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대칭 - 자연의 패턴 속으로 떠나는 여행 승산의 대칭 시리즈 4
마커스 드 사토이 지음, 안기연 옮김 / 승산 / 2011년 1월
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영화 <바흐 이전의 침묵>에는 바흐의 음악을 연주하는 (말그대로 사람없이 혼자 연주하는) 자동피아노가 나온다. 그 자동피아노는 긴 두루마리에 일련의 천공(穿孔)을 가진 악보로 연주되는데, 바흐의 음악도 음악이지만, 그 악보의 아름다움에 감탄하였다. 흰종이에 구멍이 뚫려 있을 뿐인데, 그 구멍들의 놀라운 대칭적인 배열이란. 이 책 <대칭>을 보면서 그것이 우연이 아님을 알았다. 바흐의 음악에서 수학적인 대칭은 어떻게 활용되는가. 이 책 <대칭>은 그 대칭의 세계를 수학적인 이야기를 중심으로 차분히 들려준다.

우리가 수학을 어려워하는 이유는 수학의 세계는 일종의 단계로 이루어져 있기 때문이다. 대체로 집합과 명제로부터 시작하는 고등학교 수학 과정은 그렇게 짜여진 필연적인 이유가 있다. 수학에서는 전 단계를 모르고서는 다음의 단계로 넘어갈 수가 없다. 예를 들어 인수분해를 이해하지 못하면, 그 다음의 이차방정식으로 나아갈 수 없다. 점핑은 거의 허용되지 않는다(아주 일부의 천재에게는 허용된다). 갑자기 책의 중간을 펴서 그것을 이해하기란 거의 불가능에 가깝다. 그러므로 수학의 세계에서는 당연히 낙오자들이 생긴다. 많은 학생들이 (그렇게 해서는 안되는 것을 알지만) 어느 순간 수학의 끈을 놓아버린다. 수학은 일종의 마라톤 랠리와 같다. 가장 기본적이고 정석적인 인내심을 요구한다. 수학은 지름길을 보여주지도 않고, 중간에 자동차를 타고 다음의 코스로 이동하는 것을 허락하지도 않는다. 마지막 완주의 환호를 느끼기 위해서는 어떻게든 뛰는 수밖에 없다.

이 책의 논의를 보면서도 그런 인상을 받았다. 처음 가장 기본적인 회전 대칭과 반사 대칭에 대한 이야기에서 시작해서, 알람브라 궁전의 17개의 서로 다른 대칭을 거쳐, 고차방정식의 해들과 그 속에 담겨진 대칭들, 거의 관계가 없어 보이는 대수들과 기하와의 환상적인 연결을 지나, 마침내 가장 근본적인 대칭의 언어인 군(group)으로 대칭을 말하고, 그 대칭의 지도에 셀 수도 없는 큰 대칭을 가진 몬스터 대칭을 그려넣기까지의 여정은 일종의 작은 마라톤 게임을 닮았다. 그러나 오해는 마시라. 이 마라톤은 별로 학생들에게 신경을 쓰지 않는 수학 선생님의 인솔 하에 몇 명이 낙오되어도 상관없이, 그저 앞만 보고 나아가는 그런 서바이벌 마라톤 게임은 아니다. 저자 마커스 드 사토이는 때로 잠깐 앉아서 휴식을 할 것을 권하기도 하고, 뛰는 것에 집중하기 보다는, 주위의 풍경에 집중하게 하면서 독자들을 마지막 도착점까지 끝까지 데리고 간다. 아니, 아예 뛰고 싶지 않은 독자는 뛰지 않아도 된다. 중간중간 뛰어야만 하는 부분들을 건너 뛰고도, 즉 천천히 걸으면서 주위 풍경만 둘러보아도 볼 것은 아주 많다. 그 속에는 그간 힘든 여정에 기꺼이 뛰어들어, 자신의 모든 것을 다 바친 수학자들의 드라마가 있고, 수학적 논의보다 기차시간표에 열광하고, 술의 도수에서도 소수를 찾는 유머가 있고, 바흐의 음악이 있고, 에셔의 그림이 있다. 밑의 인용문이 암시하는 것처럼, 이 책에서 몇 가지 부분을 이해하지 못한다 해도, 다른 부분이 뒤얽혀 있기 때문에, 이 책 전체의 재미를 무너뜨리지 못한다. 

