확률 의미의 혼동

 * 확률 의미의 혼동

- 제가 어렸을 때 확률의 의미를 정확히 알고 있다고 생각했습니다. 예를 들면 주사위를 던지면 1이라는 숫자가 윗면에 나올 확률은 1/6입니다. 이것은 여섯 번 던지면 한 번 나올 것으로 이론적으로 계산된 것입니다. (이를 이론적 확률이라 함.) 그러나 실제 여섯 번을 던졌을 때 1일 한 번도 안 나올 수 있습니다. 2가 두 번 나오고 다른 3부터 6까지 네 가지 숫자가 한 번씩 나올 수 도 있습니다. (이를 실험적 확률이라 함.) 동전을 만 번을 던진다면 꼭 오천 번이 앞면이 나오고 뒷면이 오천 번이 아니더라도 결과는 그 근방에서 결정될 것입니다.

- 혼동의 시작 : 확실하던 개념이 흔들리기 시작한 것은 양자 역학에서의 양자적 행동입니다. 두 개의 슬릿slit이 있는 곳에 한 개의 전자가 지나가더라도 마치 두 개의 슬릿을 지나갔을 때의 확률의 합(간섭)으로 나타납니다. 엇! 전자가 어떻게 한 곳을 지나가면서 옆에 슬릿이 열려있는지, 닫혀있는지 알지? 전자가 옆의 슬릿이 열려있는 알고 행동을 한다면 내가 동전을 던져 앞면이 나온 결과가 다음 동전에 영향을 미치는가? 분명히 아니라고 이성은 말하지만 어딘지 모르게 영향을 줄 것이라는 느낌과 나비효과butterfly effect를 연상시킵니다.

- 혼동의 가중 : 솟수素數의 분포를 보면 숫자가 커지면서 드문 드문 존재합니다. 20이하의 숫자에서는 8개의 솟수가 있지만 20에서 40사이에는 4개 솟수가 있습니다. 솟수의 분포는 숫자가 커지면서 희박해지는데, 그 분포가 P의 숫자 안에 있는 솟수의 분포가 대체적으로 P/ln P에 비례합니다. (소수 정리) 마치 솟수 분포의 이론적 확률이 P/ln P이고 실제 솟수 분포가 실험적 확률인 것처럼 생각됩니다. 여기에서도 확률이라는 용어가 합당하지 않지만 어쩐지 확률보다 더 어울리는 용어가 없습니다.

- 소수 정리 :  아다마르J. S. Hadamard와 라 발레 푸생La Valle Poussin이 독립적으로 발견 

- Quiz 동전을 10번 던져서 모두 앞면이 나올 확률은 1/1024이다. 한 친구가 동전을 9번 던져 모두 앞면이 나왔다고 한다. 이 상태에서 마지막에도 앞면이 나와 1/1024의 확률의 사건이 일어날 확률은?

알라딘 마을의 사람들

 * 알라딘 마을의 서재 주인장들

 알라딘에 들어와서 제일 먼저 눈에 띤 것이 명예의 전당이었습니다.

 그후 나의 서재라는 블로그와 페이퍼의 기능이 추가되면서 서재 주인장들은 알라딘 마을로 나오게 되었습니다. 식구들을 살펴보면 탁월한 서재 폐인들이 계십니다. 선두 주자는 마태우스, 진/우맘, 플라시보. 이분들은 자신을 포함한 그리고 주변 이야기들을 너무 재미있게 글을 쓰셔서 즐겨찾기 숫자를 가늠하기 어렵고 방문객 숫자도 엄청납니다. (하루 방문객 100명 이상, 총 방문객 (10000-) 15000을 바라고 있다.) 그 다음에는 아주머니들(나열하기가 너무 많으나 많은 분이 차력당에 입당함.). 각 분야의 전문가들이 계시는데, 물만두님(추리 소설), 수수께끼(동양 미술) 등. 그리고 미혼자와 학생들(연보라빛 우주님, sa1t님, 갈대님 등). 물만두님은 만두의 하루(만두의 이야기로 통합)로 인기를 모았지만 역시 서재의 주류는 추리소설에 관련된 글입니다. 한동안 왕성한 활동을 하다가 사라진 분들이 계시는데, Kel님, 버드나무님 등.

