싹수는 파랗다

벡터 - 우주에서 인공지능까지, 현대 과학을 움직이는 가장 강력한 아이디어
로빈 애리언호드 지음, 김보영 옮김 / 은행나무 / 2026년 10월

수학 기호는 싹수(싹數)다. 싹수는 자연수, 분수, 정수, 유리수, 무리수 등 모든 수(數)에서 제일 먼저 나온 싹이다. 수학 기호와 숫자는 늘 붙어 다닌다. 싹수없는 수학은 상상할 수 없다. 수학 기호가 없으면 계산할 때 불편하다. 수학 기호가 하나도 없는 수학 시험지는 끔찍하다. 긴 문장으로 된 문제들을 상대해야 한다. 숫자와 글자가 뒤섞인 문제를 이해하는 데 시간이 오래 걸린다. 

수학은 깔끔한 학문이다. 수학자들은 간결한 공식을 좋아한다. 수학 기호를 사용하면 엄청나게 큰 숫자와 복잡한 계산 과정을 일일이 쓰지 않아도 된다. 원주율은 무한소수다. 3.14로 시작되는 원주율의 값은 끝이 없다. 원주율의 기호는 ‘π(파이)’다. 원주율을 뜻하는 수학 기호가 있어서 3.14 뒤로 나오는 숫자들을 쓰지 않는다. 피타고라스 정리(Pythagoras’ theorem)[주1]를 설명하면 보통 이렇게 말한다. ‘직각삼각형 빗변 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱 합과 같다.’ 빗변 길이는 c, 나머지 두 변의 길이를 각각 a, b라고 한다면 문장으로 된 공식을 수학 기호로 표현할 수 있다.

숫자만 보면 눈동자가 하얘지는 사람들은 수학 기호마저 어려워한다. 그들은 기호의 의미를 숙지하지 않은 채 기호를 외운다. 시간이 지나면 머릿속에 남아 있던 수학 기호는 사라진다. 수학 문제를 잘 푸는 사람들은 수학 기호가 어떤 의미인지 알고 있다. 그러나 기호가 어떻게 만들어졌는지 모른다. 수학 교과서는 수학 기호의 생애를 알려주지 않는다.

써먹을 때가 없는 싹수(싹數)를 ‘싹수가 노란 계산용 기호’라고 생각한다면 수학 기호를 과소평가하고 있다. 생각보다 수학 기호를 자주 쓰는 일이 많다. 교과서와 시험지 밖으로 나온 수학 기호 덕분에 과학자들은 쓸모 있는 지식과 기술들을 발견할 수 있었다.

물리학과 수학 등 여러 분야에서 많이 쓰고 있는데도 대중에게 잘 알려지지 않은 수학 기호가 벡터(vector)와 텐서(tensor)다. 《벡터》는 우리에게 낯설지만, ‘알고 보면 유용한’ 벡터와 텐서의 생애를 알려주는 책이다. 벡터는 물리량의 크기를 뜻하는 속도와 힘, 물리량이 움직이는 방향 모두를 표시한다. 벡터의 기호는 화살표다. 벡터의 의미에 ‘정보의 층’을 추가한 개념이 텐서다. 텐서는 많은 양의 정보를 배열할 때 쓴다. 따라서 벡터와 텐서는 두 개 이상의 정보를 동시에 저장하고 표현하기 위한 개념이다.

‘수학 기호의 생애’라는 표현은 과장된 의인법(擬人法)이 아니다. 수학 기호가 태어나게 해준 사람은 수학자요, 아무도 알아주지 않는 수학 기호를 수학 공용어로 만든 사람도 수학자다. 싹수(싹數)를 애지중지 보살피고 키운 사람이 수학자다. 수학 기호 속에 싹수(싹數)가 잘 자랄 수 있게 연구한 수학자들의 생애가 들어 있다.

벡터의 개념을 처음으로 생각한 수학자는 윌리엄 로원 해밀턴(William Rowan Hamilton)이다. 처음에 해밀턴은 4개의 실수(實數)로 이루어진 사원수(四元數, quaternion)라는 수 체계를 만들기 위해 벡터를 고안했다. 하지만 동료 물리학자와 수학자들은 벡터를 낯설어했다. 유년기 시절의 수학 기호는 설익었다. 보잘것없는 싹수(싹數)를 이해해 준 유일한 보호자는 그것을 만든 수학자다. 덜 자란 싹수(싹數)는 한동안 자신이 태어난 곳인 수학자의 공책에서만 살았다.

