근 자체를 막는 것이지만 암호는 정보는 공개하되 그 정보가 무엇인지 알아볼 수 없도록 어떠한 패턴으로 바꾸어놓거나 은폐한 것이라고 했다. 이런 방식에는 스테가노그라피, 크립토그라피가 있다. 스테가노그라피는 다른 문자들과 혼합하여 혼동되도록 만들어 전달하고자 하는 것을 은폐, 크립토그라피는 원래의 내용을 규칙에 따라서 글자나 단어를 바꾼다. 이를 코드와 사이퍼라 부른다.

암호는 상대방이 알아볼 수 업도록 하는 그런 은밀한 비밀이 담긴 중요한 내용을 보호한다. 예를 들어 어떤 보물을 집안에 넣고 문을 잠그거나 금고에 넣는 것은 단지 이중의 패스워드 단계일 뿐이나 그런 보물을 전혀 다르게 보이도록 만드는 것이 바로 암호화 방식이다. 암호란 것의 진정한 의미가 무엇인지 알게 되었다. 과연 수학에서 가장 목적이 분명한 학문 암호학인 것 같다.

위대한 삼각형의 정리의 주인공

피타고라스가 들려주는 삼각형 이야기 + 독서활용노트 세트 - 과학자들이 들려주는 과학이야기 이벤트
정완상 지음 / 자음과모음 / 2005년 10월

피타고라스의 삼각형 정리는 시험 문제로도 출제될 정도로 잘 알아두어야 한다. 그러므로 이번에 읽은것은 바로 피타고라스가 들려주는 삼각형 이야기였다. 삼각형은 어떤 도형보다도 가장 완벽한 도형이라고 한다. 사각형은 완벽해 보여도 접으면 금방 찌그러지지만, 삼각형은 매우 튼튼하다. 또한 오각형, 육각형등도 모두가 삼각형이 모여서 만들어지는 것이다. 이런 삼각형을 이용한 매우 재미있는 사실이 있다. a²+b²=c²라는 식이 바로 그것이다. 제일 대표적인 예로는 3의 제곱은 9를 4의 제곱인 16과 더하면 5의 제곱인 25라는 결과가 나온다.

이 외에도 삼각형이 이용되는 예는 매우 많다. 세상에 삼각형이란 것이 없었다면, 지금의 세상은 과연 어땠을까? 안정적으로 보이는 사각형이 그 자리를 매워서 결국 안정함은 사라질 것이다. 삼각형의 원리는 다리에서도 쓰인다. 왜 그러냐고? 그 이유는 바로 앞에서도 말한 듯이 삼각형이 가장 튼실한 도형이기 때문이다. 만약 사각형으로 만들어져 있다면, 트럭 한대만 지나가더라도 와르르 무너져내릴 것이다.

실생활에 많이 적용되는 삼각형에 관한 것을 도형의 대가이자 최고의 수학자 피타고라스에게 배워 보아서 무척 기뻤다. 9번의 수업이 무척 짧게 느껴진다. 과연 다음번에는 어떤 공부를 할지 기대된다.

불확정성-위치 오차가 작아지면 속도 오차가 커진다

파인만이 들려주는 불확정성 원리 이야기 + 독서활용노트 세트 - 과학자들이 들려주는 과학이야기 이벤트
정완상 지음 / 자음과모음 / 2005년 10월

수학중에서도 가장 어려운 양자역학의 기본 원리는 바로 불확정성의 원리라고 한다. 불확정성의 원리는 이해하기가 매우 어려워서 심지어는 어른들조차도 한참 공부해야 겨우 깨닫는 것이라고 한다. 양자 역학은 원자에서 존재하는 물질이 어느 위치에 있는가, 하는 것을 이용한 수학이다. 물론 양자역할을 어렵게 생각할 필요는 없다. 단지 원자에 대해서 조금만 더 안다면 양자역학은 자연스레 배우게 될 테니 말이다.

파인만이 말하길, 원자를 이루는 또다른 더 작은 물질이 있다고 했다. 사람들은 세상에서 가장 작은, 더이상 쪼갤 수 없는 것을 원자라고 정의했다. 그런데 이 원자를 이루는 더 작은 물질이 등장했으니, 바로 쿼크였다.

양자역학의 기본을 이루는 불확정성 원리는 어려워 보여도 매우 간단하다. 눈을 감아보자. 우리 근처에 10개의 하얀 구슬이 굴러다니고 있다. 그 중에서 하얀 구슬에는 1에서 10까지 적혀있는데 우리가 검은 구슬을 던져서 4가 적혀있는 구슬을 맞출 확률은 얼마나 될까? 대부분 불가능하다고 하겠지만, 이것이 바로 양자역학의 불확정성의 원리이다. 오차가 생기는 것은 속도오차와 위치오차 두 가지가 있는데 우리가 위치만을 생각하며 던지면 속도오차가 생겨 정확히 맞추지 못한다. 그러니 위치를 생각하지 않고 던지면 오히려 맞출 확률이 더 커지는 것이다. 이 원리가 바로 불확정성 원리이다.

아직 잘 이해하지는 못하겠지만, 그래도 어려울줄만 알았던 양자역학의 기본이라도 알아냈으니 다행이다. 무척 어렵다는 이 수학을 이해할 수 있도록 노력해보아야겠다.

떠나자, 수학과 함께!

