[알라딘서재]π(pi) 와 e

π(pi) 와 eｌ수학 그리고

마립간 () l 2004-08-01 19:17

https://blog.aladin.co.kr/maripkahn/508103

* π(pi) 와 e

부제 : π(pi)보다 e를 좋아하는 사람이 이야기하는 몇 가지 이유

π는 아르키메데스에 의하여 발견되었다. 그러나 e는 오일러에 의하여 발견되었다.

1. π(pi)는 키보드에 없기 때문에 쓰기에 불편하다. 그러나 e는 그런 점에서 편리하다.

2. pi가 나오면 싸움이 일어날 가능성이 있다. 그러나 e는 그런 점에서 안심해도 좋다.

3. e가 초월수라는 것은 쉽게 증명된다. 그러나 π가 초월수라는 것을 증명하기 위해서는 고통이 필요하다.

4. π는 초등학생도 알아서 권위가 안 선다. 그러나 e를 알려면 고등학교 이과 수준이 되어야 한다.

* 인터넷에 떠도는 유머 ; 저는 개인적으로 π를 더 좋아합니다.

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ｌ

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조선인 2004-08-01 19:32 좋아요

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저는 개인적으로 e가 뭔지 모릅니다. ^^;;

마립간 2004-08-01 21:30 좋아요

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매력적인 수가 너무 많아요. 자연로그 e, 원주율 π, 피보나치 수열의 극한 황금비 φ, 피타고라스의 수 √2 , 카오스 이론에서 나오는 유니버설 상수 (일명, 파이겐 바움(Feigenbaum) 상수 δ.

갈대 2004-08-01 23:35 좋아요

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e가 들어가면 ln으로 바뀐다고 해서 쓰긴 썼는데 아직도 왜 그런지는 모른답니다.
개인적으론 e보다는 파이를 더 많이 써서 그런지 파이가 좋네요^^

tarsta 2004-08-06 21:33 좋아요

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이거 보니까 예전에 미분과 적분이 싸우던 유머가 생각나요. 그때 진짜 웃겼던 건 그 유머를 진지하게 해석해주시던 분들..입니다. ㅋㅋㅋㅋ

