[오늘의 한문장] 몬스터 대칭군을 찾아서

갈루아는 기약방정식의 근은 무리수이고 또 근의 개수는 방정식의 차수와 같다는 사실을 알고 있었다. 2차방정식은 두 개의 해를 갖고있고 3차방정식은 세 개의 해를 갖고 있다. 이는 가우스가 1815년에 처음으로 증명한 ‘대수학의 기본정리‘ 에 나오는 결과이다. - P49

(전략).
 즉, 두 치환을 연이어 행하여 얻은 세 번째 치환이 다시 그 집합 안에 들어 있어야 한다는 조건이다. 갈루아는 그러한 집합을 군(群, group)이라고 명명했다.  - P51

주어진 방정식에서 얻은 치환군으로 갈루아는 근의 표현 방식이라는 지엽적 문제를 무시할 수 있었다. - P51

갈루아 이론의 핵심은 군을 더 단순한 군들로 분해하는 것이다. 분해 과정을 계속 진행하면 결국에는 더 이상 분해되지 않는 군들에 도달한다. - P52

치환군에서 가장 단순한 부품이 소수 순환군(primecyclic group)이다. - P53

군에서는 순환군이 기본을 이루고 있는데 그 중에서도 가장 기본이 되는 군이 소수 순환군이다. 각각의 소수에 대해 그 p(2.3.5.7 등등)를 크기로 하는 순환군이 유일하게 존재한다. 다수의 군이 소수 순환군으로 분해되지만 개중에 그렇지 않는 군도 있다.¹² - P53

12) Fauvel and Gray, A History of Mathematics, p. 503. - P306

갈루아는 방정식에서 치환군을 얻었는데 이때 핵심이 되는 내용은 그 치환군을 가능한 한 단순한 군으로 분해하는 일이었다. - P54

여기에서 흥미로운 현상을 발견하게 된다. 대수학의 기본정리에 따르면 방정식은 항상 해를 지니고 있다. 루피니와 아벨에 따르면 거듭제곱근으로 해를 나타낼 수 없는 5차방정식이 존재한다. - P54

. 호환을 적절하게 연거푸 시행하면 어떤 치환이라도 얻을 수 있다.* 그런데 특이한 점은 짝수 개수의 호환으로 얻은 치환은 홀수 개수의 호환으로는 얻지 못하며 또 반대로 홀수 개수의 호환으로 얻은 치환은 짝수 개수의 호환으로는 얻지 못한다는 사실이다.


* 탁자 주위에 앉아 있는 사람들을 재배치하는 경우를 생각해보자. B라는 사람이 차지하고 있는 자리에 앉히고 싶은 사람 A를 택한다. 다른 사람들은 그대로 두고 A와 B를 교환한다. A와 B가 잘못된 자리에 앉아 있었지만 이제 A는 올바른 자리에 앉게 되었다. 따라서 올바른 자리에 앉아 있는 사람수는 늘어났다. B가 여전히 잘못된 자리에 앉아 있다면 1만큼 늘어난 것이고 B가 올바른 자리로 왔다면 그 수는 2만큼 늘어난 것이다. 모든 사람이 올바른 자리를 차지할 때까지 호환을 계속해 나간다. 예컨대 여섯 사람이 탁자에 둘러앉아 있다면 어떤 치환이고 최대한 다섯 차례의 호환으로 그 치환을 얻을 수 있다. - P56

짝치환에만 집중하는 이유는 원소가 다섯 개 이상이면 짝치환으로이뤄진 군이 ‘단순‘ 군, 즉 원자 대칭군이기 때문이다. 갈루아 이론에서 5차방정식은 다섯 개의 해를 갖고 있고 또 그런 방정식 가운데 다수의 경우에서 갈루아 치환군이 바로 이 ‘단순‘군을 포함하고 있다. - P58

 원소의 개수가 커지면 짝치환군의 크기는 기하급수적으로 커진다. 더 많은 원소들이 교환됨에 따라 짝치환 군은 더욱 커지고 더욱 복잡해진다. - P59

[오늘의 한문장] 토템과 터부 (천줄읽기)

해설

(전략).
≪토템과 터부≫에서 프로이트는 원시사회의 가족 관계를 분석하면서 오이디푸스 콤플렉스의 중요성을 크게 부각하는 동시에 종교의 가장 원초적인 형태를 토템에서 찾으면서 종교의 윤리, 도덕적인 기원이 터부에 있다고 주장한다. - P8

프로이트는 원시사회에서 같은 종족 안의 근친상간(Inzest)이 금지된 이유는 생물학적 근거가 아니라 사회학적 근거에 있다고 본다. - P8

(전략). 프로이트는 이러한 성적 충동의 원천적 억압을 일컬어 오이디푸스 콤플렉스라고 불렀다. 오이디푸스 콤플렉스는 이미 인간의 문화 · 종교 · 예술 · 정치·사회의 시초에 깊이 뿌리내리고 있는 것이다. 토템은 터부(금기)를 동반한다. - P9