   
  현재로서는 설사 그 논문에 어떤 오류나 결함이 남아 있더라도 그리 치명적이지는 않으리라는 생각이 일반적이다. 스미스는 '증명의 신뢰성은, 증명의 많은 부분들이 극도로 병렬적으로 연결되어 있다는 점에서 나온다. 추리 소설 같은 것에서 논리적 결함이 나오면 작품의 전체 구조가 완전히 망가지는 일과는 다른 문제다.'라고 믿는 사람이었다. 다시 말해서, 이 증명은 수많은 실들로 뒤얽혀 있기 때문에 그중 하나를 뽑아낸다 해서 전체를 무너뜨리지 못한다. (p. 433)
 
   

 

인용한 문장에서 말하는 그 논문이란, '아틀라스'라고 불리는 대칭군들을 기록한 거대한 지도가 이제 완결된 것임을 말하는 논문을 말한다. 수학자들은 오랜 세월 동안 이 지도에 새로운 대칭군들을 추가하기 위하여 애썼다. 그리고 새로운 대칭군이 발견되면, 거기에 자신의 이름을 붙이고, 지도에 기록하였다. 그렇다. 이것은 발명이 아니라, 발견이다. 이는 마치 새로운 별을 발견하는 것과 닮았다. 사람들은 새로운 별을 발견하고는 거기에 자신의 이름을 붙이고, 거대한 별의 지도에 그것을 추가하였다. 별은 거기에 이미 있었다. 그리고 마찬가지로 대칭군도 거기에 이미 있었다. 수학자들이 새로운 아이디어와 지루한 계산들로 그것을 끄집어내기 전까지 그저 묻혀 있었을 따름이다. 그리고 수학자들은 그 지도에 이제 새롭게 더 추가할 대칭군이 없음을 밝히려 한다. 그러나 이 책 <대칭>의 마지막 한 장까지 이 논의는 완결되지 않는다. 그럴 가능성은 거의 없지만, 언제 어디서 새로운 군이 추가될 가능성은 남아 있다. 더 추가될 수 없음을 증명한 논문에 오류가 들어있는지도 모른다. 가능성은 남아 있다. 어느 순간 우주의 반대편에서 외계인이 날아올 가능성이 남아 있는 것처럼 말이다.

그러므로 개인적으로 이 책에 가장 인상을 받은 순간은, 대칭을 둘러싼 전체적인 논의보다도, 수학을 대하는 저자의 태도이다. 대칭군을 분류하는 것이 이제 거의 끝났음을, 그 분류의 지도(아틀라스)에 더 이상 기록할 것이 남아있지 않다는 것을 전제로 하면서도, 일말의 가능성을 남겨놓는 앞의 태도도 그러하지만, 저자 마커스 드 사토이의 자신의 연구를 대하는 태도도 그렇다. 대칭의 한 부분을 파고드는 저자의 연구는 아직 해결되지 않은 난점이 있다. 저자는 그것을 해결하기 위해 여러가지 노력을 하지만, 그는 그 난점을 인정하고, 그대로 그 연구를 발표하려 한다. 저자가 말했듯이 모든 수학자들은 자신이 퍼즐의 마지막 조각을 놓는 사람이기를 바란다. 그러나 그 영광은 아주 극소수의 수학자들에게만 주어진다. 이 책에서 보여지는 갈루아와 아벨 등의 많은 수학자들의 드라마에서 말해지듯이, 한 사람의 연구자는 자신의 연구가 일종의 완결을 이루기를 꿈꾸지만, 그것은 완결로 가는 하나의 여정일 뿐이다. 아니, 어떤 의미에서는 하나의 새로운 시작에 가깝다. 완벽함이란 불가능하다. 어떤 증명은, 그 증명 자체로는 완벽할 수 있어도, 수학이라는 거대한 지도의 아주 일부분일 뿐이다. 그 완벽한 모습을 드러내는 것은 아직 현재 진행형이다. 