tarsta 2004-08-06 21:45 좋아요

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(혹시 모르시는 분들 계실까봐 올려드려요. 3탄도 나왔네요. 마립간님, 초면에 너무 긴 코멘트를 올려서 죄송합니다. 뭐 지우시거나 링크로 바꾸셔도 괜찮아요. *^^*) 옛날에 아주 아름답고 평온한 마을이 있었다. 즉 natural number village(?)였다. 그 마을의 이름은 자연수 마을. 그런데 어느날 마을에 미분 귀신이 나타났다. 미분 귀신은 마을 사람들을 하나씩 미분시켜서 모조리 0으로 만들었다. 마을은 점점 황폐해가고 이를 보다 못한 촌장과 동네사람들이 반상회를 개최하였다. 몇 시간의 토론 끝에 이웃에 있는 방정식 마을에 구원을 요청하기로 하였다. 이웃마을의 소식을 들은 마을에서는 x^2(엑스제곱)장군을 자연수 마을에 급파하였다. 전투시에 수시로 자신의 모습을 바꾸는 x^2장군 앞에서 잠시 당황한 미분귀신... 그러나 미분귀신은 잠시 생각하더니 3번의 미분을 통해서 간단히 해치우고 말았다. 그러자 방정식 마을에서는 x^3(엑스세제곱) 장군을 급파하였다. 그러나 그 역시 미분 귀신의 적수가 되기엔 역부족이었다. 단 4번의 미분에 그만작살이 나고야 말았다. 당황한 방정식 마을에서는 x^n(엑스엔제곱) 참모총장마저 보내는 초강수를 택하였으나 그 역시 n+1 번의 미분 앞에서 힘없이 무너지고 말았다. 이제 아무도 미분 귀신의 적수가 될 수 없으리라 생각했으나.... 방정식 나라에는 마지막 희망 sinx,cosx 두장군이 있었다. 좌 sinx, 우 cosx 장군이 미분 귀신과 전투를 시작하였다. 미분 귀신은 적잖이 당황하지 않을 수 없었다. 아무리 미분을 하여도 서로 모습만 바꿔가며 계속 덤비는 sinx, cosx 장군 앞에서 더 이상 싸울 힘이 없었다. 그러나 그 순간 미분 귀신은 꾀를 내었다. 그리고 cosx 장군을 미분시켜 sinx장군에게 던져버린 것이다. 마지막 희망이었던 두 장군은 서로 부디쳐서 그만 자폭하고 말았다. 일이 이쯤 되자 방정식 마을에서는 용병을 구하느라 난리가 일고 있었다. 그런데 전설적인 용병이 등장하였다. 그의 이름은 바로 exponential 검신이었다. 그가 가진 e^x (이의엑스제곱) 라는 무기는 미분 귀신이 수백번의 미분을 해도 전혀 손상되지 않았기 때문이다. 미분귀신은 당황하기 시작하였다. 이제 승리는 exponential의 것처럼 보였다. 하지만 끝내 그마저 미분 귀신에게 패하고 말았다. 글쎄.... 그 미분귀신이... y 로 편미분을 해버리고 말았던 것이다... 미분귀신2 미분귀신이 마을을 쓸어버리고 난 뒤, 자연수마을에 다시 찾아온 재앙이 있었으니.. 그것이 바로 적분귀신이었다. 적분귀신은 자연수들을 적분해 쓸데없이 덩치를 키워버리는가 하면, 출처가 불분명한 c(적분상수)라는 것들을 대량으로 만들어내었고, 심지어는 x로 적분한뒤 다시 y로 적분해 xy라는 악질 돌연변이까지 만들어 내는 것이었다. 자연수마을은 다항식마을에 도움을 청했지만, 다항식 마을은 자기 마을의 인구가 늘어난다며 오히려 적분귀신을 환영할 뿐이었다. 할 수 없이 자연수마을은 자신들을 쓸어버렸던 미분귀신에게 도움을 청할 수 밖에 없었다. 하지만 너무 위험한 관계로 자연수들은 모두 꽁꽁 숨어있기로 했다. 마을 광장에서 마주친 적분귀신과 미분귀신. 적분귀신 "문제를 내어 이기는 쪽이 사라지도록 하자" 미분귀신 "좋다(흐흐.. 내겐 편미분이라는 무기가..-_-+)" 그.러.나... 적분귀신이 문제로 제시한 것은 무한다변수 다항식 lim a1*a2*....*an 이 었다. n->∽ 아무리 편미분을 해 봐도 끊임없이 쏟아지는 변수들.. 미분귀신 "포기다.. 너의 솜씨를 보여다오..-_-;;" 적분귀신 "가소로운 것.. 에잇!" 눈앞의 무한다변수다항식이 흔적도 없이 소멸되어버리는 것이 아닌가... 미분귀신 "어.. 어떻게?-_-;;;" 적분귀신 "......." 그렇다... 적분귀신은 다항식을 0에서 0까지 정적분해 버렸던 것이다...-_-;; 적분귀신은 정말 대단했다. 승승장구를 치던 적분귀신에게 대적할만한 상대가 자연수 마을에서는 더이상 존재하지 않았다. 여지없이 무너진 미분귀신은 함께 힘을 합하여 적분귀신을 물리칠 동업자를 찾아 나섰다. 정수마을, 유리수마을, 실수마을, 심지어 그 복잡하다는 복소수(complex number)마을까지... 그러나 미분귀신은 더이상 동업자를 찾을 수 없는듯 했다. "수의 마을에서는 도저히 찾을 수 없는것인가?..." 자포자기한 미분귀신 앞에 펼쳐진 광경은 정말 놀라운 광경이었다. 