그림으로 배우는 대수학

태어난 김에 수학 공부 : 대수 - 한번 보면 결코 잊을 수 없는 필수 수학 개념 ㅣ 그림으로 과학하기
케이티 스텍클스 지음, 고호관 옮김 / 윌북 / 2025년 10월

*** 이 리뷰는 책콩카페의 소개로 출판사로부터 도서를 제공받아 주관적으로 작성한 글입니다 ***

이 책은 그림과 도표처럼 시각적인 도구를 사용하여 수학과 과학적 지식을 그림책으로 제작한 [그림으로 과학하기] 시리즈 중에서 대수학 분야를 다룬 교양 과학서적이다.

책의 구성과 내용은 대수학 분야에서 중요한 개념과 정리들을 선별하여 이론적인 설명과 함께 그림과 도표 등의 시각적 도구들을 사용하여 12개 단원에 걸쳐 서술하고 있다: 수; 산술; 수의 패턴; 표기법과 도표; 알고리즘과 함수; 그래프와 데이터; 논리와 증명; 수학의 역사; 모형화; 동역학; 이산수학; 추상구조.

저자는 수학 커뮤니케이터로 활동중인 케이티 스텍클스 박사이고 번역은 과학 전문기자 출신인 고호관 작가이다.

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‘수학을 그림으로 배운다’.

아마도 한국의 중고등학교 수업시간에 수학을 그림이나 도형을 가지고 배운다는 것은 상상도 할 수 없을 만큼 매우 어려운 일일 것이다. 좀더 솔직하게 말하자면, 대학입시를 목표로 하는 수학 교육과 수업의 방식에서 그림과 도형 같은 시각적 도구들을 사용할만한 동기나 이유나 목적이 없기 때문일 것이다. 왜냐하면, 문제 풀이가 목표이고 목적이지, 수학적 개념의 이해나 해석이 목표가 아니기 때문이다.

놀랍게도 세계적으로 뛰어난 수학자나 과학자들은 글자화된 추상적인 개념들을 시각적으로 이해하며 낙서하듯 그림으로 표현하는데 능숙한 것으로 알려져 있다: 리처드 파인만이나 앤드류 와일즈, 스티븐 호킹도 그림으로 자신의 아이디어를 표현하여 전달하는 것으로 유명하다.

기껏해야 숫자와 숫자들의 연산이 가지고 있는 수체계의 독특한 성질들을 다루는 대수학을 그림으로 표현할 만한 것들이 과연 무엇이 있으며, 설사 그림으로 표현한다고 해서 무엇이 크게 달라질 것이 있을까?

이 책이 보여주는 내용들이 이런 질문들에 관한 대답에 해당할 것이다: 결과는 한마디로 놀라움과 충격의 연속이라고 말할 수 있다:

예를 들면, 산술 기본정리에 의해 수의 패턴을 브렌트 인수 도표로 표현하면 화학 물질 구조와 유사한 형태를 띄게 된다. 입력값의 범위가 다양하고 대량인 경우 동역학 시스템이 시간의 흐름에 따라 작동하는 시스템의 변화를 매개변수의 값의 그래프로 표현했을 때 분기 복잡도가 급격하게 변하게 되는 전체적인 모습을 한눈에 파악할 수 있게 된다.

또 한가지 놀라운 점은 심지어 논리 증명 과정에도 시각적 효과를 얻을 수 있다는 것이다: 명제의 귀납적 증명에서 특정 성질이 연속적인 단계에서도 유효하다는 사실을 반복적으로 적용한 결과를 시각적으로 표현하는 것이 추상적인 명제의 의미를 구체적으로 인식하고 이해할 수 있게 된다.

개인적으로 흥미로운 내용은 집합론에서 사용된 집합들 사이의 포함 관계를 도형으로 표현한 하세 도형이다: 단순한 집합들을 포함관계에 의해 순서대로 나열하는 것이 3차원 공간에서 존재하는 입체 도형 모양이 된다는 사실이다.

