그림으로 배우는 대수학

태어난 김에 수학 공부 : 대수 - 한번 보면 결코 잊을 수 없는 필수 수학 개념 ㅣ 그림으로 과학하기
케이티 스텍클스 지음, 고호관 옮김 / 윌북 / 2025년 10월

*** 이 리뷰는 책콩카페의 소개로 출판사로부터 도서를 제공받아 주관적으로 작성한 글입니다 ***

이 책은 그림과 도표처럼 시각적인 도구를 사용하여 수학과 과학적 지식을 그림책으로 제작한 [그림으로 과학하기] 시리즈 중에서 대수학 분야를 다룬 교양 과학서적이다.

책의 구성과 내용은 대수학 분야에서 중요한 개념과 정리들을 선별하여 이론적인 설명과 함께 그림과 도표 등의 시각적 도구들을 사용하여 12개 단원에 걸쳐 서술하고 있다: 수; 산술; 수의 패턴; 표기법과 도표; 알고리즘과 함수; 그래프와 데이터; 논리와 증명; 수학의 역사; 모형화; 동역학; 이산수학; 추상구조.

저자는 수학 커뮤니케이터로 활동중인 케이티 스텍클스 박사이고 번역은 과학 전문기자 출신인 고호관 작가이다.

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‘수학을 그림으로 배운다’.

아마도 한국의 중고등학교 수업시간에 수학을 그림이나 도형을 가지고 배운다는 것은 상상도 할 수 없을 만큼 매우 어려운 일일 것이다. 좀더 솔직하게 말하자면, 대학입시를 목표로 하는 수학 교육과 수업의 방식에서 그림과 도형 같은 시각적 도구들을 사용할만한 동기나 이유나 목적이 없기 때문일 것이다. 왜냐하면, 문제 풀이가 목표이고 목적이지, 수학적 개념의 이해나 해석이 목표가 아니기 때문이다.

놀랍게도 세계적으로 뛰어난 수학자나 과학자들은 글자화된 추상적인 개념들을 시각적으로 이해하며 낙서하듯 그림으로 표현하는데 능숙한 것으로 알려져 있다: 리처드 파인만이나 앤드류 와일즈, 스티븐 호킹도 그림으로 자신의 아이디어를 표현하여 전달하는 것으로 유명하다.

기껏해야 숫자와 숫자들의 연산이 가지고 있는 수체계의 독특한 성질들을 다루는 대수학을 그림으로 표현할 만한 것들이 과연 무엇이 있으며, 설사 그림으로 표현한다고 해서 무엇이 크게 달라질 것이 있을까?

이 책이 보여주는 내용들이 이런 질문들에 관한 대답에 해당할 것이다: 결과는 한마디로 놀라움과 충격의 연속이라고 말할 수 있다:

예를 들면, 산술 기본정리에 의해 수의 패턴을 브렌트 인수 도표로 표현하면 화학 물질 구조와 유사한 형태를 띄게 된다. 입력값의 범위가 다양하고 대량인 경우 동역학 시스템이 시간의 흐름에 따라 작동하는 시스템의 변화를 매개변수의 값의 그래프로 표현했을 때 분기 복잡도가 급격하게 변하게 되는 전체적인 모습을 한눈에 파악할 수 있게 된다.

또 한가지 놀라운 점은 심지어 논리 증명 과정에도 시각적 효과를 얻을 수 있다는 것이다: 명제의 귀납적 증명에서 특정 성질이 연속적인 단계에서도 유효하다는 사실을 반복적으로 적용한 결과를 시각적으로 표현하는 것이 추상적인 명제의 의미를 구체적으로 인식하고 이해할 수 있게 된다.

개인적으로 흥미로운 내용은 집합론에서 사용된 집합들 사이의 포함 관계를 도형으로 표현한 하세 도형이다: 단순한 집합들을 포함관계에 의해 순서대로 나열하는 것이 3차원 공간에서 존재하는 입체 도형 모양이 된다는 사실이다.

또한 행복수나 완전수, 다각수, 사면체수, 고정점의 개념도 흥미로운 부분이다.

전반적으로 보면, 대수학의 주요 개념들과 연산 법칙들에 관해 시각적 표현을 통해 구체적이고 직관적으로 이해하기 쉽게 만들어주는 흥미로운 교양 수학 서적이라는 생각이 든다.