 오히려 페이퍼를 중심으로 한 마을이 활기를 띠면서, 소리 없이 마을에 안 나타나시는 분들이 계시는데... kstone님, puzzlist님, 대학생(서재이름 : 연대와 거점)님, platonic님, 타잔(서재 이름 : 늙은 개 책방) 등. 그리고 제가 좋아하는 수학, 과학 분야에 관심을 같이 했던 분들을 제가 즐겨찾기 했건만 이 분들(7명)은 반년이 지나가도록 글을 올리지 않고 계십니다. 얻는 것이 있으면 잃는 것도 있다지만... 남성, 기혼, 자연과학. 이 세 단어도 알라딘 마을에서 친숙해졌으면 합니다. (이 세 단어 모두 해당하는 분이며 명예의 전당에 이름을 올렸던 kstone님 안 보이시는 것은 너무 안타깝습니다.) 이 분들도 바쁜 일상생활 속에서도 부지런히 책을 읽고 계시리라 믿고 있습니다. 그러나 모습을 볼 수 없으니 섭섭합니다.

 한편 몇 분에게서 쓴뿌리(트라우마)를 갖고 있기 때문에 자신의 공간을 확보하려는 의미에서 서재에 애착을 갖고 있는 분들이 눈에 띕니다. 어떤 이유든지 쓴뿌리를 극복하고, 건강한 자신을 그리고 행복을 찾기 바랍니다. (몇 분의 미혼자를 포함한 이 분들에 대한 생각은 지극히 개인적인 것임.)

책

* 책

부제 : 나는 왜 책에 집착을 하는가?

 제가 어렸을 때 한글을 막 깨우치고 난 후, 어머니께서는 저의 취미를 독서라고 말씀하신 적도 있었습니다. 그러나 그것은 취미가 아니고 무엇을 배우고 난 후, 배운 것을 써 보고 싶은 마음이었을 것입니다. 초등학교 입학 후에는 막상 독서를 거의 하지 않았습니다.

 그러나 책에 대한 매력을 느끼게 된 시기는 고등학교, 대학교 시절을 지내면서 ‘책이 얼마나 대단한 것이었나!’를 느꼈을 때입니다. 한 줄이 문장은 책 속에 담겨지기 까지 저자의 엄청난 노력이 담겨있습니다.

 그리고 금속활자에 의한 인쇄가 보편화되기 전에는 책은 수사修士들에 의해 필사되었습니다. 종이가 일반화되기 전에는 양피지에 필사될 때는 더욱 가격이 비쌌죠. 책이라는 것은 글을 읽을 줄 아는 지식있는, 그리고 책을 구입할 수 경제력이 있는 귀족만이 소유할 수 있었습니다. 귀족 집의 거실에 금촛대가 있는 것과 서재에 책이 꽂혀있는 것은 같은 효과가 있었을 것입니다.

 제가 책과 인연을 처음 매져준 것은 문화적 허영심으로 생각됩니다. 그러나 책과의 관계를 현재 상태로 유지하고 있게 된 것은 고독이 작용하고 있는 것 같습니다.

 문화적 허영심 : 제가 어렸을 때 지금은 돌아가신, 대학생이셨던 외삼촌과 함께 살았습니다. 하얀 종이, 만년필, 심이 길게 깍인 연필, 꼬부랑 글씨인 영어 등등. 대학생으로 연상되는 것들. 그리고 엘리트라는 이미지. 외삼촌은 화공과를 전공하셨는데, 우리 세대에 전자공학이 인기가 있었던 것처럼, 그 당시에는 화공과가 최고의 인기가 있었습니다.