프로이트의 ≪토템과 터부≫는 한편으로는 오이디푸스콤플렉스의 의미를 명백히 밝히면서 다른 한편으로는 종교(특히 기독교)의 근원을 파헤친다. - P10

지은이에 대해

(전략).
프로이트가 죽은 지도 꽤 오래되었고 그동안 뇌 의학을비롯해서 생화학 · 생명공학 등이 눈부시게 발달한 결과, 프로이트의 정신분석학 이론 중 많은 부분이 정당성을 주장하기 어렵게 된 것이 사실이다. 그런데도 인간 정신에 관한학문, 실험 및 치료 등 모두가 인간의 정신적 사고와 불가분적으로 연관되어 있으므로 현대를 살아가는 우리는 어떤 특정한 정신적 문제에 대해서는 프로이트의 정신분석학을 참조하지 않을 수 없다. - P11

토템과 터부


머리말

내가 편집한 잡지 <이마고(Imago)≫에 최초 2년간에 걸쳐서 현재 이 책의 부제목으로 발표되었던 다음의 네 논문들은 민족심리학의 해명되지 못한 문제들에 정신분석학의 관점들과 성과들을 적용하려는 나의 첫 번째 시도에 해당한다. - P17

이 작은 책의 표제가 된 두 가지 주요 주제들인 토템(derTotem)과 터부(das Tabu)는 이 책에서 똑같은 방식으로 다루어지지 않는다. 터부의 분석은 문제를 전적으로 확실하게 논구하는 해결의 시도로서 등장한다. - P18

비록 부정적으로 파악되고 또 다른 내용을 향한다고 할지라도, 터부는 자신의 심리학적 본성에 따라서 강박적으로 작용하려고 하며 모든 의식적인 동기부여를 거부하는 칸트의 ‘정언명법(der kategorischer Imperativ)‘과 다른 것이 아니다.²

2) (옮긴이 주) 칸트는 ≪실천이성비판>에서 인간에게는 보편적인 도덕법칙이 있다고 주장하고 그것을 정언명법이라고 불렀다. 정언명법의 내용은 "타인을 나 자신과 마찬가지로 수단으로 대하지 말고 목적으로 대하라"다. - P19

토템과 터부의 긴밀한 결합 관계는 여기에서 대변되는 가설에 이르는 앞으로의 길들을 제시한다. 
(후략).

1913년 9월, 로마 - P20

1. 근친상간의 공포


(전략). 그러나 그 이외에도 그는 여전히 어떤 의미에서는 우리와 동시대인이다. 우리들이 다음처럼 믿는 사람들이 여전히 살고 있다. 즉 그 사람들은 우리들보다 원시인과 훨씬 더 가까운 거리에 있으며, 그러므로 우리들은 그들 속에서 원시인들의 직계와 대변인을 바라보게 된다. - P21

내적 이유와 마찬가지로 외적 이유에서, 나는 이와 같은비교를 위해 민족학자들이 가장 낙후되고 가장 하찮은 미개인으로 기술한 인종, 곧 가장 새로운 대륙인 오스트레일리아의 원주민을 택한다. - P22

확실히 우리들은 이 비참하고 벌거벗은 식인종들에게서, 그들이 성생활에서 우리 식으로 도덕적일 것이라고, 그리고 그들의 성 충동은 심한 제한을 받는다고 기대하지 않을 것이다. 그렇지만 우리들은 다음과 같은 사실을 경험한다. 즉 그들은 매우 세심하게, 그리고 뼈아플 정도로 엄격하게 근친상간적 성관계를 방지하는 것을 목표로 삼았다 - P23

그런데 무엇이 토템인가? 토템은 보통 먹을 수 있고 해롭지 않은 동물이거나 위험하고 두려운 동물이며, 드물게는 식물이나 혈족 전체가 특별한 관계를 맺고 있는 자연의 힘(비나물)이다. - P23

토템은 모계로 전해지거나 부계로 전해진다. 아마도 어디에서나 모계 전승이 근원적이었을 것이고 나중에 와서야그것은 부계 전승으로 대치되었을 것이다. - P24

토템은 특정한 장소나 지역에 국한되어 있지 않다. - P24

 토템이 통용되는 거의 모든 곳에서는, 동일한 토템에 속하는 구성원들은 서로 성관계를 가져서는 안 되고, 따라서 서로 결혼해서는 안 된다는 법칙도 성립한다. - P26

토템을 바탕으로 삼은 족외혼(Totemexogamie)은 동일한 씨족 구성원들간의 성관계 금지인데, 이것은 집단 근친상간(Gruppeninzest)을 방지하기 위한 적절한 수단으로 보이며 결국 이 수단은 오랫동안 자신의 동기부여를 지속시켰다. - P26

