[마이리뷰] 틀리지 않는 법

틀리지 않는 법 - 수학적 사고의 힘
조던 앨런버그 지음, 김명남 옮김 / 열린책들 / 2016년 4월

재미있게 읽히는 수학책. 특히 p값의 맹점을 알려주는 부분이 인상적이다. 석사 논문을 준비하는 과정에서, 양적 연구에 대한 의문을 가지게 된다.

수학은 드러나는 사고의 과정만 살피는 학문이어서는 곤란하다는 생각을 저자는 줄기차게 밝히고 있다. 과정의 건너편에 매몰된 이면을 통찰해 낼 수 있는 것도 수학의 또다른 중요한 힘이다.

[뫼비우스의 띠]를 읽고

뫼비우스의 띠 - 수학과 예술을 잇는 마법의 고리
클리퍼드 픽오버 지음, 노태복 옮김 / 사이언스북스 / 2012년 1월

2014년 초에 연수를 갔었는데, 마침 강의하시는 선생님께서 뫼비우스의 띠에 대해서 말씀을 하시더군요. 뫼비우스의 띠. 두 면이 하나의 면이 되는 놀라운 기적의 띠. 처음과 끝이 없는, 마치 무한대의 기호와 같은 모양으로 생겨서 처음도 끝도 없는 신비로움을 가지고 있는 뫼비우스의 띠. 이 띠가 뫼비우스라는 이름을 얻은 것은, 뫼비우스라는 사람이 처음으로 이러한 띠의 존재에 대해서 언급했기 때문입니다. 그런데 뫼비우스는 19세기 때의 인물. 인류의 역사가 시작된 이래로, 두 면을 가진 띠를 한 번 비틀어 연결할 생각을 왜 못했던가. 혹여, 뫼비우스 이전의 모든 사람들은, 그렇게 만들어지는 띠가 별로 신기할 것 없는 일상적인 것이라고 생각하여 주목하지 않았던 것이 아니었을까. 어쨌든, 그 이전의 기록물에서는 뫼비우스가 발견한 그 띠에 대한 언급을 어디에서도 찾아볼 수 없다고 합니다. 결국 한 번 비틀어 연결하여 만든 띠는 뫼비우스라는 이름을 얻게 되었습니다. 

이 책은 뫼비우스의 띠에 대한 다양한 이야기를 가지고 있습니다. 요 근래의 트렌드인 듯 싶습니다. 하나의 개념/관념에 대한 전방위적인 지식을 담은 책. 예전에는 백과사전이 있었지요. 여러가지 개념과 관념을 간단하게 추려서/요약해서 제시하는 책. 그런데 이제는 백과사전의 효용이 떨어졌습니다. 인터넷을 통하여 이제 정보는 언제라도 찾을 수 있게 되었습니다. 예전에는 정보를 가진게 힘이었다면, 요즈음에는 누구나 다 정보를 가지고 있는 시대가 되었기에, 더이상 정보를 가진 것만으로는 힘이 될 수 없는 시대가 되어버렸지요. 이러한 시절에는 가지고 있는 정보의 중요성을 알아보는 안목을 가지는 것이 힘이 됩니다. 알고 있는 많은 것들을 연결하여 만들어지는 새로운 형태의 정보. 아마 이 책, 뫼비우스의 띠, 는, 뫼비우스의 띠에 대해서 우리가 알 수 있는 모든 것을 연결해 둔 책이 아닌가 싶습니다. 

역시 이런 책은 저자가 중요하겠지요. 이 책을 쓴 저자는, 얼마 전에 [수학의 파노라마]라는 책을 출간한 클리퍼드 픽오버입니다. 당연히 저는 잘 모르는 사람이구요. 마침 [수학의 파노라마]를 다 읽었으니... [수학의 파노라마]는 제 생각에는 백과사전 같은 책이라고 생각합니다. 수학의 이런저런 이야깃거리를 간추려 모은 책. 픽오버의 책은, 마치 데이비드 보더니스의 책을 생각나게 합니다. 이런저런 과학적 지식 입문 서적을 쓴. 생각해보니, 이 책도 데이비드 보더니스의 책들과 닮은 구석이 있습니다. 넓은, 조금 덜 깊은. 