시간이 지나면서 싹수(싹數)는 노랗게 변하지 않았다. 싹수(싹數) 보호자가 된 수학자는 죽을 때까지 싹수(싹數)를 연구하며 자신의 동료들에게 싹수(싹數)의 가치를 알린다. 보호자가 세상을 떠나고 나서야 싹수(싹數)의 진가가 드러난다. 벡터의 보호자 해밀턴은 벡터가 쓸모 있는 수학 기호라고 생각하지 않았다. 벡터가 있어야 설명이 가능한 사원수가 자신보다 오래 살아남아 우주까지 갈 줄 몰랐다. 벡터와 사원수는 비행기와 우주선의 방향을 조정하는 방식에 결정적인 역할을 했다. 아폴로 11호에 탑승하여 처음으로 달 표면을 밟은 우주비행사 닐 암스트롱(Neil Armstrong)은 해밀턴에게 경의를 표했다.

수학 기호의 생애에 수학 기호를 만든 보호자 역할을 맡은 수학자뿐만 아니라 기호의 진가를 알아준 다른 수학자들의 생애도 겹쳐 있다. 어려운 문제를 계산하면서 증명하는 일을 좋아하는 수학자들, 수학 지식을 실생활에서 활용하고 싶은 수학자들은 수학 기호와 손을 잡았다. 수학 기호는 자주 쓸수록 친숙해진다. 수학 기호는 여러 명의 수학자의 관심을 듬뿍 받으면서 자랐다. 수학 기호의 생애는 수학자들이 연구하면서 생각한 것들이 오랫동안 축적되어 만들어진 역사다.

잘 만든 수학 기호는 과학자들의 아이디어를 아로새긴 싹수(싹數)다. 수학 기호는 세상 곳곳에 뿌리를 뻗어 재능을 떨친다. 벡터와 텐서는 컴퓨터, 스마트폰, AI, 로봇, 우주선을 만드는 데 절대로 없으면 안 되는 작은 기술자다. 지금도 수학 기호는 새로운 분야의 학자들을 만나면서 열심히 일한다. 

싹수(싹數)는 노랗지 않다. 언제나 파랗다.

인생의 절반이 지나고 나서야

어린 시절부터 싹수가 노랬던 놈이라는 사실을

뒤늦게 깨달은 cyrus의 주석과 정오표

[주1] 피타고라스가 이 유명한 정리를 발견하기 훨씬 전, 그러니까 대략 천 년 전(!)에 살았던 고대 이집트와 바빌로니아 사람들은 직각삼각형 공식을 알고 있었고, 땅의 경계를 설정할 때 이 공식을 사용했다. 바빌로니아의 쐐기문자 점토판인 ‘플림프턴 322(Plimpton 322)’에 피타고라스 정리와 비슷한 내용이 적혀 있다. 피타고라스 이전의 피타고라스 정리와 관련된 자세한 내용은 이 책 17~18쪽에 나온다.

* 13쪽

 안타깝게도 해밀턴은 생전에 충분한 인정을 받지 못했다. 그는 1965년에 사망[주2]했는데, 그것은 맥스웰이 전자기학 이론을 발표한 뒤 불과 몇 달 후였지만 맥스웰은 그때까지 자신의 이론을 완전한 벡터 언어로 재정립하지 못했다.

[주2] ‘1865년’의 오자다.

* 13~14쪽

 물리적 현실을 수학적으로 묘사하는 행위는 일종의 확대경을 만들어서 오랫동안 숨겨져 있던 근원의 물리적 속성을 수학적 패턴을 통해 드러내는 내는 것[주3]과 같다.

[주3] → 드러내는 것

* 89~90쪽

 뒤 샤틀레는 라이프니츠와 뉴턴의 아이디어를 비교한 책도 썼다. 그러나 가장 오래도록 남은 그녀의 유산은 《프린키피아》를 영어 이외의 현대 언어로 처음 옮긴 프랑스어 번역본이었다.[주4] 이 번역은 매우 훌륭해서 여전히 프랑스어 버전의 결정판으로 남아 있다. 반면 최초의 영어 번역본은 이미 오래전에 가치를 잃었다(오늘날 널리 읽히는 영역본은 1999년에 출판된 I. 버나드 코언과 앤 휘트먼의 번역서다.[주5] 이들은 뒤 샤틀레의 번역이 17세기 기술 용어를 사용하여 모호한 구절을 명확히 하는 데 특히 도움이 되었다고 평가했다).