또한 행복수나 완전수, 다각수, 사면체수, 고정점의 개념도 흥미로운 부분이다.

전반적으로 보면, 대수학의 주요 개념들과 연산 법칙들에 관해 시각적 표현을 통해 구체적이고 직관적으로 이해하기 쉽게 만들어주는 흥미로운 교양 수학 서적이라는 생각이 든다.

다양한 관점에서 바라보는 프랑스 혁명사

프랑스혁명 - 바스티유의 포성에서 나폴레옹까지 ㅣ 북캠퍼스 지식 포디움 시리즈 5
한스울리히 타머 지음, 나종석 옮김 / 북캠퍼스 / 2025년 8월

*** 이 리뷰는 책콩카페의 소개로 출판사로부터 도서를 제공받아 주관적으로 작성한 글입니다 ***

이 책은 18세기 말기 프랑스 혁명 시기 10년(1789~1799)을 중심으로 배경, 과정, 이후의 전개 양상과 영향에 대해 다양한 관점에서 시각과 의미를 담은 교양 역사서이다.

책의 구성과 내용은 8개 단원으로 나누어서, 프랑스 혁명 이전 시기부터 혁명 시기의 10년과 그 이후에 이르는 동안 역사적 사건들을 중심으로 관련된 시대적 배경과 맥락 속에서 당시 프랑스 정치, 사회, 문화, 경제, 역사적 관점으로 기술하고 있다.

저자는 독일의 역사학자 한스울리히 타머 전 독일 뮌스터대학 역사학과 교수이다.

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역사에 ‘만약에’라는 질문처럼 무의미한 질문이 없다고들 한다. 아마도 실제로 발생했던 사건과 당연히 일어났어야 할 일들과의 거리 차이가 너무 커서 도저히 합리적인 설명이 불가능하기 때문이 아닐까 싶다.

18세기 프랑스 혁명은 어떻게 일어난 것일까? 국가의 구조상 붕괴할 때가 되었기 때문에 일어났는지, 아니면 아직은 사회 구조적 모순이 붕괴 수준이 아님에도 단순히 우연한 반란 사건이 도화선이 되어 거대한 사건으로 발화해 나갔는지 말이다.

이 책에서는 프랑스 혁명이라는 역사적 사건이 단순히 몇 개의 반란 봉기들의 발생에 가려졌던 수면아래 누적되어 왔었던 구조적인 요인들을 사회, 역사, 경제, 정치적 관점에서 다루고 있다:

봉건제도와 사회신분제, 전근대적인 경제제도, 당시 절대왕정체제의 무능력한 행정의 불합리성과 모순에 대한 불만과 개혁 요구가 한꺼번에 결합되어 폭발했고, 혁명이 진행되는 과정에서 수반되는 폭력과 테러는 직접적으로는 외부 국가의 침략에 의한 전쟁이 촉발시킨 국가 존망의 위기의식, 적과 아군에 대한 구별과 적군에 대한 증오와 공포가 촉발시켰으며, 새롭게 요구되는 새로운 사회신분제와 시대적 철학이 수용되지 못하고 갈등과 분열로 진화되어 결국에는 내전 상태로까지 빠지게 되고, 나폴레옹이라는 구원자이자 반혁명자에 의해 프랑스가 정치 체제의 안정성을 갖추는 방향으로 전개되는 흐름을 보여주고 있다.

개인적으로 흥미로운 내용은 몇 가지가 있다:

우선, 혁명을 통해 왕정체제가 아니라 다른 정치체제를 선택해야 할 때 입헌군주제를 선택했지만 결국 왕이나 군주 대신에 공화정을 채택하게 된 과정이다: 이른바 정치 엘리트들의 다수파가 정치체제를 결정한 결과이기도 하지만 외국의 침략이 없었다면 과연 공화제를 할 수 있었을까 하는 생각도 해보게 된다.