 외삼촌이 가져온 학교 달력에는 잔디밭에 앉아 담소하는 학생들의 모습을 찍은 사진도 있었는데, 저는 상상을 하며 저 분들은 무슨 이야기를 하고 있을까? 쇼펜하우어, 칸트와 같은 철학을 이야기하고 있을까, 아니면 상대성 이론이나 소립자 같은 과학이야기를 나눌까. 우리 대학생 시절에도 잔디밭에 앉아 이야기를 하기도 하였지만 내용은 주로 Electronic Data Processing System의 (겉모습만 같은) 이야기를 포함한 잡담이 대부분이었습니다. 그토록 동경했던 지적인 세계는 대학보다는 책에 있습니다.

 고독 : 누가 나를 알아준다면 더없이 좋겠지만 마음 터놓고 이야기할 수 있는 상대라도 있다면... 나와 같은 생각을 나만이 하고 있는 걸까. 나와 같은 생각을 하는 이도 책 속에 있고, 나의 생각을 고쳐주는 이도 책 속에 있고, 나와 반대의 생각을 갖고 있는 이도 책 속에 있었습니다. 혼자서 심심하다고 TV를 보거나 혹은 radio를 들으면서, 혼자 있다고 생각하지만 실은 방송작가나 PD와 함께 있는 것입니다. 비록 일방적이기는 하지만. 책을 읽는다는 것은 작가와 함께 있는 것입니다. 책 속에는 친구도 있고 애인도 있다는 어머니의 말씀은 사실이었습니다.

 ‘책은 청년에게는 음식이 되고 노인에게는 오락이 된다. 부자일 때는 지식이 되고, 고통스러울 때면 위안이 된다.’ - 키케로Cicero

 그럼에도 불구하고 요즘에 너무 흔하기 때문에 대접받지 못하는 책, 영상매체의 등장과 컴퓨터에 의해 그 가치를 인정받지 못하는 책을 보면 안타깝습니다. 책에 대한 애착으로부터 시작된 것이, 이제 언제가 ‘나의 서재를 꾸미리라’는 꿈을 갖게 되었습니다.

[코멘트]아버지...

전출처 : 물만두님의 "아버지..."

* 어떤 분이 교육학을 전공하신 분이 자녀교육에 대한 강의를 하셨을 때 들은 이야기입니다.
좋은 부모, 나쁜 부모, 좋은 자녀, 나쁜 자녀의 조합을 하면 네가지가 나오는데.

- 좋은 부모, 좋은 자녀 ; 더 말할 나위 없이 자녀들은 교육을 잘 받고 잘 성장한다. 자녀들은 성장 후 좋은 부모가 된다. (확률적으로)
- 나쁜 부모, 나쁜 자녀 ; 역시 자녀들은 좋게 성장하지 못한다. 커서도 좋은 부모가 되지 못한다. (확률적으로)

문제는 좋은 부모 밑에 나쁜 자녀와 나쁜 부모 밑에 좋은 자녀인데...

- 나쁜 부모 밑에서 좋은 자녀로 성장하여 부모가 되면 좋은 부모의 모델을 보지 못해 좋은 부모의 역활을 잘 못하기 쉽습니다. 자녀들에게 '나는 이렇게 어려운 환경에서 잘 자랐는데, 너희 왜 그렇게 못하니.' 하고 잘 나무랍니다.

- 좋은 부모 밑의 나쁜 자녀는 사회적으로 큰 성공을 못할지 모르지만 그 자녀들이 성장해서 부모가 되면 과거를 돌아보게 됩니다. 못된 자녀들이었던 자신에게 부모님이 얼마나 좋으신 분이었나를 돌이켜 보면서 자녀들에게 좋은 부모가 되기 위해 최선을 다한다고 합니다.

이 강의 대상이 학부모이었기 때문에 결론적으로 '좋은 부모가 됩시다.'였지만. 그래도 좋은 부모의 역활이 얼마나 중요한가를 생각하게 되었습니다.

* 학교 선생님도 혼자 공부해서 성적이 좋았던 분보다 어렵게 공부했던 분이 잘 가르치는 경향이 있다고 들었습니다. 공부 잘 하는 아이야 내버려둬도 잘 하지만, 공부 잘 못하는 학생을 잘 가르쳐 공부를 잘 하게 하는 선생님이 진짜 훌륭한 선생님이죠.