[주4] 《벡터》에 재능이 뛰어난 여성 과학자, 수학자들이 언급된다. 에밀리 뒤 샤틀레(Emilie du Chatelet)는 볼테르(Voltaire)의 연인으로 알려졌지만, 움직이는 물체의 힘과 불의 성질 등을 주제로 실험하고 연구한 프랑스의 과학자였다. 그녀는 뉴턴(Isaac Newton)의 저서 《프린키피아》를 프랑스어로 번역하고, 책에 대한 주석을 직접 달았다. 

데이비드 보더니스(David Bordenis)의 《마담 사이언티스트》(최세민 옮김, 생각의나무, 2006년, 절판)는 과학자 뒤 샤틀레의 생애와 그녀의 지식욕을 가까이서 지켜본 볼테르와의 관계를 조명한 책이다.

[주5] 한국어판: 아이작 뉴턴, I. 버나드 코언 · 앤 휘트먼 해설, 배지은 옮김, 《프린키피아: 해설서와 자연 철학의 수학적 원리》 (승산, 2023년)

* 249쪽

 그는 수익성 있는 전기 기기를 여러 대 발명했으며, 열역학 과학의 개척에도 기여했다. 캘빈 온도 눈금은 그의 이름을 따서 명명된 것이다. 그렇게 여러 가지 일을 벌이면서 타이트[주6]와 함께 《자연 철학 논고》라는 새로운 물리학 교과서를 집필할 시간을 냈다는 것이 놀라울 따름이다.

[주6] → 테이트 (피터 거스리 테이트, Peter Guthrie Tait)

* 291쪽

 비극적이게도, 헤르츠는 자신의 연구를 더 발전시킬 기회를 얻지 못했다. 1892년[주7], 36세의 나이에 패혈증으로 사망했기 때문이다.

[주7] 헤르츠(Heinrich Rudolf Hertz)의 사망 연도는 1894년이다.

* 334~335쪽

 “4차원”이라는 개념은 1880년대부터 대중의 흥미를 자극해 왔다. [중략] 1880년대와 1890년대에 걸쳐 성분, 전체 벡터, 사원수의 학문적 가치를 두고 논쟁을 벌이는 동안, 진짜 4차원 공간의 가능성은 수학자이자 SF 작가였던 찰스 하워드 힌턴[주8]의 《과학 로맨스》, 《사고의 신기원》 같은 대중서에서 다루어졌다.

[중략] 힌턴은 에드윈 애벗이라는 교사에게 영감을 주었고, 애벗은 1884년에 《플랫랜드: 다차원 이야기》[주8]라는 전설적인 작품을 썼다.

[주8] 찰스 하워드 힌턴(Charles Howard Hinton)은 H. B. 웰스(Herbert George Wells)의 《타임머신》이 나오기 전에 4차원을 주제로 한 소설을 썼다. 웰스는 이미 힌턴의 소설을 알고 있었다. 

힌턴은 심령론자였다. 그는 유령의 존재를 설명하기 위해 4차원 개념에 주목했다. 힌턴에 대한 자료가 적어서 그의 생애는 불분명한 점이 많고, 그가 쓴 책들도 잊혔다. 20세기에 들어서면서 4차원을 다룬 SF 소설이 유행하고, 힌턴의 소설들도 다시 주목받았다. 힌턴의 글을 발굴한 작가가 호르헤 루이스 보르헤스(Jorge Luis Borges)다.

《평면 세계》(보르헤스 해제, 이한음 옮김, 바다출판사, 2010년, 절판)는 보르헤스가 힌턴의 <과학 로맨스>에서 가려 뽑은 세 편의 글(『평면 세계』, 『네 번째 차원이란 무엇인가』, 『페르시아 왕』)이 수록된 선집이다. 한국어판은 과학 도서 전문 번역가 이한음이 번역했다.

에드윈 애벗(Edwin Abbott Abbott)의 소설 《플랫랜드》는 SF 소설의 초기 역사를 논할 때 자주 언급되는 작품이다. 애벗은 영국 빅토리아 시대의 사회상을 풍자하기 위해 평평한 사각형이 사는 2차원 세계를 배경으로 한 《플랫랜드》를 썼다. 그는 본명이 아닌 ‘A. 스퀘어(A. Square)’라는 필명을 내세워 출간했다. 시간이 지나면서 《플랫랜드》는 수학자들이 어렸을 때 읽고, 추천하는 수학 소설로 재평가받았다.

