[마이리뷰] 수학을 못한다는 착각

수학을 못한다는 착각 - 우리 스스로 수학 지능을 구축하는 놀라운 생각의 기술
다비드 베시 지음, 고유경 옮김 / 두시의나무 / 2025년 9월

책의 요지는, 안개 속에 펼쳐진 세계를 수학적으로 인식하는데 직관이 기여하는데 우리는 이 직관의 힘을 가두고 자꾸 형식화 된 수학적 사고의 틀 안에서 안개 속을 바라보려 하니 수학이 어렵게 느껴지는 것이며, 이러한 직관을 통해 통찰한 수학적 이해를 가지고 지속적으로 직관을 키워나가는 것이 수학을 하는 것이다, 가 아닌가 싶다.

직관에 대한 힘을 가장 잘 드러내는 사례가 바로, 사원수의 발견이 아닐까 싶다. 산책하다가 발견한 사원수의 존재. 통찰을 설명할 때 직관을 가장 가깝게 떠올리는데, 직관은 사고와 사고 사이의 연결 고리를 걸어주는 역할을 수행하지만, 이를 설명할 수는 없는 무언가로 이해해도 좋을 듯 싶다. 어쨌든.

이 책의 저자는, 그런 직관도 수학적인 힘이다, 라고 이야기하고 있고, 이를 공식화하려는 시도를 - 다양한 사례와 근거로 - 이 책을 통해 해 나가고 있는 것인데…

수학이 형식화, 일반화, 라는 엄밀함의 키워드로 구체화되는 한, 직관적 수학력 또한 그러한 엄밀함에 기여하는 수학적 사고로 기저를 이룸을 설명하는 것이 필요할텐데, 이를 구축해 가는 서술에서는 아쉬움이 남는다. 어쨌든, 수학적 통찰을 이루는 직관은 참 중요한 요소인데… 이 책을 읽고 나니, 조던 앨런버그 교수의 [틀리지 않는 법 - 수학적 사고의 힘]이 참 잘 쓴 책이로구나, 작명도 좋았구나, 하는 생각을 다시금 하게 된다. 직관은 틀리지 않는 법을 알려주는 것 아닐까?

학생이 ‘바라는 결과’에 도달할 수 없다는 평가 ev...

학생이 ‘바라는 결과’에 도달할 수 없다는 평가 evaluation 피드백을 교사가 도출하게 된다면, 과정에 문제가 있다는 결론을 내려야 하고, 이는 과정의 운영을 조정하는 것으로 이어져야 한다.

대한민국 교육은, 바라는 결과를 ‘성취기준’이라는 말로 표현하고 있다.

바라는 결과(desired results)란 종종 의도한 성과, 성취 목표 혹은 수행 기준으로 불린다. 이 네가지 용어는 모두 우리의 초점을 투입에서 산출로 이동시키는 것을 의미한다. 그것은 학생이 졸업하면서 알고, 행하고, 이해할 수 있어야만 하는 것으로서, 수행과 결과라는 용어로 표현되는 것이다. 바라는 결과는 우리에게 다음과 같은 내용을 상기시킨다. 만약 우리가 달성하고자 하는 목표에 도달하기 어렵다는 피드백 결과를 접한다면 ‘지도자‘로서 우리의 설계와 수행을 조절해야만 한다. - P24

[오늘의 한문장] 가르침의 재발견

해라, 하지 마라, 옳다, 옳지 않다, 같은 언명은, 아이를 존재함에서 주체됨으로 ‘성숙’해 갈 기회를 주지 않은 채 그저 그 자리에 있도록 하는 셈이다. 어찌보면 교육자가 헤게모니를 쥐고 있는 상황을 버리지 않는다면, 교육자 또한 스스로를 존재함에 여전히 두고 있는 상태를 벗어날 수 없을지도, 주체된 교육자로 나아갈 수 없을지도 모르겠다.

균열은 양방향으로 작동해야 하는 것. 교사가 학생에게, 학생은 교사에게?