다른 한가지는 로베스피에르의 혁명정부가 내세운 이성, 정의와 평등의 실현이 모순되게도 폭력과 테러에 의한 통치였다는 사실이다: 통치자의 철학과 윤리적 이성의 기준이 명확하지 않고 자의적인 해석에 기반하여 통치를 하는 것은 비극적인 결말로 끝나게 된다는 저자의 분석에 감탄하게 된다.

전반적으로 보면, 18세기 후반 프랑스 혁명 시기의 역사를 다양한 측면에서 종합적으로 바라보고 이해하는데 유용한 책이라는 생각이 든다.

그림으로 배우는 매듭 이론 위상수학

매듭 이론 - 그림으로 쉽게 배우는 수학
신조 레이코.다나카 코코로 지음, 권기태 옮김 / 성안당 / 2025년 9월

이 책은 복잡한 수학 공식 대신 그림을 통해 매듭 이론 수학의 내용을 배우는 교양 매듭이론 학습서적이다.

책의 구성과 내용은 13개의 단원에 걸쳐 수학적 매듭의 기본 개념과 고리 연산(변형과 풀이), 불변성 증명에 대해 다루고 있다.

저자는 일본 고쿠시칸 대학 이공학부 신조 레이코 교수와 도쿄가쿠게이대학 교육학부 다나카 코코로 교수이고, 번역은 강릉원주대학교 컴퓨터공학과 권기태 교수이다.

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매듭이론은 수학의 위상수학에 속하는 한 분야로 분류되지만, 무엇보다 난해함으로 유명하다: 아마도 다차원 공간에서의 이루어지는 연산 작업을 평면적으로 이해하게 되기 때문일 것이다.

이 책은 놀랍게도 매듭 이론의 수학 공식이 거의 등장하지 않고 오로지 그림과 도형으로만 매듭이론의 주요 개념과 연산 작업들을 설명하고 있다: 심지어 실제 생활 속에서 사용되는 로프 매듭을 가지고 수학적 매듭 고리 개념을 연계시켜 예시로써 보여주고, 매듭을 묶고 푸는 단계마다의 모양을 그대로 보여준다.

매듭의 고리의 동위 변형 작업이 그래프 이론의 연결 성분수를 가지고 확인하지만, 3차원적인 공간에서의 고리 도형의 이동과 변환을 상상을 통해서도 가능하다는 것과 말 그대로 방정식이 필요없이 직관적인 상상만으로도 얼마든지 가능하다는 사실을 깨달은 것이 충격적으로 다가왔다: 저자는 가장 많이 사용하는 방법으로 2차원 평면 매듭 도형을 3차원 도형으로 옮겨 그려가며 이해하는 작업을 추천하고 있는데 매우 효과적이라는 생각이 든다.

개인적으로 가장 흥미로운 내용은 데이터 불변량과 고리로 대응시켜 동위 변형 여부 판단 문제로 전환시키는 부분이다: 예를 들면 데이터 값들 사이에 상관 관계를 판별하는 것은 확률적으로 계산이 가능하지만, 데이터들의 카테고리들이 실제로 독립적이고 유일한 것인지를 판단하는 것은 매우 어려운 문제라서 전제를 가정하고 시작하게 된다. 이런 가정 사항을 수학적으로 증명이 가능한 해법으로 활용가능하기 때문이다.

한편으로 문제는 매듭을 풀어 매듭 풀림수를 구하는 작업 자체가 매우 어렵다는 점이다: 예를 들면, 분자 생물학의 DNA 결합 구조를 매듭으로 대응시켜 푸는 문제는 상당한 난제라는 사실도 흥미로운 부분이다.

전반적으로 보면, 매듭 이론을 직관적이고 시각적으로 접근하여 추상적인 개념들을 구체적으로 이해시켜주는 교양 수학서적이라는 생각이 든다.

[ #매듭이론 #성안당 #신조레이코 #다나카코코로 #권기태 #문화충전 ]

전략적 주식 투자 기법의 종합본

전략적 가치투자 - 투자에 왕도는 없으나 전략은 있다
신진오.이상민 지음 / 국일증권경제연구소 / 2025년 9월

*** 이 리뷰는 책콩카페의 소개로 출판사로부터 도서를 제공받아 주관적으로 작성한 글입니다 ***

이 책은 2009년 발간된 전략적 가치 투자의 개정판으로 주식 투자와 관련된 다양한 기법들을 범주로 나누어 설명하고 전략적인 가치 투자 방법들을 소개하는 주식 투자서적이다.