그러므로 여기에 어떤 흥미로운 점이 있다. 이 책 <대칭>은 완벽한 대칭을 이루는 것들을 이야기하면서도 그 곳에는 완벽하지 않은, 아니 결코 완벽해질 수 없는 것들이 숨어 있다. 이것은 무엇을 말하는 것일까. 이 책에 나오는 이야기를 조금 인용하자면, 페르시아의 직공은 완벽한 대칭 문양을 가진 직물을 만들면서도 한 부분을 무너뜨려 그것이 완벽해지지 않도록 했다. 일본의 건축가들은 대칭된 건물을 축조하면서도, 한 곳은 미완성의 상태로 남겨두었다. 완벽함으로 신의 노여움을 사고 싶지 않았기 때문이다. 완전한 대칭은 도리어 공포의 대상이 된다. 바이러스는 완전한 대칭의 모양을 가진다. 그것이 에너지를 최소화시켜 바이러스를 안정적으로 만들기 때문이다. 나는 개인적으로 이 부분을 읽으며, 영화 <올드보이>를 생각했다. 꼭 그것 때문만은 아니지만, 오대수가 갇혀 있던 방의 벽지에는 대칭적인 문양들이 수놓아져 있었고, 비밀이 밝혀지는 마법의 상자에도 대칭적인 문양이 있었다. 그것은 사람을 미치게 한다. 인간은 완벽한 대칭을 꿈꾸지만, 완벽한 대칭은 도리어 사람을 불안하고, 무섭게 만든다. 대칭의 요소를 담으면서도, 일종의 창의적 변형을 남겨두었던 바흐의 음악은 아름답지만, 완벽한 대칭을 가진 쇤베르크의 무조음악은 듣기에 거북한 면이 있다. 그래서 영화 <블랙스완>에서 완벽한 공연을 만들기 위해 니나(나탈리 포트만)는 변형과 결여를 실행한다.

그래서 아마도, 완벽한 대칭을 이야기하는 것처럼 보이는 이 책 <대칭>은 완벽함을 끝내 이야기하지 않고, 일종의 미스테리를 남겨둔 채로 이야기를 끝맺음한 것은 아닐까. 이 책은 1장에서 12장이라는 12면체의 구조로 목차가 이루어져 있지만, 1월에서 12월로 이야기를 끌고 가는 것이 아니라, 8월에서 시작하여, 다음해 7월에 끝난다. 그러므로 그것은 (한해로서) 완결되지 않고, 다음의 8월 이후의 이야기를 남겨놓고 있다. 물론 농담이다.

 

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맥거핀 2011-03-29 23:26   좋아요 0 | 댓글달기 | URL
사전 양해는 구했지만, 그래도 늦으니 양심에 찔리는군요.;; 그건 그렇고, 이 책을 읽고나서 에셔에 관심이 생겼는데, 혹시 [M.C.에셔, 무한의 공간]이라는 책, 저에게 넘기실 분 없나요? 출판사에까지 전화를 걸어보았는데, 완전히 절판이고, 더 책을 찍을 계획도 없다는 절망적인 답변이..

교고쿠도 2011-03-30 12:10   좋아요 0 | URL
<에셔, 무한의 공간> 저 작년에 어렵게 구했는데...이제는 출판사에도 없나봐요. 근데 영문판, 일본어판은 아직 구입할 수 있는거 같아요. ^^그리고 번역이 별로긴 하지만, 까치글방에서 나온 호프스태터의 <괴델, 에셔, 바흐> 역시 꽤 흥미롭습니다.
저도 아직 <대칭> 리뷰 못 썼는데, 악!! 대체 이런 무시무시한 수학책을 누가 선정한거임!!!괴로워하는 중입니다 ㅜ.ㅜ
확실히 맥거핀님의 리뷰는, 저의 저질 리뷰와는 차원이 다릅니다, 흑. 역시 열심히 내공을 갈고닦아야 할 필요를 느낍니다.