마틴 가드너(Martin Gardner)는 힌턴과 애벗의 독특한 수학 취향이 오늘날에도 연구할 가치가 있는 흥미로운 주제이며 예술가와 SF 작가들의 창작 재료가 될 수 있다고 주장했다. 그는 수학자들의 4차원 연구를 소개한 「경이로운 플래니버스」, 「4차원 교회」, 「초입방체」라는 세 편의 칼럼을 썼다. 이 칼럼들은 가드너의 칼럼 모음집 《수학의 유희》(김영서 옮김, arte, 2026년)에 수록되어 있다.

* 503쪽

 아인슈타인의 정적 우주 모형은 최초의 상대론적 우주 모형이었다. 하지만 1920년대에 알렉산드르 프리드만 같은 수학자들은 “일반상대성이론에 따르면 우주가 팽창(또는 수축)해야 한다”라고 예측하며 아인슈타인을 몹시 곤혹스럽게 만들었다. 그는 1929년, 에드윈 허블이 우주가 실제로 팽창하고 있다는 결정적인 증거를 발견했을 때 비로소 정적 우주에 대한 신념을 포기했고, 이 과정에서 우주 상수도 버렸다. 아인슈타인이 우주 상수를 인생 최대의 실수였다고 말한 것은 유명하다.[주9] 하지만 오늘날에는 명예 회복이 이루어졌다. 우주 상수가 (적어도 잠정적으로는) 돌아왔기 때문이다. 중력을 “밀어내기” 위해 고안된 이 상수는 우주가 단순히 팽창하기만 하는 것이 아니라 가속 팽창을 하게 만드는 불가사의한 암흑 에너지를 찾는 데 이상적인 도구로 여겨지고 있다.

[주9] 팽창하는 우주 모형을 주장한 과학자 중에 널리 알려진 사람은 단언 에드윈 허블(Edwin Hubble)이다. 천문대에 근무한 허블이 팽창하는 우주를 뒷받침하는 관측 자료를 모으고 있을 때, 러시아의 수학자 알렉산드르 프리드만(Alexander Friedmann)은 일반상대성이론을 이용해 우주 팽창 모형을 설명하려고 했다.

그리고 이 책에서 언급되지 않은 벨기에의 가톨릭 신부 조르주 르메트르(Georges Lemaître)도 팽창하는 우주 모형에 대한 아이디어를 처음으로 주장한 천문학자다. 그는 아인슈타인(Albert Einstein)을 직접 만나 자신의 견해를 설명했지만, 정적 우주 모형에 확신을 가진 아인슈타인은 싸늘한 반응을 보였다. 

내가 인용한 문장에서 알 수 있듯이, 허블의 관측 결과가 주목받기 시작한 이후부터 아인슈타인은 정적 우주 모형이 틀렸음을 시인했고, 이를 설명하기 위해 만든 우주 상수도 폐기했다. 본인은 우주 상수를 자신의 인생에서 가장 큰 실수로 여겼지만, 우주를 팽창하는 암흑 에너지의 실체를 밝히려는 과학자들은 아인슈타인이 버린 우주 상수를 재조명했다.

데이비드 보더니스의 《아인슈타인 일생 최대의 실수》(이덕환 옮김, 까치, 2017년, 절판)는 과학의 발전에 영향을 준 아인슈타인의 ‘인간적인 결함’을 자세하게 보여준다. 아인슈타인은 자신의 견해를 지적하는 과학자들을 만나면 쌀쌀맞으면서도 방어적인 태도를 드러냈다. 하지만 자신의 오류를 스스로 인정할 줄 아는 학자이기도 했다.

우주론 연구에 기여한 수학 개념들을 소개한 《수학의 중력》(야우싱퉁 · 스티브 네이디스 함께 썼음, 박초월 옮김, 동녘사이언스, 2025년)은 허블, 르메트르, 프리드만의 업적이 같이 언급된 책이다. 

‘거의 모든 원자의 역사’를 보여준 과학책 《우리 몸을 만드는 원자의 역사》(댄 레빗, 이덕환 옮김, 까치, 2024년)의 1장은 르메트르가 우주론을 연구하는 과정을 소개한 글이다. 이 글에서 과학과 종교에 대한 자신의 신념을 솔직하게 밝힌 르메트르의 참모습을 만날 수 있다.