책의 내용과 구성은 총 5개 단원에 걸쳐 이루어져 있다: 주식 투자의 기본적인 개념들을 설명하고, 3가지 투자 기법 전략(알파, 베타, 세타)들을 기술하고, 다양한 조합으로 투자하는 방법들을 혼합한 투자 전략들을 소개하고 있다.

저자는 한국 가치 투자 1세대인 고(故) 신진오 밸류리더스 회장과 애널리스트 출신 이상민 투자가이다.

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이 책은 기존에 대중적으로 알려진 2가지 부류의 주식 투자 방식인 기술적 투자 기법과 가치 투자 기법에 관해 투자 방식의 특징과 장점과 단점 위주로 기술하고 1996년부터 2023년까지 대략 27 년간의 실증 데이터를 가지고 사례를 제시하고 있다. 세타 투자 전략과 전략적 가치 투자 기법은 저자가 제안하는 기법으로 합리적인 방식이라고 볼 수 있다.

이 책의 가장 특징적인 점은 어느 한가지 주식투자 기법이 절대적으로 우수하고 다른 주식투자 기법은 매우 위험하고 형편없다는 식의 의견이나 주장을 내세우지 않는다는 점이다: 투자 기법마다 코스피 시장의 실측 데이터를 가지고 적용시킨 투자 전략의 결과 사례를 보여줌으로써 객관적인 증거와 함께 장점과 단점을 기술한다는 것이다:

예를 들면, 기술적 투자 기법의 기본이자 핵심인 추세추종 기법에서 추세를 어떻게 정의하여 파악하고 판단하느냐에 따라 주식투자 수익률이 결정되는 치명적인 약점이 있고, 주식시장 전체가 횡보하는 박스권 장세에서는 이 추세 파악 기술이 무용지물이라는 사실도 그대로 전달한다. 

반대로, 가치투자 기법들이 빠지는 함정으로서 현재의 주가보다 낮은 기업 가치를 가진 기업 종목이 주식시장에서 제대로 된 평가가 반영되어 주가가 오르기까지 얼마의 시간이 걸릴지 모른다는 치명적인 약점도 지적하고 있다.

그런 측면에서, 비교적 짧은 시간 안에 주가가 오르는 기업 종목을 골라서 전략적으로 투자하는 기법들을 저자가 제안하는 것이 한국의 경제와 금융시장의 상황에서 보면, 매우 적합한 아이디어라는 생각도 해보게 된다: 

거시 경제 상황과 주식 시장 상황이 모두 나쁘면 주식 투자 비중을 줄여 현금을 마련해 놓고 기다린다든지, 거시 경제 상황이 나쁘지만 않다면 정액이나 일정 비율로 정기적으로 주식을 매수해서 장기적으로 투자하는 방식은 결국 높은 수익률로 이어진다는 결과는 인상적이다.

특히, IMF같은 갑작스러운 돌발 경제 악재 상황임에도 불구하고 최소 10%이상의 높은 연평균 수익률이 만들어진다는 사실은 매우 흥미로운 내용이다.

전반적으로 보면, 마치 주식투자 기법의 종합 정리본 같다는 생각이 드는 책이다. 다양한 주식 투자 기법들에 대한 핵심적인 설명과 더불어 한국 주식 시장에 적합한 주식 투자 전략들도 소개한다는 점에서 포괄적인 주식투자 서적이라는 생각이 든다.

[100자평] 픽사, 미학적 상상력

픽사, 미학적 상상력 - 애니메이션, 스토리텔링 그리고 디지털 문화
에릭 헤르후스 지음, 박종신 옮김 / 한울(한울아카데미) / 2025년 8월

흥미로운 픽사와 작품의 비평 이야기