(전략). 그러나 우리들은 토템 족외혼이 어떻게생겼는지는 모르지만 이미 성립되어 있는 신성한 제도, 말하자면 풍습의 인상을 주는 데 비해서, 통혼 구분과 하위 구분, 그리고 이들 두 가지로 연결된 조건에서 생긴 복잡한 제도는 다시 한 번 근친상간을 방지하는 역할을 대신할 수 있게 하기 위한, 명백한 목적의식에서 정해진 것으로 여겨진다. 왜냐하면 토템의 영향이 쇠퇴했기 때문이다. - P29

통혼 구분 제도가 더 발달하면서 자연적 근친상간 및 집단 근친상간을 방지하는 것을 넘어서 꽤 먼 친척 집단과의결혼도 금지시키려는 노력이 나타난다. - P29

그러나 이 민족들의 근친상간의 공포는, 우리가 주로 집단 근친상간에 대항하는 것으로 여겨지는 그러한 제도의 수립을 통해서는 만족스럽게 성립되지 못한다. 우리들은 여기에다 우리들의 의미에서 개별적인 근친상간을 방지하는 일련의 ‘풍습(Sitte)‘을 보태지 않으면 안 된다. - P30

2. 터부와 감정 자극의 양립

터부(Tabu)는 폴리네시아 말인데, 우리들은 이 말이 가리키는 개념을 가지고 있지 않기 때문에 우리가 이 말을 번역하는 것은 쉬운 일이 아니다. - P33

우리들이 보기에 터부의 의미는 서로 상반된 두 방향으로 향한다. - P33

터부에 의한 제한들은 종교적 또는 도덕적 금지와는 다른 어떤 것이다. 터부에 의한 제한들은 신의 계율을 바탕으로 삼지 않고 원래 자기 자신에 의해서 금지된다. - P34

분트는 터부를 일컬어 가장 오래된 인류의 불문 법전(不文法典)이라고 부른다.¹⁰ 터부가 신들보다 더 오래되었고 그것의 기원은 모든 종교에 선행하는 시기로 돌아간다는 것은 일반적으로 받아들여진다.

10) 분트, ≪민족심리학≫ 제2권, ≪신화와 종교≫(1906), 308쪽, - P34

"터부를 위반하는 데 대한 처벌은 원래 내면적으로, 그리고 자동적으로 작용하는 어떤 제도에 맡겨진다. (중략). 나중에 터부와 관계를 맺게 되는 신들과 정령들의 표상이 생기면, 원시인들은 신성한 힘이 자동적으로 처벌하기를 기대했다. (중략). 이렇게 인류 최초의 형벌 제도도 터부와 연관된다." - P37

속죄의식(Sühnezeremonie)을 통해서 터부의 제거를 시도하는 것은 바로 터부의 전이성()에 의해서 동기를 부여받는다. - P38

만일 내가 독자들의 인상을 옳게 평가했다면, 터부에 대한 나의 이와 같은 온갖 설명에도 불구하고 독자들은 이 말을 무엇으로 생각하는지, 그리고 독자들이 그들의 사고에서 터부라는 것을 어디에 가져다 놓을 수 있는지 제대로 알지 못했으리라고 지금 나는 감히 주장한다. - P39

금지가 목표로 삼는 것은 주로 향락 가능성, 이주의 자유 및 교제의 자유를 제한하는 것이다. - P40

그러나 ‘터부‘는 사람뿐만 아니라 이 비밀스러운 특성을나르는 자이면서 이 특성의 원천인 장소와 대상과 임시적인상태 등 모든 것을 말한다. - P41

(전략). 그렇다면 터부에 의한 손상을 피할 수 있었던 민족과 문화 단계는 존재할 수 없었을 것이다. - P42

 본질적으로 죽이고 먹어버리는 것을 금지하는 것에서 성립하는 동물에 대한 터부는 토테미즘의 핵심을 구성한다.¹⁵

15) 이에 관해서는 이 책의 첫 번째 장과 마지막 장을 참조할 것. - P43

그러나 터부의 원래 원천은 특권을 가진 위치에 있는 사람들의 관심보다 더 깊은 곳에 뿌리박고 있다. "터부의 원천은 가장 원시적이며 동시에 가장 지속적인 인간의 충동이자체의 근원을 취하는 곳에서, 곧 악마적 힘의 작용에 대한두려움에서 생긴다."¹⁶

16) 분트의 ≪민족심리학≫ 제2권, <신화와 종교> 307쪽. - P44

이제 우리들은 터부와 강박 신경증의 대비가, 그리고 이대비를 기초로 삼은 터부에 대한 견해가 어떤 가치를 주장할 수 있는지를 알아보고자 한다. - P44

그러나 우리들에게는 또 다른 길도 열려 있다. 우리들은다음과 같은 탐구를 시도할 수 있다. 즉 우리들이 도달한 결론 중 일부가 터부 현상에서 직접 증명 가능하지는 않은가? - P45

