샘과 제레미가 벌이는 열띤 수학토론!

수학 대소동 - 천재와 꼴찌의 재미폭발 수학 구출 대작전
코라 리 외 지음, 버지니아 그레이 외 그림, 박영훈 감수 / 다산어린이 / 2007년 4월

만약 우리나라의 교육부 장관이 우리들에게 수학을 가르치지 말라고 하면 어떨까? 그것도 이유를 이렇게 든다면?

"우리 어렸을 때에는 수학이 참 골치아픈 문제였지요. 그래서 저는 결심했답니다. 후대에게, 우리 생활에 필요한 곱셈, 나눗셈, 뺄셈, 덧셈등만 배우고 나머지는 배우지 않도록 해 머릿 속으로 큰 고통을 겪지 않도록 하겠습니다!"

신기한 것은 그곳 회의에 참석한 대부분의 사람이 동의했다면? 그리고 그 길로 수학이 우리 학교의 과목에서 사라져 버린다면, 나는 큰 슬픔에 빠져들게 될 것이다. 나에게 있어 내가 무척 좋아하는 과목중의 하나가 바로 수학이기 때문이다. 여기에 나오는 수학 천재 샘과 같이 말이다. 그런데 그 수학이 사라져 버리면 아마도 나는 좌절감에 빠질 테고, 결국에는 교육부에 항의할 것이다. 여기의 이야기처럼 교육부 장관이 직접 찾아오게 되는 일은 없더라도 항의문을 올리면 어느정도 말이 통할지도 모른다.나는 이 사건이 왠지 남의 일처럼 느껴지지는 않는다. 왜냐하면 나에게 일어난 일일 경우, 샘의 반응과 무척 비슷할 거라는 생각이 들었기 때문이다. 이 스피커에서 소리가 나는 데에도 수학이 숨어있고, 그림을 그리는 데에도 수학이 숨어있으며 심지어 우리가 읽는 이 책을 만들 때에도 수학이 들어간다. 놀랍지 않은가? 내가 이 사실을 알게 되었을 때 조차도 내 얼굴은 기쁨으로 가득 차 있었다. 그만큼 수학이란 내 주위를 온통 둘러 싸고 있는 녀석이란 소리다.

중간중간 샘과 제레미가 들려주는 수학 상식은 나에게 큰 도움이 되었다. 예를 들어 침팬지와 같은 동물들도 숫자를 구별할 수 있다는 사실 등 말이다. 나중에 친구에게 써먹을 수가 있겠다. 이 때 신기한 것은 도마뱀이 초파리가 담긴 두개의 시험관 중 하나가 더 많은 시험관을 택해 초파리를 마음 껏 즐겼다는 이야기도 전해진다.

재미있는 수학대소동. 오늘은 샘과 교육부 장관이 벌인 열띤 토론과 폭소로 인해 나는 무척 즐거웠었다. 너무나 즐거운 책이었다.

실생활의 수학, 함수

데카르트가 들려주는 함수 이야기 - 과학자들이 들려주는 과학이야기 22 ㅣ 과학자가 들려주는 과학 이야기 131
정완상 지음 / 자음과모음 / 2005년 5월

함수는 우리 생활에 있어 꼭 필요하다고 할 수 있다. 그것을 어떻게 아냐고? 그거야 맨 뒤에 있는 부록 이야기를 통해 알 수가 있다. 택시회사 사장 클레 이야기는 우리 생활에 있어 함수가 얼마나 중요한지 알 수가 있다. 택시 요금을 정할때도 함수가 필요하고, 가스 정비소를 만들기 위해서 거리의 합이 가장 적게 만드는 데도 필요하며, 좌표를 통해서 전화를 통한 택시 주문을 받는 것에도 이 함수가 필요하다. 택시회사뿐만 아니라 실생활에도 필요할 것이다. 심지어 친구와 맛있는 과자를 나눌때조차도. 그런 함수에 대해 차근차근 알아가 보자.