아니, 이 책은 깊은데 제가 못 알아먹고 있는지도 모르겠습니다. 위상기하학의 이야기가 나오고 사영기하학의 이야기가 나오는데 아무래도 조금은 버겁다는 느낌이 드는 책이기도 합니다. 어쨌든, 그런 이야기와 걸친 부분이 아니라면, 뫼비우스 띠와 함께 예술에 대해서 말하고, 사회에 대해서 말하고, 상념을 끌어내고, 이런저런 이야기들. 뫼비우스의 띠가 목적이 되기도 하고, 뫼비우스의 띠가 수단이 되기도 합니다. 뫼비우스의 띠에 대해서만 잘 알아도, 이제 책 한 권을 뚝딱 써 내어서 돈을 벌 수 있는 시대가 되기도 한 것니다. 

물론, 뫼비우스의 띠 자체가 매력적인 면이 있습니다. 언급하였다시피, 시작도 끝도 없는 무한대의 행로, 그 뿐만 아니라, 수학적으로도, 퍼즐의 의미로도, 신비로운 여러 면을 가지고 있기도 합니다. 뫼비우스의 띠에 대한 모든 것을 모아두었다는 생각을 하게 되는 책입니다. 

아에드 인 마이오렘 델 글로인

[수학선생님도 몰래 보는 분수 나눗셈]을 읽고

수학선생님도 몰래 보는 분수 나눗셈 ㅣ 사이언스 Why? 시리즈
이타바시 사토루 지음, 전선영 옮김 / 아르고나인 / 2012년 10월

이 책의 목적은 간단합니다. 개념을 알고 문제를 풀지 않으면...

<책 속의 한 장면>

이렇게 된다는 이야기를 하고 싶은 것이지요. 실제로 많이 벌어지는 일이며, 많은 분들이 경험한 일이기도 합니다. 

우선은, 학교에서도 이런 일이 일어납니다. 주지 교과목을 중심으로 단원평가를 실시한 후, 일정 점수에 미치지 못하면 특별 보충을 실시하여 일정 점수 이상에 도달하도록 만듭니다. 일정 점수를 위하여 학교에서는 저런 식으로 아이에게 같은 문제를 지속적으로 풀립니다. 그래서 일정 점수 이상을 만듭니다. 그리고 그 학생은... 아마도 수학에 대한 흥미나 관심이 늘어나는 경험은 하지 못할 것입니다. 

학원에서도 이런 일이 일어나지만, 학교와 다른 점은 일정 점수 이상에 도달하도록 하는 과정이 생략될 가능성이 큽니다. 틀린 문제를 맞출 때까지 풀리지만, 학교보다 점검은 덜 하게 됩니다. 학교는 어쨌든, 아이에게 성실함이나 책임감을 가르칠 필요도 있는 전인교육 기관이지만... 제가 학원에서 일하면서 느낀 것은, 학원에서 아이들의 성실함이나 책임감을 강조하면 아이들도 힘들어하고 학원 원장님도 힘들어하시고 학부모들도 힘들어합니다. 학교는 효율성이 최고의 가치가 아니지만, 학원은 효율성이 최고의 가치이니까요. 어쨌든.

학교에서도 학원에서도 벌어지는 이런 일들이 벌어지지 않으려면 어떻게 해야하는지, 저자는 아래와 같이 설명하고 있습니다.

즉, 방법 이전에 '왜 이렇게 되는지'에 대한 개념이나 원리를 먼저 생각하고, 문제를 풀기 위한 공식을 먼저 찾기 보다는 문제가 가진 의미를 먼저 생각해보며, 수학이 실생활에서 유용한 부분이 있다는 것을 알고 실생활 맥락을 놓치지 않는다면 수학이 그리 어려운 과목은 아니라는 말을 저자는 하고 있습니다.

그런데, 이 책의 내용을 우리의 아이들에게 적용하기 위해서는 부모의 자녀에 대한 확고한 믿음과 인내가 선행되어야 할 것입니다. 이 책은 방법에 대한 이야기가 아니라, 수학을 대하는 자세와 태도에 대한 이야기이기 때문입니다. 그러나 이런 책을 읽은 분들 중에는, 이 책의 '방법'대로 적용해보다가 효과가 미미하다고 생각하면 다른 '방법'을 동원하는 경우가 있을 것입니다. 그런 '방법'들의 적용이 아이들의 수학 역량을 깎아먹는지는 않는지, 생각해봐야 할 문제입니다. 

이 책에서는 우리나라 초등학교 6학년 1학기의 '분수의 나눗셈', 중학교 1학년 1학기의 '(음수) 곱하기 (음수)', 방정식을 배우면서 등장하는 '거리/속력/시간'을 활용한 문장제 문제, '(소)인수분해'에 대한 이야기를 하고 있습니다. 네 부분 다 우리나라 교육 환경에서는 유의미한 주제라고 생각하고 있습니다. 

