원추 곡선

 원추 곡선

 원추곡선의 통합은 너무나 아름다운 수학의 통일성을 보여줍니다. 준선과 초점과의 비율에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 만들어지니까요. 꼭지점을 마주하고 축을 공유하는 두 원추의 잘라진 단면에 따라, 위의 곡선도 만들어집니다(원뿔절단곡선). 축에 수직으로 절단되면 원이고, 비스듬이 잘려지면 타원이 됩니다. 점점 기울기가 가팔라지면서 빗면과 평행이 되면, 포물선이 됩니다. 타원이지만 원에 가까운 타원 지구궤도에서 이심율이 커지면서 타원이 점점 눌려지고 이것은 혜성궤도가 됩니다. 다른 한 초점이 무한대로 멀어지면 포물선이 됩니다.

 그런데 제가 모른 것이 있습니다. 그 다음에 포물선에서 쌍곡선으로 변환되는 것이 상상이 안 됩니다. 이론적으로 이심율이나 초점과 준선과 관계에서 이해는 가는데, 곡선의 변화를 머릿속에 그릴수가 없어요. 가장 큰 장애물은 점근선입니다. 쌍곡선 y=1/x는 x축과 y축을 점근선으로 갖고 y=1/x+x의 경우에는 y=x와 y축을 점근선으로 갖습니다. 쌍곡선이 포물선에 가까워지면서 점근선은 어떻게 되는 거죠. 종이로 원추를 만들어 볼펜으로 긋고, 오리고 했는데도 이해가 잘 안 가네요.