함수에 있어서는 집합에 대한 것부터 이해해야 한다. 집합은 여러가지로 나타낼 수가 있다. 4보다 낮은 수의 집합은 1, 2, 3이고 컴퓨터를 이루는 장치의 집합에는 모니터, 컴퓨터, 스피커, 키보드, 마우스로 나타낼 수가 있다. 집합은 어떤 것에 대해 조건을 만족하는 것을 나타내는 것이다. 그럼 이제 예를 들어보자. A, B, C라는 글자가 적힌 모자를 쓴 여학생 3명에게 가짜손을 주고 1, 2, 3이 써진 모자를 각각 쓴 남학생을 짝을 맞춰 앉혀보자. 자, 이 때 이 여학생들은 집합이 되고 가리킬 대상이 되는 남학생은 공역이 된다. 그 중에서 이 여학생이 가리킨 범위에 있어서는 치역이 된다. 그렇지만 이 함수의 조건이 성립되지 않는 경우를 보자. 만약 여학생 C에게 가짜 손이 두개라면 두 명의 남학생을 가리킬 수 있을 것이다. 그러면 이 때 조건이 성립되지 않으며, 만약 여학생 A에게 가짜손을 주지 않았다면 이 여학생은 가리킬 수 없게 될 것이다. 이 때 또한 조건이 성립되지 않는다. 함수에 있어서는 조건이 공평해야 한다. 함수는 여러가지의 경우를 만들 수가 있다. 위와 같은 조건에서 1:1 함수를 나타내보자면 한 사람이 한 사람만 나타내는 경우로 모두 6가지 만들 수 있다. 그럼 2명과 2명으로 놔둬 보자. 모두 3가지이다. 그럼 1명과 1명은? 1가지다. 여기서 1명과 1명은 그냥 1이고, 2명과 2명은 1+2=3, 3명과 3명은 1+2+3=6이다. 그럼 앞으로의 식도 이런 결과가 성립된다는 사실을 알 수 있다. 어때? 함수를 통해서 앞으로의 일도 예측할 수가 있다. 그럼 이 함수를 이용한 문제를 하나 내 보겠다. 길이가 14.5cm인 양초에 불을 붙여 1분동안 y길이가 줄어든다고 해보자. 그 y는 0.4cm으로써 이 양초가 완전히 불타는 것은 언제일까?

일단 문제를 해결하려면 14.5를 0.4로 나누는 과정을 더 간단하게 해야 한다. 0.4cm이 1분동안 타는 양이라면 0.1은 15초동안 타는 것일 테니, 14.5/0.1=145. 145X15= 2175초. 이 2175초를 60으로 나누면 36.25가 된다. 그럼 이 25는 1분의 4분의 1이니 곧 15초를 의미하며 이 답은 36분 15초가 되는 것이다. 약간의 식만 있다면 간단하게 이런 결과를 얻을 수가 있다.

함수는 내가 아직 완벽하게 이해하지 못했으나 정말 큰 도움이 될만한 내용인 듯하다. 특히 좌표의 내용에 있어서는 이미 현재 인공위성을 통해 사용하고 있는 듯 하다. 함수의 천재 데카르트가 나에게 이렇게 쉽게 설명해 주어서 정말 고맙다.

위대한 수학자

피타고라스가 들려주는 삼각형 이야기 - 과학자들이 들려주는 과학이야기 46 ㅣ 과학자가 들려주는 과학 이야기 131
정완상 지음 / 자음과모음 / 2005년 9월

피타고라스의 삼각형 정리는 자세한 내용은 모르지만 그 이름을 자주 들어서 귀에 익는다. 그런데 이번에 과학자가 들려주는 이야기를 통해, 피타고라스의 삼각형 정리가 무엇인지 이해하게 되었다. 3+4=5라는 사실을 알고 있는가? 이것이 바로 피타고라스의 삼각형 정리에 적용되는 사실이다. 정확히는 3제곱+4제곱=5제곱이라는 결과이므로 위 식은 틀리다고 할 수가 있다. 일단 본론으로 들어가 보자면, 3제곱은 9이고 4제곱은 16이다. 그 두수를 더하면 25이고, 25는 5의 제곱이다. 그러므로 모눈종이에 대고서 이 삼각형을 나타내면 정말 그 말이 맞는 듯 하다. 이 피타고라스의 정리는 다른 예에도 충분히 들어갈 수가 있다. 그 수들을 자신이 직접 찾아가는 재미도 쏠쏠할 것이다. 그 외에도 피타고라스는 삼각형의 신비함에 대해 많이 이야기해 주었다.

이 도형 부분에서 한 가지 과학이 적용되는데, 3개의 성냥개비로 만든 정삼각형에 성냥개비 하나를 추가해 그 정삼각형 두 개를 만드는 것이다. 정답은 눈에다가 그 성냥개비를 끼는 것이다. 그러면 그 삼각형이 두 개로 보이는 것이다. 과학은 이렇게 신비하게도 수학 문제에도 적용이 된다. 어쩌다 이 문제가 수학 경시에 나온다면 나는 정말 운이 좋은 것이다.