cyrus 2011-03-30 13:44   좋아요 0 | URL
헉,, 저도 그 책 구하고 싶었는데,, 절판이군요,, ㅠ_ㅠ
교고쿠도님이 소개한 호프스태터의 책을 기회가 있으면 읽어봐야겠습니다,

맥거핀 2011-03-30 18:04   좋아요 0 | URL
교고쿠도님 좋은 정보 감사합니다. 어차피 그림 보는게 목적이었으니 일본어판이나 영문판이라도 구해봐야할까봐요. (그래도 일본어는 아예 독해를 못하니, 영문판이 낫겠네요.) 출판사에 전화를 해보았더니 이런 전화 너무 많이 받았다는 투로 능숙하게 절판임을 알려주셔서, 절망하던 참이었습니다.
에셔에 대한 검색어를 넣어보니, 그 책하고, 말씀하신 <괴델, 에셔, 바흐>가 나오더라구요. 이 책은 아무래도 그림보다는 분석이 위주가 된 것 같아서 좀 어려울 것 같지만, 도전해서 읽어보려고요.^^
교고쿠도님의 악!!소리를 들으니, 저 역시 이 선정에 일조(?)한 사람으로서, 양심의 가책이 느껴지네요. 뭐 그래도 잘 리뷰 쓰시리라고 믿어 의심치 않습니다. 그래도 생각보다는 재미있지 않았나요..;;

교고쿠도 2011-03-30 18:57   좋아요 0 | URL
다시 검색해보니까...<에셔, 무한의 공간>의 영문판은 http://foreign.aladin.co.kr/shop/wproduct.aspx?ISBN=0810924145 인 것 같고 일본어판은 <無限を求めて―エッシャ-、自作を語る> http://foreign.aladin.co.kr/shop/wproduct.aspx?ISBN=4022596023 인듯해요.
맥거핀님이 대칭 선정하셨군요. herenow님과 더불어 과학화의 원흉(?)일지도...으핫

맥거핀 2011-03-30 23:07   좋아요 0 | URL
아니..이렇게 검색까지 해주시니 정말 감사합니다. 제 검색능력보다 한수 위시네요..; 외국판은 또 어디서사나..생각하고 있었거든요. 책선정에 따른 양심의 가책에 무게가 더해졌네요. 아무튼 정말 감사드립니다. 잘 찾아서 볼께요.^^

반딧불이 2011-03-30 00:25   좋아요 0 | 댓글달기 | URL
전혀 무관심 했던 대칭에 대한 책을 읽고나니까 도수 잘 맞는 안경을 낀 것처럼 보이는게 많아졌어요. 맥거핀님의 리뷰 읽으면 늘 재정리 하는 기분이 들어요. 고맙습니다.

맥거핀 2011-03-30 18:07   좋아요 0 | URL
네..저도 이 책을 읽고 난 후에 대칭에 대한 관심이 좀 생겨서 화장실의 타일문양도 괜히 유심히 들여다보고는 했습니다. 이거에는 몇 가지의 대칭이 있을까 하구요. 암튼 대칭이라는 것이 그렇게 여러 의미가 있는 줄 몰랐어요. 아주 재미있었습니다.
리뷰에 대해서 좋은 말씀 해주셔서 감사합니다.^^

네오 2011-03-30 08:22   좋아요 0 | 댓글달기 | URL
아~ 대칭이라~ 그런데 좋아하는 구절의 인용은 책 읽다가 밑줄치시나봐요? 항상 인용을 잘하시던데 문구도 멋있구요~ 참 잘뽑아내시는 것 같아요 <바흐이전의 침묵>, <올드보이>,<블랙스완>영화도 그렇구요~ 이런건 책을 읽어도 잘 생각하기 어려운 부분인데여~

아참~ 저 인문.사회 서평단의 뽑혔어여^^v(사실 긴가민가 했는데 절 선택하시더리구요ㅋ) 여기글 참조해서 글쓸려구요 ㅋㅋ(사실 여기글 많이 도움받았죠^^)