나의 애인(수학)과 친해지는 법

 * 나의 애인과 친해지는 법

  부제 ; 수학 공부 잘하기

- 다음 문제를 풀어봅시다.

문1) 11+27=?

문2) 배 11개와 배 27개를 합치면 모두 몇 개인가?

두 문제 중 어느 문제가 쉽습니까?

(모두 다 쉽다... 그러면 이야기 진행이 안 되죠. 상상의 나래를 펴서 초등학교 시절로 돌아간 기분으로)

- 1번과 같은 문제를 계산문제(calculation problem)이라 하고 2번과 같은 문제를 서술형 문제(story problem)이라고 합니다.

- 수학문제를 푸는 단계는 4단계가 있는데

첫째, 문제를 이해한다.

둘째, 풀려는 목표와 자료의 관계를 찾고 그것을 눈에 보이게 표시한다.(관계식을 구한다.)

셋째, 관계식을 풀이한다.(계산한다.)

넷째, 문제와 답을 음미한다.

- 문1)은 문2)에서 문1)로 진행하는 첫째 단계를 이미 생략한 문제입니다. 그러나 문1)같은 문제에 두려움을 느끼는 사람도 많은데, 그것은 수학기호를 정확히 이해하지 못했기 때문입니다.

 

 위 공식은 게이지 변환(gauge transformation)에서 나오는 공식입니다. (게이지 변환 : 전기를 띤 하전입자와 전자기장 사이의 상호작용을 다루는 이론에서 사용되는 변환) 삼지창 같은 그리스 문자와 몇 개의 알파벳, 그리고 화살표 등이 있다는 것 외에 무엇을 뜻하지 모릅니다. (저도 모릅니다. 묻지 마십시오.) 단지 장황한 말로 설명할 것을 매우 간결하게 알아보기 쉽게 표현했다는 것은 압니다.

- 초등학교 때 산수문제 중 아이들에게 공포를 주던 문제가 있었는데 그것이 바로 응용문제

문3) 50% 농도의 50ml의 식염수와 25% 농도의 100ml 식염수를 혼합하면 몇 %의 식염수가 되는가?

 이 문제는 농도 식염수 등의 용어를 사용하여 간단한 계산문제에 혼돈을 주고 있는 서술형 문제입니다.

* 수학 시험에서의 수학 재능이란

 위 네 단계를 모두 잘해야 수학 시험을 잘 보는데, 첫째 단계와 둘째 단계를 선천적으로 잘하는 사람이 있습니다. 이런 사람을 수학에 재능이 있다고 이야기합니다. 즉 문1)을 읽고 문2)과 같다고 생각하며, 문2)를 읽고 문1)로 쉽게 전환되는 것을 이릅니다. 하지만 이 과정도 학교 수업을 통해 배우게 됩니다. 세 번째와 네 번째는 훈련이 필요합니다. 물론 네 단계를 모두 쉽게 하는 사람도 있습니다.

- 저의 이야기를 하면 첫 번째와 두 번째는 수학의 본질로 생각하는데, 세 번째와 네 번째는 비본질적인 것으로 생각하여 정신의 집중이 느슨해지면서 실수를 많이 합니다. 예를 들면 ‘다음 방정식의 정수의 해의 곱은?’이라는 문제에서 해를 1, 2, 1/2로 구해 놓고 정수해라는 함정에 주의하지 않아 정답은 2인데, 저는 1로 답을 표시합니다. 틀린 것을 보고 별로 속상해하지도 않았습니다. 왜냐하면 수학 본질의 문제를 해결했으므로. (그래서 점수는 그저 그랬습니다.)

- 애인(수학)과 친해지는 법은 우선 두려움을 버리십시오. 그리고 네 단계 중에서 어느 것에 취약한가를 생각한 후 그것에 집중하십시오. 문1)과 문2) 모두 쉽지 않습니까? (문3)과 함께 풀어보세요.)