만일 우리들이 이제 터부 명령에서 양립, 곧두드러진 상호 대립의 경향을 제시하는 데 성공한다면, 또는 일종의 강박 행동에 따라서 두 가지 흐름에 동시에 해당되는 표현을 발견해 낼 수 있다면, 터부와 강박 신경증 사이의 심리학적 일치는 거의 가장 중요한 부분에서 확실해질 것이다. - P46

(전략). 말하자면 터부는 해당되는 민족들에게 있어서 일반적인 형식의 입법이 되었으며, 확실히 터부 자체보다 늦게 성립된 사회적 경향에 봉사하게 되었다. - P46

a) 적을 다루기

(중략). 즉 미개인이나 반미개인들에게도 인간을 죽이는 일에는 터부의 관습을 포함하는 일련의 명령들이 강제하는 것이 있었다. - P47

b) 지배자의 터부

추장, 왕, 사제에 대한 원시인들의 태도는 서로 모순되기보다는 오히려 보충하는 것으로 여겨지는 두 가지 기본 원리에 의해서 규제된다. 사람들은 그들을 경계하지 않으면 안되며, 또한 사람들은 그들을 보호하지 않으면 안 된다.²²

22) 이 사례들에 대해서는 <황금가지≫ 중 <터부가 된 살인자>, 132쪽 참조. "그는 감시받아야 할 뿐만 아니라 침해당하지 않도록 감시받지 않으면 안된다." - P50

 왜냐하면 지배자는 저 신비스럽고 위험한 마력을 지니고 있는 자이기 때문이다. - P50

c) 죽은 자의 터부


우리들은 죽은 자들이 강력한 지배자들이라는 사실을 알고 있다. (중략).
죽은 자의 터부는, 만일 우리들이 이것을 전염병과 비교할 수 있다면, 대부분의 원시 종족들에게 특히 창궐하고 있었다는 것이 증명된다. - P51

죽은 자의 육신 접촉에 따르는 터부 관습은 폴리네시아와 멜라네시아 전 지역과 아프리카 일부 지역에서 동일하다. 이 터부 관습의 가장 불변하는 부분은 죽은 자와 접촉했던 사람은 스스로 음식을 손으로 만질 수 없기 때문에 필연적으로 다른 사람이 음식을 먹여주어야 한다는 것이다. - P53

그러나 우리의 목적에 대해서 한층 더 흥미로운 것은, 전이된 의미에서 죽은 사람을 접촉한 사람들, 곧 홀아비와 과부같이 죽은 사람을 애도하는 유가족에게도 본질적으로 똑같은 종류의 터부 제한이 부과된다는 점이다. - P54

미개민족에게 가장 이상하면서도 가장 교훈적인 장례의터부 관습 중 하나는 죽은 사람의 이름을 발설해서는 안 된다는 금지다. 이 관습은 매우 널리 퍼져 있으며, 다양하게수행되었고 중요한 결과들을 초래했다. - P56

죽은 자의 터부에 있어서 악령에 대한 무의식적 적개심의 투사(Projektion)는 분명히 미개인들의 정신 형성에 가장 커다란 영향을 미친 일련의 과정들 중 하나에 지나지 않는다. 우리들이 고찰한 경우에서 투사는 감정의 갈등의 해결에 기여한다.  - P58

자신의 악한 충동 자극을 악령에 투사하는 것은, 원시인들의 세계관이 되었으며, 다음 논문에서 우리들이 ‘물론적인 것(das animistische)‘으로 알게 될 어떤 체계의 일부에 지나지 않는다. - P59

. 즉 소위꿈 내용(Trauminhalt)의 ‘2차적 가공‘은 이러한 모든 체계 형성에 대한 원형인 것이다. 우리는 또한 다음의 사실을 잊지 않고 있다. 즉 체계 형성의 단계로부터는 의식에 의해서 판단된 두 종류의 행위, 곧 조직적인 행위와 현실적이지만 무의식적인 행위가 존재한다.²⁷


27) 원시인의 투사에 의한 창조는 시인의 인격화 작업과 유사하다. 시인은 인격화 작업을 통해서 자기 안에서 대립하고 있는 충동자극을 각각의 개인으로드러낸다. - P59

즉 악령의 개념은 대체로 죽은 사람에 대한 중요한 관계에서 얻어진 것이다 - P60

즉 이 가치 양립은 동일한 뿌리로부터 완전히 대립된 두 가지 심리적 구조를 만들어냈는데, 그것들은 한편으로 악령과 귀신에 대한 공포이고 다른 한편으로는 조상 숭배다.²⁹

29) 귀신에 대한 불안으로 괴로워하거나 어린 시절에 귀신에 대한 불안으로 고통을 겪은 신경증 환자의 정신분석에서 흔히 귀신이 부모라는 사실을 밝히는것은 어렵지 않다. 이에 관해서는 헤베를린(P. Haeberlin)의 <성적 유령(Sexualgespenster)>[<성 문제(Sexual-problem)>2월호(1912)]을 참조할것. 이 논문에서 다루어지고 있는 인물에게 성적 유령은 세상을 떠난 아버지가아니라 성적으로 강조된 다른 사람이었다. - P60