중단은 다양한 방식으로 행해질 수 있으며, 일부는 교육적으로 성숙의 향상을 지향하지만 일부는 그렇지 않다는 것을 알 필요도 있다. 비교육적으로 중단을 행하는 방식은 우리가 직접적인 도덕교육이라고 부르는 것이다. 여기에서 중단은 아이와 아이의 시작에 관해 교육자가 ‘틀렸어!‘ 같은 정죄나 ‘잘했어!‘ 같은 칭찬처럼 직접 판단하는 형식으로 이루어진다. 여기서 문제는 피드백 그 자체가 아니라(물론 이것도 중요하고 어느 정도는 유용하지만), 그 판단이 교육자로부터 나와서 아이에게 바로 적용된다는 사실이다. 왜냐하면 그러한 판단 아래에서는 아이가 주체로 출현할 시간과 기회가 전혀 주어지지 않기 때문이다. 아이는 단지 교육자의 판단 대상이나 교육자의 판단에 종속된 자로 남게 된다고 할 수 있다.
(중략) 다시 말해 비성숙함과 성숙함의 차이는 자신의 욕구의 대상이 되느냐, 보다 정확하게는 자신의 욕구에 종속되느냐, 아니면 그것의 주체가 되느냐의 차이이다.
아이와 학생의 욕구가 바람직한지를 교육자가 결정짓는 한, 아이와 학생은 교육자의 의도와 활동의 대상으로만 남게 된다. 그러므로 교육의 핵심적 도전은 아이와 학생에게 그들의 욕구가 바람직한지를 말해 주는 것이 아니라, 아이와 학생의 삶에 이것이 살아 있는 질문이 되도록 하는 데 있다. 이것은 직접적인 도덕교육을 요구하는 것이 아니다. 그들 안에 욕구가 일어나는 것과 그것을 따르는 행위 사이에 틈을 만들어야 하는 것처럼, 아이와 학생이 자신의 욕구와 관계를 설정할 수 있도록 말 그대로 진짜 공간과 은유적 공간을 열어줄 필요성을 암시하는 것이다. - P56

[마이리뷰] 나의 문화유산답사기 일본편 4

나의 문화유산답사기 일본편 4 - 교토의 명소, 그들에겐 내력이 있고 우리에겐 사연이 있다 ㅣ 나의 문화유산답사기
유홍준 지음 / 창비 / 2014년 11월

이 편을 심지어 유홍준 교수께서 직접 독자 이름을 써 주신 버전으로 받았는데, 읽을 수가 없었다. 교토에 대해서 뭘 알아야 읽지…

그런데 작년 초, 교토에서 4박을 했다. 그리고 다담주에 교토에서 다시 5박을 한다. 그새 한 번 다녀왔다고 책을 읽는데 어디가 어딘지 다 알겠다. 그리고… 이번 5박 때 막상 어디 갈 곳이 없을까봐, 히메지 가나, 구라시키 가나 그러고 있었는데… 교토가 5박만 가지고도 모자랄까봐 걱정이 되기 시작했다.

이번 봄 여행의 핵심은 벚꽃이지만, 결국 아는 만큼 보인다. 유홍준 교수 덕택에 조금 더 볼 수 있게 된 상황에서 교토를 맞이할 듯하다.

그리고… 이제 알겠다. 맨 땅에서 답사기는 확실히 어렵다. 앞으로는 한 번 가서 겪어보고, 답사기 보고, 다시 읽어 볼테다.

[마이리뷰] 쓰기의 미래

쓰기의 미래 - AI라는 유혹적 글쓰기 도구의 등장, 그 이후
나오미 배런 지음, 배동근 옮김, 엄기호 해제 / 북트리거 / 2025년 1월

제목으로는 AI 기술에 대응하는 쓰기 이야기일 줄 알았다. 전형적인 아날로그와 디지털의 대립. 그럼에도 구매한 이유는, 지금 이 시점에서 고민할만한 거리라고 생각했고, 가볍게 주의를 환기하면 되겠다고 생각했기 때문이다.

책은, 생각 이상으로 훌륭했다. 저자가 언어학자일 것이라고 예상은 했었고 그래서, AI 쪽은 훑겠구나 싶었다. 그런데… AI 쪽‘도’ 아주 훌륭했다. 언어학자로서, 초창기 AI의 언어적 지향이 있던 시절부터 언어와 AI를 연결하는 것에 관심을 가지다보니, 저자는 일반적인 AI의 관점이 흘러가는 것보다 한 단계 더 들여다 본 연구와 경험을 가지고 있었다. 오히려, AI 기술 전반에 대한 지식과 통찰이 돋보이는 책이었다.

따라서 이 책은, 조망점을 계속 제시하고 있다. 디지털 기술이 발전해 온 과정 속에서 일상의 언어와 어떻게 연결되어왔는지에 대한 과거를 토대로, 지금을 진단하는. 그래서 앞으로 어떻게 될지를 자련스럽게 내다볼 수 있는 관점과 통찰을 제시하고 있다. 그래서 어떻게 해야하느냐고?

그걸 어떻게 알겠는가. 그래서 이 책에 나오는 저자의 무수한 연구의 흔적들이 빛을 발한다. 결국, 우리는 지금까지 전례가 없던 것들을 그저 맞이해야 한다. 그 아래 둘 것은, 참고할만한 사례와 이를 토대로 들여댜보는 현재.

뒷부분으로 갈수록, 책이 세련되었다는 생각이 들었다. 분명히 조만간 다시 꺼내어 들 것이다. 쓰기 때문이든, AI 때문이든.