실수 및 복소수 마을에서 연속(continuous)인 함수들이 어떤 놈에게 여지없이 터져서는 산산조각이 나는 것이었다. "저놈이닷!" 미분귀신이 외쳤다. 자세히 보니 그놈은 델타함수(delta function)였다. 연속함수들을 sampling을 통해 이산(discrete)함수로 만들고 있었던 것이다. 며칠 후... 자연수 마을로 돌아온 미분귀신은 델타함수를 적분귀신 앞에 내놓았다. 적분귀신은 자신의 비장의 무기인 0에서 0까지 정적분을 사용했다. 그러나 델타함수는 사라지지 않고 1을 남겼다. 델타함수는 정말 대단했다. 특이하게도 0(-0)에서 0(+0)까지 정적분을 하면 1이되는 것이었다. 순간 당황한 적분귀신은 정신을 가다듬고 다시 0에서 0까지 정적분을 시도했다. 그러자 1이 사라졌다. 이때 나선 미분귀신은 델타함수를 무한번 미분해주기 시작했다. 적분귀신이 아무리 아무리 0에서 0까지 정적분을 시도해도 미분을 통해 계속 델타함수의 변종들이 나타나는 것이었다. 적분귀신은 드디어 두손두발, 아니 두 인티그랄(integral)을 다 들고 말았다. 미분귀신과 델타함수의 연합전선은 정말 대단했다. 그러나 잠시잠깐 그들이 한눈을 판 사이에 그들은 사라지고 말았다. "무슨일이지...?" 적분귀신이 고개를 들었다. ... .. ... 그 거대한 몸짓. 그는 말 한마디로 모든 것을 사라지게 할 수 있는 거의 신적인 존재였다. 그는 바로 '정의(definition)귀신'이었다. 미분귀신과 델타함수가 열심히 ally를 해도 마지막에 정의귀신이 "= 0" 한마디면 끝나는 것이었다. 과연 정의귀신을 대적할 자가 이세상에 존재할런지..... 미분귀신3 .. 바야흐로 중원의 미분 귀신과 적분 귀신에 의한 전국 시대는 정의 귀신이라는 새로운 귀신의 등장으로 인하여 새로운 국면에 접어들게 되었다. 정의 귀신의 활약은 대단했다. 정의 귀신이 지나간 자리는 모두 0으로 황폐화 되고, 모든 마을 사람은 정의 귀신이 나타났다는 소문만 나도 무서워서 꼼짝을 못하게 되었다. 그러던 어느날, 정의 귀신은 한 작은 마을을 지나게 된다. 정확하게 말하자면, 그 마을의 규모를 파악할 수 없었지만, 겉보기에는 별 것 아닌 듯하게 보이는 마을이었다. 하지만.. 문제는.. 마을 사람들이 정의 귀신이 마을에 도착했는데도 별다른 반응이 없었던 것이다. -_-;; 그동안 모든 사람들에게 공포의 대상이었던 자신이 이렇게 무시당하는 것에 정의 귀신은 황당함 이전에 분노가 끓어 올랐다. 마침 굉장히 어리버리해 보이는 한 꼬마가 눈에 띄였다. 정의 귀신은 자신의 힘을 과시하겠다는 듯, "= 0" 을 외쳤다. 그러나 그 어리버리해 보이는 꼬마는 눈 깜짝 하지 않고, 대뜸 이렇게 반문하는 것이었다. "아저씨, 그건 95%의 신뢰 구간에서는 채택될 지 몰라도 저는 유의수준이거든요. 딴 데 가서 알아봐요." 정의 귀신으로서는 알 수 없는 방어였지만, 굉장히 자존심이 상했다. 무슨 공격을 해도 공격 자체에 대한 집합을 기각해 버리는 그 꼬마한테는 먹혀들지 않는 것이었다. 화가난 정의 귀신은 옆에서 미소를 짓고 있는 청년에게 화풀이성 공격을 하였다. 하지만, 그 청년은 정의 귀신이 공격할 때마다 계속해서 실수(real number)를 만들어내는 것이 아닌가? 정의 귀신은 이해할 수 없었다. 왜 사라지기는 커녕 계속해서 실수를 만들어내는 것인가? 정의 귀신은 그 청년에게 도대체 정체가 무엇이며, 여기는 어디인가를 묻지 않을 수가 없었다. 청년은 대답했다. "저는 확률 함수(probability function)라고 합니다. 당신이 어떠한 정의를 내리건 간에 그에 따른 확률을 계산합니다." "이럴수가.. -_-;;;" "이 마을은 '확률과 통계'라는 연합 마을입니다. 이 마을 사람들은 당신과 같이 정의내리기 좋아하는 족속들에게 진실을 알려주지요." "그렇군. 그래서 나의 공격이 전혀 먹혀들지 않았던 것이군. 한 가지만 더 묻겠다. 왜 그런 힘을 지니고 있으면서도 세상을 지배하려 하지 않는 것이지?" "저희가 가진 힘은 시계열(time series)이란 마을 사람들이 가진 힘에 비교하면 아무 것도 아니기 때문입니다. 그 마을 사람들은 미래를 예언하고, 또한 원하는 미래를 실현시키는 무서운 능력을 갖고 있지요. 시계열 마을 뿐 만이 아닙니다. 저 길로 계속 가면 또 어떤 마을이 있는지는 시계열 마을 사람들도 극소수만이 알고 있습니다. 소문에는 넓이는 유한한데 둘레는 무한해서 그 형체를 알 수 없는 프랙탈(fractal)이라는 마을이 제일 가까이 있다고 합니다." "..." 역시 세상은 넓다고 했던가.. 정의 귀신은 자신의 나약함과 어리석음을 깨닫고 중원을 떠나고야 만다.