초등학교 6학년 1학기의 '분수의 나눗셈' 설명 부분은, 나눗셈을 곱하기 역수로 고쳐서 풀어내는 것에 대한 원리를 설명하면서, 나눗셈의 의미와 원리를 설명하는 방식으로 책이 구성되어 있습니다. 대부분의 학생들이 나눗셈의 기본 원리 및 분수/소수의 나눗셈을 분절하여 학습할 뿐만 아니라, 그 원리보다는 방법적인 측면에서 학습하는지라, 많은 학생들이 나눗셈의 의미와 양상을 알지 못한채 기계적으로 사용하게 됩니다. 어떤 어린이들에게는 문제가 되지 않겠지만, 어떤 어린이들에게는 기계적인 사용이 오개념의 고착이 될 가능성이 큽니다. 따라서 나눗셈의 의미와 분수의 의미를 연관지으면서 분수의 나눗셈이 이루어지는 원리를 파악한다면 시간은 오래 걸리더라도 확실하게 이해하고 넘어갈 수 있게 되겠지요. 

'(음수) 곱하기 (음수)'도, 단순하게 외워 풀이하는 것보다는 음수가 가진 실생활에서의 의미와 함께 (음수) 곱하기 (음수)가 이루어지는 양상을 설명함으로써 학생들에게 유의미한 이해의 기회를 제공할 것이라는 생각이 듭니다. 

특히 문장제 문제에 대한 설명은, 현재 우리나라에서의 수학 교육이 이루어지는 부분과 묘하게 오버랩되는 부분이 있습니다. 

수학 수업에서 우리는 필사적으로 공식을 외워서 더욱 빠르게 문제를 푸는 요령을 익혔다. 문장제의 몇 가지 패턴을 익혀서 통째로 암기한 것이다. 그러나 애초에 공식을 외우는 것부터가 당찮은 일이다.

문장제를 푸는데 공식은 필요 없다. 문장제가 어려운 것은 문제를 읽고 그 내용을 제대로 해석하는 능력이 부족하기 때문이다. 머릿속에 실생활에서의 장면을 떠올리고 그림으로 그려보면 문장을 읽고 해석하기가 편해진다. (50쪽) 

저는 유형별로 접근하는 몇몇 문제집을 굉장히 좋아하지 않습니다. 하나의 유형을 연습시키고 비슷한 문제를 묶어서 풀리는 문제집. 그런 문제집은 학생 관리의 측면에서는 편리하지만 - 오답 유형이 정해지므로 그 부분만 따로 풀리면 되니까 - 아이들에게 문제가 지닌 의미를 파악하게 만들어주지는 않습니다. 특히 문장제 문제가 나오는 경우에, 유형별 방식으로 학습한 학생들은 큰 어려움을 겪습니다. 어떤 학생들은 잘 해결해내기도 하지만, 어떤 학생들은 유형이 섞여서 나오거나 유형과 다르게 나오는 경우에 도통 갈피를 못잡고 문제해결을 못해내게 됩니다. 잘 해결해내는 학생들 중에서도, 자신이 해결한 문제만 잘 해내지 그렇지 않은 문제들은 해결하기 어려워하는 경우들을 겪습니다. 수학에 대한 흥미를 잃게 되는 것이죠. 

이야기가 조금 옆으로 샜지만, 이 책은 초등학교 5학년에서 중학교 1학년 사이의, 자녀의 수학 교육에 대한 소신과 철학 - 아이의 역량을 믿고 개념과 원리를 중심으로 아이가 학습할 수 있는 기반을 마련하겠다 - 을 가진 학부모님들과 교사들이 보면 어느 정도의 도움을 얻을 수 있는 책이라는 생각을 하게 되었습니다. 

아울러, 학교 현장에서도, 일정 성취에 도달하지 못한 학생들에게, 수학적 개념과 원리를 차근차근 되짚어줌으로써 학생의 근본적인 수학적 역량의 성장을 도울 수 있도록 더 노력해야겠다는 다짐을 하게 만들어주는 책이기도 했습니다. 

한 가지 아쉬운 점은, 이 책에서 이야기하는 수학의 궁극적 필요성에는 동의하기 어려웠다는 생각을 밝힙니다. 