만일 우리들이 시간의 변화와 함께 고인에 대한 유족의 관계를 살핀다면, 그 관계에서 감정의 양립이 특히 감소되었다는 것을 잘 알 수 있다. - P61

 강박 자책은 정신분석학에서 오래된 감정양립을 신경증 환자가 가진 비밀을 통해 밝혀준다. - P61

[오늘의 한문장] 마인크래프트 네더와 엔드 가이드

소개

용감한 모험가분, 똑똑한 공예가분 그리고 이 세상을 떠돌아다니는 여러분 환영합니다.
마인크래프트 오버월드 속 잔디 평원과 울퉁불퉁한 산에서 발견된 어떤 것들보다도더 값진 것을 얻을 수 있는 도전을 시작할 준비가 되셨나요?
(중략).
포탈을 통과하기 전에 반드시 이 책을 챙기세요.
그럼 행운을 빕니다!

마시 데이비스(Marsh Davies)
모장(Mojang) 팀 - P5

네더

오버월드의 푸른 언덕과 우거진 숲과는 다르게 네더는 환경이 극적으로 변화합니다. - P9

1. 네더의 지형은 대부분 네더랙으로 이루어져 있습니다. 네더랙에 붙은 불은 영원히 꺼지지 않습니다. - P10

3 네더에서 오버월드의 광석을 찾을수는 없지만, 네더 석영 원석은 쉽게 찾을 수 있습니다. 곡괭이로 네더 석영 원석을 채굴하면 네더 석영뿐만 아니라 경험치도 얻을 수있습니다. - P10

팁

네더의 한 블록은 오버월드의 여덟 블록과 같습니다. 이를 이용해서 네더를 지름길로 사용할 수 있습니다. - P11

알고 있나요?


일부 아이템은 네더에서 작동하지 않습니다. 침대를 설치할 수는 있지만 자려고 하면 폭발 때문에 깜짝 놀랄 것입니다. 지도도 작동하지 않고, 가마솥을 제외하고는어디에도 물을 놓을 수 없습니다. - P11

[오늘의 한문장] 몬스터 대칭군을 찾아서

프롤로그

우리가 알고 있는 양은 많지 않다. 우리가 알지 못하는 양은 광대하다.
-피에르 시몽 리플라스가 남긴 마지막 말


(전략).
예외적인 대칭 대상물 가운데 가장 큰 것은 ‘몬스터(nonster 괴물라고 불렸다.  - P8

그때까지 구체적 모습을 구성해내지는 못했지만 여러 데이터를 면밀히 살펴본 결과, 연구자들은 몬스터가(만일 실제로 존재한다편) 196,883차원에서 그 모습을 드러낸다는 결론을 내리고 있었다. 맥케이는 수론 분야의 논문을 읽고 있다가 196,884라는 수를 보았다.
그는 크게 놀랐다. 수론 분야에 속하는 대상물이 몬스터와 어떤 관련성을 갖고 있다는 것은 어불성설로 보였다.  - P9

콘웨이는 이 연관성을 ‘문샤인(moonshine)‘이라고 이름 붙였다. - P10

대칭의 수학적 연구에서 몬스터로 옮겨가는 과정을 기술하려면 많은 지면이 필요하다. 하지만 그 내용을 몇 마디로 요약하는 것은 가능하다. (중략). 26개의 예외적 대상물 가운데 가장 큰 것이 몬스터이다. - P11

몬스터가 다른 수학 분야와 관련성이 있다는 사실은 심오한 무언가가 존재한다는 점을 보여준다. 하지만 현재로서는 아무도 그 내용을 충분히 이해하지 못하고 있으며 입자물리학과의 관련성도 호기심과 궁금증을 자아내고 있는 형편이다.  - P13

1

테아이테토스의 정이십면체


수학에서 이해라는 것은 없다. 단지 익숙해질 따름이다.
-존 폰 노이만

(전략).
플라톤의 정다면체의 존재성은 단순 모델을 구성하는 방식으로는 확립되지 않는다. 왜냐하면 아무리 그림을 잘 그린다고 해도 그 그림은 불완전하기 때문이다. 테아이테토스가 천착한 문제는, 각각의 면이 정삼각형이나 정사각형, 혹은 정오각형이고 모든 각이 동일하며 모든 모서리가 같은 길이를 갖는 입체 도형을 이론적으로 작도하는것이었다. 이는 대칭에 관한 문제이다. - P15

고도의 대칭성을 지닌 대상물을 찾는 것은 이 책의 후반부에서 다루는 주제이며 플라톤의 정다면체는 항시 염두에 두어야 할 좋은 원형이다.  - P16

(전략). 또한 회전과 거울 대칭을 연이어 적용할 수도 있다. 정육면체에는 많은 개수의 대칭이 존재한다. 과연 몇 개나 될까? - P17

답은 48개이다. 이 48개의 대칭들이 모여 이른바 정육면체의 대칭군이라는 것을 만들어낸다. 회전만으로 얻는 대칭들을 모으면 모두 24개*가 되는데 이들은 부분군을 이룬다.