(혹시 모르시는 분들 계실까봐 올려드려요. 3탄도 나왔네요. 마립간님, 초면에 너무 긴 코멘트를 올려서 죄송합니다. 뭐 지우시거나 링크로 바꾸셔도 괜찮아요. *^^*)

옛날에 아주 아름답고 평온한 마을이 있었다.

즉 natural number village(?)였다.

그 마을의 이름은 자연수 마을.

그런데 어느날 마을에 미분 귀신이 나타났다.

미분 귀신은 마을 사람들을 하나씩 미분시켜서 모조리 0으로 만들었다.

마을은 점점 황폐해가고 이를 보다 못한 촌장과 동네사람들이 반상회를 개최하였다.

몇 시간의 토론 끝에 이웃에 있는 방정식 마을에 구원을 요청하기로 하였다.

이웃마을의 소식을 들은 마을에서는 x^2(엑스제곱)장군을 자연수 마을에

급파하였다.

전투시에 수시로 자신의 모습을 바꾸는 x^2장군 앞에서 잠시 당황한 미분귀신...

그러나 미분귀신은 잠시 생각하더니 3번의 미분을 통해서 간단히 해치우고 말았다.

그러자 방정식 마을에서는 x^3(엑스세제곱) 장군을 급파하였다.

그러나 그 역시 미분 귀신의 적수가 되기엔 역부족이었다.

단 4번의 미분에 그만작살이 나고야 말았다.

당황한 방정식 마을에서는 x^n(엑스엔제곱) 참모총장마저 보내는 초강수를

택하였으나

그 역시 n+1 번의 미분 앞에서 힘없이 무너지고 말았다.

이제 아무도 미분 귀신의 적수가 될 수 없으리라 생각했으나....

방정식 나라에는 마지막 희망 sinx,cosx 두장군이 있었다.

좌 sinx, 우 cosx 장군이 미분 귀신과 전투를 시작하였다.

미분 귀신은 적잖이 당황하지 않을 수 없었다.

아무리 미분을 하여도 서로 모습만 바꿔가며 계속 덤비는 sinx, cosx 장군 앞에서

더 이상 싸울 힘이 없었다.

그러나 그 순간 미분 귀신은 꾀를 내었다.

그리고 cosx 장군을 미분시켜 sinx장군에게 던져버린 것이다.

마지막 희망이었던 두 장군은 서로 부디쳐서 그만 자폭하고 말았다.

일이 이쯤 되자 방정식 마을에서는 용병을 구하느라 난리가 일고 있었다.

그런데 전설적인 용병이 등장하였다.

그의 이름은 바로 exponential 검신이었다.

그가 가진 e^x (이의엑스제곱) 라는 무기는 미분 귀신이 수백번의 미분을 해도

전혀 손상되지 않았기 때문이다.

미분귀신은 당황하기 시작하였다.

이제 승리는 exponential의 것처럼 보였다.

하지만 끝내 그마저 미분 귀신에게 패하고 말았다.

글쎄....

그 미분귀신이...

y 로 편미분을 해버리고 말았던 것이다...