인수분해뿐만 아니라 수학 문제를 풀 때의 두뇌사용법, 즉 '수학적 사고'는 실제로 일상생활에 두루 쓸모가 있다. 수학적으로 사고하면 남을 능숙하게 설득할 수 있고, 문장을 읽고 쉽게 이해할 수 있다. 또한 가게를 번창시킬 방법도 생각할 수 있고 집안일도 척척 할 수 있다. (3쪽) 

저자는 이러한 관점 아래에서 실생활에서 사용되는 수학적 사고의 실제를 보여주고 있지만... 저는 잘 모르겠습니다. 벤 다이어 그램과 인수분해를 이용한 유형별 분류의 방법이 정말 수학적 사고의 결과물인지... '수학을 잘하면 땡땡땡을 잘 할 수 있다'와 같은 수단으로서의 수학적 사고를 강조하기보다는, 수학 자체가 가진 매력과 흥미를 강조할 수 있었다면 더 낫지 않았을까라는 생각을 해보게 됩니다. 

수학은 충분히 재미있고 가슴 설레이게 하는 학문이 맞거든요. (참고로, 저는 수학을 좋아하는 법학도이자 영문학도입니다. 꾸벅.)

아에드 인 마이오렘 델 글로인

[문명과 수학]을 읽고

문명과 수학 - 세상을 움직이는 비밀, 수와 기하
EBS 문명과 수학 제작팀 지음, 박형주 감수 / 민음인 / 2014년 1월

책 제목 그대로, 이 책은 세계의 여러 의미있는 문명이 수학을 품고 있었다는 것을 알려주는 책이라고 할 수 있습니다. 

동명의 5부작 다큐멘터리로 제작이 되었던 것을, 다른 EBS 방영물처럼 역시나 책으로 묶어낸 것입니다.

처음에의 기대는, EBS의 다른 저작물들에게서 받았던 신선하고 새로운 관점을 제공해주는 지적 자극에 대한 것이었습니다. EBS 시리즈는, 특히 '아이의-' 시리즈나, 교육 관련 시리즈는 여러가지로 볼거리와 생각할거리를 던져주는 좋은 시리즈였고, TV를 보지 않는 제게는 특히 책으로 엮인 내용이 더 편안하게 받아들여지는 부분이 있어서, 주로 믿고 사는 편이었습니다. 

그런데, 이 [문명과 수학]은 조금 집중도가 떨어진다고 하여야겠습니다. 

아무래도 다 아는 이야기라는 것이 제일 큰 이유이겠네요. 수학사 부분에 대한 지식이 어느 정도 있는 경우에, 이 내용은 다 한 번쯤은 접하였을 그런 내용들로 구성되어 있습니다. 

한편, 수학이라는 학문이 그렇지만, 겉핥거나 이해하지 못하거나 두 극단 중에 하나에 머물러야하는 특성상, 이 책에서 소개하는 내용들은 겉핥는 내용으로 이루어집니다. 가령, 페르마의 마지막 정리 같은 경우에는, 당연하겠지만, 정리 자체에 초점을 맞출 수가 없기 때문에 정리를 해결해나가는 외적 과정에 초점을 맞추고 있습니다. 뭐, 정리 본래에 대한 이야기는 없다고 봐도 무방하리라 생각합니다. 

그러나, 내용을 이렇게 구성할 수 밖에 없는 것도 한 편으로는 이해가 됩니다. 지금 함께 읽고 있는 책인 [위대한 수학문제들] 같은 경우, 수학의 여러 난제들을 관련 수학론에 대한 소개와 함께 조금은 더 - 일반 대중이 보기에 - 전문적으로 다루고 있는데, 실은 도통 내용을 이해할 수 없습니다. 고등학교 수학 실력 정도로는 도무지 받아들일 수 없는 이야기들이 가득한 [위대한 수학문제들] 같이 어렵거나, [문명과 수학] 같이 겉핥거나, 수학에 관련된 책은 양극단에 설 수 밖에 없나보다, 라는 생각을 하게 됩니다. 

수학적 지식을 많이 가지고 있지 않은 분들이 [문명과 수학]을 읽게 될 경우에는, 아마도 내용이 이해되지 않을 가능성이 크다고 생각합니다. 혹여라도 방송으로 보게될 경우에는, 여러가지 시각적 자료들과 함께, 방송이라는 매체가 가지고 있는 이미지성 때문에라도 재미나게 볼 수 있으리라 생각하지만... 텍스트는 그런 가능성을 줄여버린다는 생각이 듭니다. 

어쨌든, 편안한 마음으로 읽을 수 있는 책이었습니다. 

아에드 인 마이오렘 델 글로인