*회전 대칭이 24개인 이유는 다음과 같다. 정육면체에는 여섯 개의 면이 있고 이 여섯 개는 각기 맨아래에 위치시킬 수 있다. 그리고 밑에 위치한 면을 네 개의 위치로 옮겨가도록 회전시킬 수 있다. 따라서 6×4=24를 얻는다. - P18

19세기에 수학자들은 대칭군을 좀 더 단순한 군들로 분해하는 방법을 찾아냈다. 더 이상 분해되지 않는 군을 ‘원자 대칭군‘ **이라고 부르기로 한다.


** 수학자들은 ‘단순군‘이라는 용어를 사용한다. 하지만 ‘단순‘이라는 말은 오해를 불러일으킬 소지가 있다. 왜냐하면 매우 복잡한 경우도 있기 때문이다. 원자 대칭군이란 더 간단한 군으로 분해되지 않는 군을 의미한다. - P18

대칭을 의미하는 symmetry라는 단어의 두 어근은 그리스어에서나왔다. syn은 ‘함께‘ 라는 뜻이며 metry는 ‘측량‘을 뜻한다. 두 개 이상의 대상물을 함께 측량한다는 개념은 매우 유용한 개념이며 이 주제에 대한 괴테의 생각은 이미 프롤로그에서 언급하였다 - P20

갈루아는 대칭을 이용해 심오한 문제를 해결한 최초의 수학자였으며 이를 통해 새로운 수학 분야의 틀을 만든 사람이다. - P21

2

갈루아-한 천재의 죽음


학생은 모름지기 누더기에 맨발로 학문의 전당에다 불경을 저질러야 한다. 지식을 숭배하려고 온 것이 아니라 지식에 의문을 제기하려고 이곳에 온 것이기 때문이다.
-J. 브로노우스키, 「인간 등정의 발자취」



(전략). 그러나 혁명가로서의 그의 명성은 덧없는 것이었지만 수학자로서의 그는 불멸로 남아 있다. 갈루아 이론과 갈루아 군은 오늘날 수학에서 자주 접하는 주제이다. - P24

한편 그해 가을에 새로 부임한 수학 교사 루이 리샤르(Louis P. É.
Richard)는 갈루아의 뛰어남을 곧바로 간파했다. 그는 갈루아가 아날레드 마테마티크(Annales de Mathématique)」에 독창적인 논문을 제출하도록 격려했고 (중략). 리샤르는 논문초고를 과학원 회원인 코시(Augustin L. Cauchy, 1789~1857)에게 직접 가져갔다. 코시는 거의 예외를 두지 않고 자신의 논문만을 과학원에서 발표했던 수학자였다. (중략). 좀 더 면밀하게 검토하도록 과학원 회원들은 코시에게 집으로 가져가게 했지만 코시는 논문을 분실하고 말았다. - P26

갈루아의 기본 아이디어는 대수방정식의 해에 대한 것이다. - P28

오랫동안 해결되지 않던 문제를 풀거나 새로운 내용을 발견하는 것이 수학 연구의 큰 기쁨이지만 새로 발견한 결과를 비밀로 해두는 경우도 있다. 필요한 세부 사항을 확인하고 나서 발표할 준비가 될 때까지는 다른 사람이 알지 못하게 두려는 까닭이다. 그렇게 하지 않으면 다른 사람이 아이디어를 가져다가 세부 내용만을 덧붙여 자신의 연구성과라고 우길 우려가 있다. - P30

현재의 시점에서 그때를 돌아보면 델 페로, 타르타글리아, 카르다노, 페라리 모두 천재였다고 말할 만하다. 과학사학자인 조지 사턴(George Sarton)이 말하고 있듯이 이 네 사람은 과학사를 통틀어 가장기묘한 집단이었다.⁶ - P32

6) George Sarton, Six Wings: Men of Science in the Renaissance, IndianaUniversity Press, 1957, p. 28. - P306

거의 250년이 지난 뒤에야 라그랑주(Joseph Louis L. 1736~1813)가 「방정식의 대수적 해법에 대한 고찰」이라는 매우 영향력있는 논문을 썼고 이 논문으로 대수학의 새로운 시대가 열렸다. 하지만 5차 이상의 방정식 해법은 어느 누구도 찾아내지 못했다. - P32

가우스는 1799년에 이렇게 썼다. "많은 기하학자들의 연구 성과를 고려할 때일반적 방정식의 해를 대수적으로 얻어낼 희망은 밝지 못하다. 해법은 불가능하며 모순되는 듯 보인다."⁷ - P33