재미있는 수학여행 2 - 논리의 세계
김용운. 김용국 지음 / 김영사 / 2007년 1월

오랜만에 만나보는 즐거운 수학책. 과학도 중요하지만 이제 슬슬 수학도 제대로 익혀야겠다는 생각이 들어서 이 책을 집어들었다. 이번 책은 바로 논리에 관한 것이다. 논리? 아마 수학을 하려면 여러가지 능력이 필요하겠지만 논리가 있어야지 가장 기본적인 것을 채우고 모순을 세우며 재미있는 수학을 해 볼 수가 있다. 수학을 하며 제일 재미있을 때가 모순된 수학에서 문제점이 무엇인지를 찾아보는 것이다.

가장 유명한 것으로는 제논의 역설이 있다. 제논의 역설은 이러하다.

"그 유명한 달리기 선수 아킬레스와 거북이 한 마리가 있다. 세상에서 가장 빠른 아킬레스와 세상에서 가장 느린 거북이가 어느날 시합을 했다. 그런데 거북이가 심하게 불리하니 거북이를 3km앞에 놓았다. 아킬레스는 거북이를 잡으려면 거북이가 있는 곳까지 달려야 한다. 그렇지만 아킬레스가 거북이가 잇던 곳까지 달려가면 거북이는 더 앞에 가있다. 아킬레스는 또 거북이가 있는 데까지 달리면 거북이는 더 앞에 가있다. 아킬레스는 매번 거북이가 있는 데까지 달려야 하고 그러면 아킬레스는 영원히 거북이를 잡을 수 없게 된다."

이 역설은 사람들이 쉽게 답안을 내놓을 수가 없었다. 그렇지만 나는 잘 생각해보니 이 역설은 너무 간단하게 풀린다는 사실을 깨달았다. 아무리 아킬레스가 거북이가 있는 곳까지 간다고 하더라도, 거리는 매우 가까워지기 마련이다. 제논이 말한대로 따지면 거리가 0cm는 되지 않을지라도 매우 가까워질수는 있다. 사람이 한 발을 내밀면 최소한 20cm는 나간다. 그런데 아킬레스가 갑자기 거북이가 있던 데만큼만 나아가기 위해 걸음을 매우 좁힌다는 것은 아싱하지 않던가? 제논의 역설중에서 화살의 이야기도 마찬가지다. 화살은 매번 똑같은 거리로 나아가고, 결국엔 화살은 누군가를 향해 나아가 맞힌다는 것은 역설하려 하는게 이상한 법이다.

논리의 세상이란 정말 재미있다. 생각을 한다는 것이야말로 수학의 진정한 멋일 것이다. 보통 사람은 수학자들이 항상 복잡한 계산을 한다고 믿고 있는데, 그들이 수학을 잘 하기 위해서 필요하다고 주장한 것은 단지 두뇌와 생각하는 힘이라 했다. 정말 수학을 잘 하고 싶다면, 복잡한 계산을 익히는 것이 아니라 생각하는 법을 길르는 것이 더 나을 것이다.

좌항과 우항의 법칙

디오판토스가 들려주는 방정식 이야기 + 독서활용노트 세트 - 과학자들이 들려주는 과학이야기 이벤트
정완상 지음 / 자음과모음 / 2005년 10월

방정식. 문제를 풀기 위해서는 거의 필수라고 보면 된다. 이 방정식의 원리를 아직까지도 깨치지 못했다면 앞으로 수학 올림피아드에서 상을 받는 것은 거의 기적에 가깝다고 보면 된다. 그 정도로 방정식은 우리 삶에 있어 엄청나게 중요하다. 자, 한번 수학의 정석 방정식의 세계속으로 빠져들어 보자.

2x=36이라는 식이 있다. 당신은 x값을 구할 수 있겠는가? 아마 코웃음치며 36을 2로 나누면 되지 않느냐며 x는 18이라고 대답할 것이다. 하지만 당신이 이렇게 말한 그 순간, 당신은 방정식이라는 것을 알게 모르게 사용해버렸다. 왜냐, 좌변에 있는 2를 우변으로 이항하여 36을 2로 나누어야 한다는 것을 정확히 알고 실천했기 때문이다! 그렇다면 아래는 어떤가?

5xy+27-x=1500이다. 당신은 이 식을 풀 수 있는가? 그리 빠르게 계산이 나오리라고는 생각하지 않는다. 이 경우에도 전과 같이 똑같은 방정식을 써야 하지만, 왠지 이렇게 복잡해지면 방정식을 사용하기가 무척 힘들어진다. 이 문제를 풀어보자. 이항을 하면 5xy=1473+x라는 결과가 나온다. 그러면 양쪽을 x로 나누면 5y=1473/x이다. 양변을 또 y로 나누어주면 5=1473/xy로 다시 5를 오른쪽으로 넘긴 후 xy로 곱해주면 xy=1473-5가 나온다. xy는 결국 1478.. 이런! 계산이 너무 복잡해 지는군. 방정식으로 풀면 쉬울 문제지만 수치를 잘못 정해서 수많은 계산을 해야 할 판국이 되어버렸다.

물론 위의 문제는 풀 수 없었지만, 방정식으로는 미지수가 전부를 이루지 않는 이상 대부분 해결할 수 있다. 그렇다고 해서 x=1349435-y-x²같은 식은 아무리 많은 계산을 하더라도 풀기 어려울 것이다. 잠시나마 방정식을 만나서 공부해 무척 즐거웠다. 방정식을 어려워하는 사람이 있더라도 방정식은 생각만큼 어려운 것이 아니라는 말을 꼭 해주고 싶다.