휴, 피타고라스의 삼각형 이야기에 대해 이렇게 자세히 알게 되었으니 정말 기쁘다. 내용도 매우 알기가 쉽고 지식도 충만한 것이다. 그런데 한가지 의문점은, 왜 피타고라스가 과학자가 된 것인가? 라는 것이다. 수학도 과학에 들어가는 것인가? 하는 의문이 크게 든다.

부피에 대해 낱낱히

수학이 또 수군수군 ㅣ 앗, 이렇게 재미있는 과학이 4
샤르탄 포스키트 지음 / 주니어김영사 / 1999년 4월

오늘도 재미있게 다가온 <수학이 또 수군수군>! 그 전에 이미 수학이 수군수군이 있으니 제 2인자로써 ‘또’자를 붙일 수밖에 없었을 것이다. 샤르탄 포스키트의 최고의 수학 세계. 교과서로 보는 숫자와 이상야릇한 글자만 가득한 수학과 이 책은 전혀 다르다. 전혀 교과서 답지 않은, 오히려 일반 만화같은 느낌을 가지고 있단 말이다. 하지만 본다면 이것 뿐만 아니라 전혀 새로운 것을 느낄 수가 있을 것이다. 바로 내 머릿속에 수학 지식이 쏙쏙 들어온다는 것이지! 지금도 꾸준히 앗시리즈가 나오고 있지만 이 책만큼 재미있는 것은 없다. 자, 이제 다시 한번 수학의 세계로 빠져보자.

이번엔 5학년 수학의 일부분을 차지할 부피에 대해 알아보자. 일단 부피를 알기 전에 차원에 대해 알아보자. 1차원은 선으로 이루어졌다고 한다. 이상한 수학자들이 일단 그것을 1차원이라 정하였다. 그 이유는 무엇일까? 그러려면 점부터 알아야 할 것이다. 벌써부터 머리가 지끈지끈해진다면 머리를 식히고 오라. 점은 0차원이라고 한다. 차원은 도형의 기본에서부터 숫자가 점점커지는 것이다. 한가지 말해주자면 현재 우리 세계에 존재하는 차원은 26차원, 우리가 살고 있는 곳은 3차원이라 한다. 0차원은 모든 것의 기본이 되는 점. 이 점들이 모여서 선을 이루는데, 이렇게 이루어진 선이 바로 1차원이다. 그럼 2차원은? 바로 이 선들이 모여 만든 도형이다. 아마도 2학년때쯤이면 도형에 대해 배울 것이다. 동그라미, 네모, 세모정도는 누구나 알겠지? 3차원은 그 네모, 동그라미, 세모가 모여서 이루어지는 것이 바로 입체도형이다. 단위는 1차원에서는 길이, 2차원에서는 넓이, 3차원에서는 부피를 사용한다. 2차원에서 면의 넓이를 구하는 것과 1차원의 길이를 구하는 것은 알 것이다. 그럼 이 3차원에서는 바로 깊이까지 알아야 한다. 2차원에서 깊이를 한번 더 곱해주어야 한다는 말과 같다.

이 책을 보기 전까지도 수학은 머리만 아픈 것이라고 생각해왔던 나는 이 책을 보고 상당히 바뀐 느낌이 들었다. 지금은 수학책도 자주 보고 수학을 매우 좋아하는 아이가 되었다. 이 뒤에도 앗 시리즈 수학 이야기들은 한참 남았다. 그러므로 수학에 조금더 배움을 얻기위해 노력해 보자!

친구들을 골려줄 수 있는 수학

수학이 수군수군 ㅣ 앗, 이렇게 재미있는 과학이 1
샤르탄 포스키트 / 주니어김영사 / 1999년 3월

앗 시리즈중에서 제일 첫 번째로 나온 책이기도 하고, 현재 앗 시리즈 중에 베스트 샐러이기도 한 책인 <수학이 수군수군>. 지은이가 현재 연속적으로 한 10권정도의 책을 이 수학이 수군수군 시리즈로 내고 있다. 문제는 그 10권 정도의 책 모두가 베스트 샐러라는 것! 지금 현재도 나도, 내 친구들도 매우 좋아하는 책이 바로 이 책이다. 자, 이제 수학을 몰라서 죽게 된 보첼리파와 가브리아니파를 본보기 삼아 수학의 중요성을 깨닫고 열심히 공부해 보자!

자, 첫 번째 책인만큼 그만큼 기초를 닦는게 중요하겠지? 전부 유치원에서 배우겠지만 그 수학 기호들을 다시한번 정리해 보도록 하겠다.