미분귀신2

미분귀신이 마을을 쓸어버리고 난 뒤, 자연수마을에 다시 찾아온 재앙이 있었으니..
그것이 바로 적분귀신이었다.
적분귀신은 자연수들을 적분해 쓸데없이 덩치를 키워버리는가 하면,
출처가 불분명한 c(적분상수)라는 것들을 대량으로 만들어내었고,
심지어는 x로 적분한뒤 다시 y로 적분해 xy라는 악질 돌연변이까지 만들어 내는
것이었다.
자연수마을은 다항식마을에 도움을 청했지만, 다항식 마을은 자기 마을의 인구가
늘어난다며
오히려 적분귀신을 환영할 뿐이었다.
할 수 없이 자연수마을은 자신들을 쓸어버렸던 미분귀신에게 도움을 청할 수 밖에
없었다.
하지만 너무 위험한 관계로 자연수들은 모두 꽁꽁 숨어있기로 했다.
마을 광장에서 마주친 적분귀신과 미분귀신. 적분귀신 "문제를 내어 이기는 쪽이
사라지도록 하자"
미분귀신 "좋다(흐흐.. 내겐 편미분이라는 무기가..-_-+)"

그.러.나...

적분귀신이 문제로 제시한 것은 무한다변수 다항식
lim a1*a2*....*an 이 었다.
n->∽

아무리 편미분을 해 봐도 끊임없이 쏟아지는 변수들..

미분귀신 "포기다.. 너의 솜씨를 보여다오..-_-;;"

적분귀신 "가소로운 것.. 에잇!"

눈앞의 무한다변수다항식이 흔적도 없이 소멸되어버리는 것이 아닌가...
미분귀신 "어.. 어떻게?-_-;;;"
적분귀신 "......."
그렇다...
적분귀신은 다항식을 0에서 0까지 정적분해 버렸던 것이다...-_-;;

적분귀신은 정말 대단했다.
승승장구를 치던 적분귀신에게 대적할만한 상대가
자연수 마을에서는 더이상 존재하지 않았다.
여지없이 무너진 미분귀신은 함께 힘을 합하여
적분귀신을 물리칠 동업자를 찾아 나섰다.

정수마을, 유리수마을, 실수마을, 심지어
그 복잡하다는 복소수(complex number)마을까지...
그러나 미분귀신은 더이상 동업자를 찾을 수 없는듯 했다.

"수의 마을에서는 도저히 찾을 수 없는것인가?..."
자포자기한 미분귀신 앞에 펼쳐진 광경은
정말 놀라운 광경이었다.
실수 및 복소수 마을에서 연속(continuous)인 함수들이
어떤 놈에게 여지없이 터져서는 산산조각이 나는 것이었다.
"저놈이닷!" 미분귀신이 외쳤다.
자세히 보니 그놈은 델타함수(delta function)였다.
연속함수들을 sampling을 통해
이산(discrete)함수로 만들고 있었던 것이다.

며칠 후...
자연수 마을로 돌아온 미분귀신은
델타함수를 적분귀신 앞에 내놓았다.
적분귀신은 자신의 비장의 무기인
0에서 0까지 정적분을 사용했다.
그러나 델타함수는 사라지지 않고 1을 남겼다.
델타함수는 정말 대단했다.
특이하게도 0(-0)에서 0(+0)까지 정적분을 하면 1이되는 것이었다.
순간 당황한 적분귀신은 정신을 가다듬고

다시 0에서 0까지 정적분을 시도했다.
그러자 1이 사라졌다.
이때 나선 미분귀신은 델타함수를 무한번 미분해주기 시작했다.
적분귀신이 아무리 아무리 0에서 0까지 정적분을 시도해도
미분을 통해 계속 델타함수의 변종들이 나타나는 것이었다.
적분귀신은 드디어 두손두발,
아니 두 인티그랄(integral)을 다 들고 말았다.
미분귀신과 델타함수의 연합전선은 정말 대단했다.
그러나 잠시잠깐 그들이 한눈을 판 사이에 그들은 사라지고 말았다.
"무슨일이지...?" 적분귀신이 고개를 들었다.
...