7) Jean-Pierre Tignol, Galois Theory of Algebraic Equations, Englishtranslation, Longman, 1988, p. 274. - P-1

아벨의 논문은 제곱근, 3제곱근, 4제곱근 등의 거듭제곱근으로는그 근을 나타내지 못하는 5차방정식이 존재함을 보였다. 일부 방정식에 대해서는 그런 방법으로 해를 나타낼 수 있지만－예를 들어 2의 해를 얻으려면 2의 5승근을 취하면 된다.－어떤 방정식은 가능하고 또 어떤 방정식은 불가능한지 밝혀내는 것이 문제였다. - P34

한편으로 갈루아는 제출해놓은 두 편의 논문에 대한 답변을 목이빠지게 기다리고 있었다. 코시는 갈루아의 논문을 집으로 가져갔지만 자신의 연구에 정신이 팔려 갈루아의 논문을 제때 살펴보지 못했다. (중략). 갈루아는 논문을다시 써서 마감일인 3월 1일 직전에 제출했다. 푸리에(Jean B. J., Baronde Fourier, 1768~1830)는 갈루아의 논문을 집으로 가져갔다. 그런데 5월15일 푸리에가 세상을 떠나고 말았다. 갈루아의 논문은 행방불명이 되었고 심사 대상에서 제외되었다. - P36

3

무리수 근



탈레스에게 가장 중요한 문제는 우리가 무엇을 아는가가 아니라 어떻게 아는가라는 문제였다.
-아리스토텔레스


갈루아의 연구가 뛰어난 이유는 대담한 아이디어가 내재되어 있다는 점에 있다. - P43

무리수의 존재를 처음으로 깨달은 이들은 피타고라스학파 사람들이다. (중략). 그들은 삼라만상을 정수와 정수의 비로 나타내려고 했다. 하지만 그들은 정사각형에서 대각선과 한 변 사이의 비가 무리수라는 사실을발견하고서 당혹감을 느꼈다. 그 때문에 결속력에 문제가 생겼다. - P47

다크심리학

경계 유지


승리 후가 가장 위험한 순간이다


승자와 타인의 심리전


‘승리‘라는 단어에는 강렬한 쾌감이 뒤따른다. 시험에서일등을 하거나, 경쟁자를 제치고 승진하거나, 원하던 사람과 연애할 때 느끼는 그 달콤함. 문제는 바로 그 순간, 대부분의 사람이 무방비해진다는 것이다. - P265

마키아벨리스트는 숨어 있다가 ‘기회‘를 엿본다. (중략).

나르시시스트는 ‘승자의 자리‘를 탐낸다. (중략).

사이코패스는 ‘공포‘를 이용한다. (중략).


승리 후의 방심은 단순히 개인의 교만 문제가 아니라,
주변에 포진한 ‘은밀한 적‘을 불러 모으는 신호탄이 된다. - P267

승리 뒤의 그림자

우리는 승리를 만끽하면서도, 그 이면에 어떤 그림자가 드리우고 있는지 자주 간과한다. 

(중략).

사람들은 승자에게 무의식적인 질투를 품기도 하고, 한편으로는 ‘저 자리가 내 것‘이라는 욕망을 드러내기도한다. 그렇다면 과연 ‘승리‘란 무엇인가? - P268

다크 심리학을 조금이라도 이해한 사람이라면, ‘승리 후가 가장 위험한 순간‘이라는 격언의 의미를 바로 깨달을것이다. 이것은 단지 겁을 주는 말이 아니다. - P270

패배가 무서운 게 아니다. 진짜 무서운 건 승리에 취해모든 감각을 잃는 것이다. - P271

DARK APHORISM


삶의 무기가 되는
다크 심리 기술



당신이 만약 ‘다크 심리 기술‘을 어설프게 시도한다면, 상대방의 분노를유발하는 등 오히려 역효과를 당할 위험성이 있다. 또한 뒤집어서 생각하면, 이러한 방식으로 당신에게 접근하는 사람을 경계하라.




‘다크 심리학‘은 상대방의 심리를 이용한다는 점에서 ‘심리 조작(PsychologicalManipulation)‘과 일부 중복되지만, 그 접근 방식과 목적은 본질적으로 다르다.
심리 조작은 ‘조종자의 마음대로 상대방을 몰아간다. 반면 다크 심리학은 ‘심리의 작동원리‘를 이해해 상대방을 효과적으로 설득하는 데 초점을 맞춘다. - P273

#2

상대방의 마음을 읽는 방법


상대방의 마음을 읽고 싶다면, 다섯 가지를 기억하라.

첫째, 상대방이 과거 사건을 회상하면서 갑자기 현재 시제‘로 말하기 시작한다면, 거짓말을 하고 있을 가능성이 높다.

둘째, 거짓말쟁이는 자신의 거짓말을 더 설득력 있게 만들기 위해 종종 실제 기억에서 ‘일부 세부 사항‘을 빌려온다.