맥거핀 2011-03-30 18:13   좋아요 0 | URL
제가 책에 대해서는 약간의 결벽증(?)이 있어서, 줄 긋고, 접고 하는 걸 극도로 싫어하는 편입니다. 인용문에 대해서는 사실 읽을 때에는 별 생각을 안하고, 다 읽은 후에 기억나는 문장이나, 괜찮았던 문장들을 한 두개 찾아보고는 합니다.(물론 그래서 어디서 봤는지 생각하느라 고생을 하지요.) 말씀하신 영화들은 최근에 본 영화라, 그저 한번 엮어본 것이구요. 뒤로 넘어지다가 쥐잡은 격이지요..
다만, 예를 들어 저번 도스토예프스끼 리뷰같은 경우에는 책을 읽다보니 좋은 문장이 워낙 많아서 인용을 많이 넣어야겠다라고 의식적으로 생각했고, 중간중간 읽으면서 괜찮은 문장의 쪽수를 휴대폰에 기록해뒀어요. 리뷰에 대한 강박이 있다보니 아무래도 그런 부분이 좀 있네요. 언젠가는 인용으로만 이루어진 리뷰를 써보는게 개인적인 소원입니다.^^;
아..그리고 이번 서평단에 뽑히셨군요. 축하드립니다!! 뭐 평소에도 워낙 글을 잘 쓰시니, 좋은 리뷰 잘 쓰실거예요. (저는 지금 하고 있지만) 서평단을 하신다니, 그래도 부럽네요~ 어떤 책을 추천하실지 기대해봅니다.

꽃도둑 2011-03-30 10:47   좋아요 0 | 댓글달기 | URL
대칭군으로 가기 위해서는 거쳐야 할 관문이 많네요...^^
맥거핀 님은 책에 대한 집중도가 높은 편인것 같아요. 한 권의 책을 제대로 읽어내려면 그래야겠지요. 자기화한 작업이(?) 느껴져요. 저는 이런 리뷰를 좋아하는 경향이 있는 건지... 읽으면서도 기분 좋네요.

맥거핀 2011-03-30 18:17   좋아요 0 | URL
늘 과찬해주셔서, 그저 감사드린다는 말밖에는 할 말이 없네요.
더구나 항상 좋은 글 보여주시는 꽃도둑님의 칭찬이니 감사히 받겠습니다.^^
(근데, 솔직히 아직도 이 책의 많은 부분을 이해하지 못하고 있습니다.;;)
이제 또 한고비(?)를 넘기니 만만치 않은 마지막 책들이 기다리고 있군요. 에고, 받기도 전에 걱정입니다.


cyrus 2011-03-30 13:47   좋아요 0 | 댓글달기 | URL
ㅎㅎ 제가 그 낙오자 중의 1人입니다 ^^;; 다시 수학 공부하라면 못할거 같아요ㅋㅋ
하지만 처음부터 차근차근히 이해하고 제대로 공부한다면,, 좋은 성적 나올거라고
스스로 자기위로해봅니다. ^^;;

맥거핀 2011-03-30 18:21   좋아요 0 | URL
저도 책 중간에 왜 그 행렬 나오잖아요. 근데, 도대체 이 행렬이 의미하는 바가 뭐더라..하고 한참 생각했어요. 그래도 간만에 책을 보면서 수학적 머리를 조금 썼더니 기분이 좋았습니다. 옛날보다는 많이 맛이 갔지만, 아주 가지는 않았구나 하는 생각도 들구요.
사실 저 개인적으로는 고등학교 3년 동안에 배우는 수학의 범위랄까..그런 부분이 너무 많은 것 같아요. 그러니 공식같은 것에만 치우치다가 끝나는 경우도 있구요. 다른 분이 리뷰에서 이 책을 고등학생들에게 읽혀도 괜찮겠다고 썼던데, 제 생각도 이런 책을 읽히는 것도 괜찮을거라 생각이 듭니다. 적어도 정석책보다는 나은 것 같아요.