= : 수학에서의 기본 기호. 두가지 식에서 서로가 같은 결과를 가지고 있다는 것을 표시하기 위한 기호이다. 1+1=2가 예이다. 1+1은 사과라 치자면 사과 하나와 사과 하나가 나란히 있다는 것이다. 그리고 2는 그 두 개를 한꺼번에 표시했다. 어라, 정말 같네? 수학 기호는 정말 멋져!

+: 두 수를 더할 때 사용하는 부호로, 주의할 점은 반드시 같은 종류의 것을 더해야 한다는 것이다. 예를 들어 사과 2개+사과 2개=사과 4개라는 결과가 나올 수가 있지만 사과 2개+고구마5개=????가 나오게 된다는 것이다.

- : 두 수중 한 수를 다른 한수에 뺄 때 사용하는 부호로, 주의할 점은 +와 같이 반드시 같은 종류의 것을 빼야 한다는 것이다. 사람 5명-감자 2개=역시나 ????가 나오게 된다.

X : +와 같이 똑같은 수를 여러번 더한 것을 그냥 간단하게 표시한 것이다. 예를 들자면 사과 2개+사과 2개+사과 2개+사과 2개=사과 8개, 그러나 간단하게 사과 2개X4=사과 8개라는 엄청나게 간단한 결과를 얻을 수가 있다. 설마 사과 2개+고구마 2개+감자 2개=???=2X3=6이라는 결과를 얻어내려는 사람은 없겠지?

/(적절한 기호가 없어서 이렇게 표시할 수밖에 없었다.) : 나누기라 불리우는 부호. X의 반대라 생각하면 딱이다. 딱히 설명할 내용은 없고, X(곱하기)를 뚫어져라 살펴본다면 결과를 얻을 수 있으리라 믿는다.

세균의 번식방법이 궁금하지 않은가? 어른들은 우리에게 손에 세균이 득실거린다니, 우리 주위에 만지는 것만 해도 수백만 마리의 세균들이 살고 있다고 한다. 하지만 우리는 보이지도 않는 세균을 무시하고 지낸다. 하지만 그 세균의 번식수는 너무나 공포적이다. 세균 한 마리는 약 10분당 두 마리로 분열한다고 한다. 이 2마리는 4마리, 8마리, 16마리, 32마리, 64마리, 128마리, 256마리, 512마리, 1024마리... 그 결과 단 하루만에 약 281000000000000마리가 된다고 한다. 우리가 살아온 것을 보자면 그 수는 아무것도 아니다. 이틀 후에는 몇 마리가 되는지 아는가? 약 29200000000000000000000000000마리가 된다고 한다. 위의 수는 어떻게 읽는지조차도 매우 고민스러울 테니 숫자만 머릿속에 남기고 그리 고민하지 말라. 나도 해까지 밖에 수를 세는 단위를 모른다. 어쨌든 한 사람이 살아가는 데만 해도 약 80년은 되는데, 이틀만 되도 그 엄청난 수로 불어나는 것이 훨씬 더 불어난다는 말이다. 어른들의 말은 모두 사실이라는 애기, 그리고 그 세균들의 수는 기하급수적으로 많다는 얘기!

방금 말한 이 이야기는 거듭제곱과 관련이 있다. 이 거듭제곱은 6학년 때부터 배우겠지만 승이라고도 하고 제곱이라고도 한다. 같은 수를 승의 수만큼 곱했다는 뜻으로 예를 들어 5의 3승은 5X5X5가 된다. 답은? 125이다. 거듭제곱은 수를 엄청나게 크게 만드는 능력이 있다. 세균도 거듭제곱의 원리를 가지고 기하급수적으로 늘어나니, 여러분도 무척 조심해야 할 것이다!

이 거듭제곱의 위력은 너무나 크다. 1달러는 100센트인 것은 누구나 알 것이다. 만약 친구가 나에게 10달러를 빚을 졌다면, 친구에게 1센트, 2센트, 4센트, 8센트... 이렇게 12번만 셈해달라고 하자. 친구는 1센트에서 시작하므로 당연히 그렇다고 대답답할 것이다. 그렇다면 그럼 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024가 된다. 그럼 모두 더하면 얼마가 되겠는가? 바로 2047이다! 그럼 달러로 치자면 20달러 47센트. 계약서까지 써놓았다면 아마도 그 친구는 당신에게 두 배가 넘는 돈을 갚아야 할 것이다, 하하하!

수학은 알고 보면 머리가 아픈 것이 아니라 위와 같이 친구들을 골려먹는 데에 써먹을 수도 있다. 친구들도 이 책을 반드시 읽어야만 얄미운 친구들에게 얄밉고도 똑똑한 장난을 걸 수가 있다!