..
...
그 거대한 몸짓.
그는 말 한마디로 모든 것을 사라지게 할 수 있는 거의 신적인 존재였다.
그는 바로
'정의(definition)귀신'이었다.
미분귀신과 델타함수가 열심히 ally를 해도
마지막에 정의귀신이 "= 0" 한마디면 끝나는 것이었다.
과연 정의귀신을 대적할 자가 이세상에 존재할런지.....

미분귀신3

.. 바야흐로 중원의 미분 귀신과 적분 귀신에 의한 전국 시대는
정의 귀신이라는 새로운 귀신의 등장으로 인하여 새로운 국면에 접어들게 되었다.
정의 귀신의 활약은 대단했다.
정의 귀신이 지나간 자리는 모두 0으로 황폐화 되고,
모든 마을 사람은 정의 귀신이 나타났다는 소문만 나도 무서워서 꼼짝을 못하게
되었다.
그러던 어느날, 정의 귀신은 한 작은 마을을 지나게 된다.
정확하게 말하자면, 그 마을의 규모를 파악할 수 없었지만, 겉보기에는 별 것 아닌
듯하게 보이는 마을이었다.
하지만.. 문제는..
마을 사람들이 정의 귀신이 마을에 도착했는데도 별다른 반응이 없었던 것이다.
-_-;;
그동안 모든 사람들에게 공포의 대상이었던 자신이
이렇게 무시당하는 것에 정의 귀신은 황당함 이전에 분노가 끓어 올랐다.
마침 굉장히 어리버리해 보이는 한 꼬마가 눈에 띄였다.
정의 귀신은 자신의 힘을 과시하겠다는 듯,
"= 0"
을 외쳤다. 그러나 그 어리버리해 보이는 꼬마는 눈 깜짝 하지 않고, 대뜸 이렇게
반문하는 것이었다.
"아저씨, 그건 95%의 신뢰 구간에서는 채택될 지 몰라도 저는 유의수준이거든요.

딴 데 가서 알아봐요."
정의 귀신으로서는 알 수 없는 방어였지만, 굉장히 자존심이 상했다.
무슨 공격을 해도 공격 자체에 대한 집합을 기각해 버리는 그 꼬마한테는 먹혀들지
않는 것이었다.
화가난 정의 귀신은 옆에서 미소를 짓고 있는 청년에게 화풀이성 공격을 하였다.
하지만, 그 청년은 정의 귀신이 공격할 때마다 계속해서 실수(real number)를
만들어내는 것이 아닌가?
정의 귀신은 이해할 수 없었다.

왜 사라지기는 커녕 계속해서 실수를 만들어내는 것인가?
정의 귀신은 그 청년에게 도대체 정체가 무엇이며, 여기는 어디인가를 묻지 않을
수가 없었다.
청년은 대답했다.
"저는 확률 함수(probability function)라고 합니다. 당신이 어떠한 정의를 내리건
간에 그에 따른 확률을 계산합니다."
"이럴수가.. -_-;;;"
"이 마을은 '확률과 통계'라는 연합 마을입니다.
이 마을 사람들은 당신과 같이 정의내리기 좋아하는 족속들에게 진실을
알려주지요."
"그렇군. 그래서 나의 공격이 전혀 먹혀들지 않았던 것이군.
한 가지만 더 묻겠다. 왜 그런 힘을 지니고 있으면서도 세상을 지배하려 하지 않는
것이지?"

"저희가 가진 힘은 시계열(time series)이란 마을 사람들이 가진 힘에 비교하면
아무 것도 아니기 때문입니다.
그 마을 사람들은 미래를 예언하고, 또한 원하는 미래를 실현시키는 무서운 능력을
갖고 있지요.
시계열 마을 뿐 만이 아닙니다. 저 길로 계속 가면 또 어떤 마을이 있는지는
시계열 마을 사람들도 극소수만이 알고 있습니다.
소문에는 넓이는 유한한데 둘레는 무한해서 그 형체를 알 수 없는
프랙탈(fractal)이라는 마을이 제일 가까이 있다고 합니다."

"..."

역시 세상은 넓다고 했던가..
정의 귀신은 자신의 나약함과 어리석음을 깨닫고 중원을 떠나고야 만다.

내가 사귀는 이들, 翰林山房에서

π(pi) 와 eｌ수학 그리고

마립간 () l 2004-08-01 19:17

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