(중략).

‘사람의 마음은 얼마든지 숨길 수는 있지만,
표정, 몸짓 등 비언어적 표현으로 알 수 있다.‘ - P277

#4

시선을 읽거나, 시선을 끌거나


(전략).
갑자기 시선을 멈추는 건 내면이 흔들려서다.
그 시선을 읽을 줄 안다면,
상대방의 속마음이 보이기 시작한다.

‘시선을 읽거나, 시선을 끌거나
어떻게 시선을 쓰느냐에 따라 관계가 달라진다. - P279

#5

때론 ‘몸짓 언어‘를 사용하라

분위기를 장악하고 싶다면,
적절한 몸짓 언어(Body Language)를 사용하라.

(중략).

둘째, ‘웃는 얼굴‘을 너무 많이 보이지 마라.
웃는 얼굴을 남용하면 경계심을 없애고,
경계심이 없는 사람은 만만해 보인다.

(중략).

‘때론 말 한마디보다, 몸짓이나 태도가 정확하다.‘ - P280

#7

명령하지 말고 유도하라

(중략).

첫째, 선택지는 제한하고 유도하는 질문을 하라.
둘째, 직접 선택하고 동의했다는 점을 강조하라.
셋째, 강제적으로 요구하지 않았다고 알려줘라. - P283

# 8

‘이해의 착각‘에서 벗어나라

당신은 그들에게 이해받았던 적이 없다.
그저 ‘이해받고 있다‘란 착각에 빠져 있었다.

(중략).

‘이해받고 있다는 착각에서 벗어나이해하려는 노력을 주고받아야만 한다‘ - P284

#12

순응하지 말고, 불복종하라


불복종은 일종의 신호다.

(중략).

‘권위자의 명령이나 조직의 결정을 따르지 않고,
처한 상황에 따라 거절하는 불복종도 필요하다.‘ - P288

#14

사실이 아닌, 사실처럼 보이는


거짓말은 굳이 하지 마라.
사실(Fact)은 아니지만,
‘사실처럼 보이는‘ 무언가를 말하라.

(중략).

‘레토릭(Rhetoric)‘은 사실이 아니다.
사실을 담는 ‘그릇‘일 뿐이다.
레토릭의 원리와 기법을 이해하고 활용하라,

‘사람들은 자신이 보고 싶은 것만 믿으며,
사실이 아닌 자신에게 필요한 확신을 믿는다‘ - P291

#17

상대방을 내 편으로 만드는 법


(전략).

사람은 누군가에게 도움을 줄수록
그 사람을 좋아하게 되는 역설적인 심리가 있다. - P296

이러한 현상을 벤 프랭클린 효과(Ben Franklin Effect)라고 한다.
실제로 미국의 정치가 벤 프랭클린(Ben Franklin)은 자신의 정적에게 일부러 책을 빌려달라고 부탁했다.
책을 빌려준 상대방은 프랭클린을 싫어하지 않게 되었고, 이후 두 사람은 가까운 사이가 되었다.
(후략).

‘상대방을 내 편으로 만들고 싶다면, 먼저 그 사람에게 부탁을 해보라‘ - P297

#19

상대방의 속마음을 알아내는 법


(전략).

그러므로 질문 대신에 ‘문장‘을 사용하라.
(후략).

그러니 의도를 감추고, 의견처럼 말하라.
그러면 상대방은 정정하려 들 것이고,
그 정정 속에는 진심이 섞여 나온다. - P300

#22

마음도 거래가 된다

(전략).

당신의 작은 고백은
상대방을 심리적으로 ‘빚진 상태‘로 만들고,
속마음을 쉽게 끌어낼 수 있게 한다.

(중략).

‘사람의 마음이란 가장 은밀한 거래이다.
진심을 알고 싶다면 먼저 작은 대가를 지불하라‘ - P304

# 23

길들여진 선택

은밀하게 결정을 유도하고 싶다면,
당신이 원하는 선택을
다른 사람들의 예시로 포장하라.

(중략).

‘결국 독립적인 결정이란 환상일 뿐이며,
자신도 모르는 사이 타인의 결정에 조종당한다.‘ - P306

#24

사랑과 돈의 상관관계

(전략).

사랑이 영원할 거라 믿고 싶지만,
현실에서 모든 관계는
돈 앞에서 무너지고 흔들린다.

(중략).

‘모든 관계의 밑바닥엔
돈이라는 차갑고 무정한 현실만 남는다.‘ - P308

#28

누군가가 당신에게 소리를 지른다면, 그 사람의 눈을 보고 이렇게 말하라.
"사람들이 당신에 대해 말한 게 전부 사실이군요."
그러면 상대방은 더 이상 말하지 않을 것이다. - P311

#30

상대방의 말이 거짓인지 알고 싶다면, 그의 행동을 주의 깊게 관찰하라. 누구나 거짓말을 할 때는 행동이 눈에 띄게 변한다. (후략). - P312