프롤로그
우리가 알고 있는 양은 많지 않다. 우리가 알지 못하는 양은 광대하다.
-피에르 시몽 리플라스가 남긴 마지막 말
(전략).
예외적인 대칭 대상물 가운데 가장 큰 것은 ‘몬스터(nonster 괴물라고 불렸다. - P8
그때까지 구체적 모습을 구성해내지는 못했지만 여러 데이터를 면밀히 살펴본 결과, 연구자들은 몬스터가(만일 실제로 존재한다편) 196,883차원에서 그 모습을 드러낸다는 결론을 내리고 있었다. 맥케이는 수론 분야의 논문을 읽고 있다가 196,884라는 수를 보았다.
그는 크게 놀랐다. 수론 분야에 속하는 대상물이 몬스터와 어떤 관련성을 갖고 있다는 것은 어불성설로 보였다. - P9
콘웨이는 이 연관성을 ‘문샤인(moonshine)‘이라고 이름 붙였다. - P10
대칭의 수학적 연구에서 몬스터로 옮겨가는 과정을 기술하려면 많은 지면이 필요하다. 하지만 그 내용을 몇 마디로 요약하는 것은 가능하다. (중략). 26개의 예외적 대상물 가운데 가장 큰 것이 몬스터이다. - P11
몬스터가 다른 수학 분야와 관련성이 있다는 사실은 심오한 무언가가 존재한다는 점을 보여준다. 하지만 현재로서는 아무도 그 내용을 충분히 이해하지 못하고 있으며 입자물리학과의 관련성도 호기심과 궁금증을 자아내고 있는 형편이다. - P13
1
테아이테토스의 정이십면체
수학에서 이해라는 것은 없다. 단지 익숙해질 따름이다.
-존 폰 노이만
(전략).
플라톤의 정다면체의 존재성은 단순 모델을 구성하는 방식으로는 확립되지 않는다. 왜냐하면 아무리 그림을 잘 그린다고 해도 그 그림은 불완전하기 때문이다. 테아이테토스가 천착한 문제는, 각각의 면이 정삼각형이나 정사각형, 혹은 정오각형이고 모든 각이 동일하며 모든 모서리가 같은 길이를 갖는 입체 도형을 이론적으로 작도하는것이었다. 이는 대칭에 관한 문제이다. - P15
고도의 대칭성을 지닌 대상물을 찾는 것은 이 책의 후반부에서 다루는 주제이며 플라톤의 정다면체는 항시 염두에 두어야 할 좋은 원형이다. - P16
(전략). 또한 회전과 거울 대칭을 연이어 적용할 수도 있다. 정육면체에는 많은 개수의 대칭이 존재한다. 과연 몇 개나 될까? - P17
답은 48개이다. 이 48개의 대칭들이 모여 이른바 정육면체의 대칭군이라는 것을 만들어낸다. 회전만으로 얻는 대칭들을 모으면 모두 24개*가 되는데 이들은 부분군을 이룬다.
*회전 대칭이 24개인 이유는 다음과 같다. 정육면체에는 여섯 개의 면이 있고 이 여섯 개는 각기 맨아래에 위치시킬 수 있다. 그리고 밑에 위치한 면을 네 개의 위치로 옮겨가도록 회전시킬 수 있다. 따라서 6×4=24를 얻는다. - P18
19세기에 수학자들은 대칭군을 좀 더 단순한 군들로 분해하는 방법을 찾아냈다. 더 이상 분해되지 않는 군을 ‘원자 대칭군‘ **이라고 부르기로 한다.
** 수학자들은 ‘단순군‘이라는 용어를 사용한다. 하지만 ‘단순‘이라는 말은 오해를 불러일으킬 소지가 있다. 왜냐하면 매우 복잡한 경우도 있기 때문이다. 원자 대칭군이란 더 간단한 군으로 분해되지 않는 군을 의미한다. - P18
대칭을 의미하는 symmetry라는 단어의 두 어근은 그리스어에서나왔다. syn은 ‘함께‘ 라는 뜻이며 metry는 ‘측량‘을 뜻한다. 두 개 이상의 대상물을 함께 측량한다는 개념은 매우 유용한 개념이며 이 주제에 대한 괴테의 생각은 이미 프롤로그에서 언급하였다 - P20
갈루아는 대칭을 이용해 심오한 문제를 해결한 최초의 수학자였으며 이를 통해 새로운 수학 분야의 틀을 만든 사람이다. - P21
2
갈루아-한 천재의 죽음
학생은 모름지기 누더기에 맨발로 학문의 전당에다 불경을 저질러야 한다. 지식을 숭배하려고 온 것이 아니라 지식에 의문을 제기하려고 이곳에 온 것이기 때문이다.
-J. 브로노우스키, 「인간 등정의 발자취」
(전략). 그러나 혁명가로서의 그의 명성은 덧없는 것이었지만 수학자로서의 그는 불멸로 남아 있다. 갈루아 이론과 갈루아 군은 오늘날 수학에서 자주 접하는 주제이다. - P24
한편 그해 가을에 새로 부임한 수학 교사 루이 리샤르(Louis P. É.
Richard)는 갈루아의 뛰어남을 곧바로 간파했다. 그는 갈루아가 아날레드 마테마티크(Annales de Mathématique)」에 독창적인 논문을 제출하도록 격려했고 (중략). 리샤르는 논문초고를 과학원 회원인 코시(Augustin L. Cauchy, 1789~1857)에게 직접 가져갔다. 코시는 거의 예외를 두지 않고 자신의 논문만을 과학원에서 발표했던 수학자였다. (중략). 좀 더 면밀하게 검토하도록 과학원 회원들은 코시에게 집으로 가져가게 했지만 코시는 논문을 분실하고 말았다. - P26
갈루아의 기본 아이디어는 대수방정식의 해에 대한 것이다. - P28
오랫동안 해결되지 않던 문제를 풀거나 새로운 내용을 발견하는 것이 수학 연구의 큰 기쁨이지만 새로 발견한 결과를 비밀로 해두는 경우도 있다. 필요한 세부 사항을 확인하고 나서 발표할 준비가 될 때까지는 다른 사람이 알지 못하게 두려는 까닭이다. 그렇게 하지 않으면 다른 사람이 아이디어를 가져다가 세부 내용만을 덧붙여 자신의 연구성과라고 우길 우려가 있다. - P30
현재의 시점에서 그때를 돌아보면 델 페로, 타르타글리아, 카르다노, 페라리 모두 천재였다고 말할 만하다. 과학사학자인 조지 사턴(George Sarton)이 말하고 있듯이 이 네 사람은 과학사를 통틀어 가장기묘한 집단이었다.⁶ - P32
6) George Sarton, Six Wings: Men of Science in the Renaissance, IndianaUniversity Press, 1957, p. 28. - P306
거의 250년이 지난 뒤에야 라그랑주(Joseph Louis L. 1736~1813)가 「방정식의 대수적 해법에 대한 고찰」이라는 매우 영향력있는 논문을 썼고 이 논문으로 대수학의 새로운 시대가 열렸다. 하지만 5차 이상의 방정식 해법은 어느 누구도 찾아내지 못했다. - P32
가우스는 1799년에 이렇게 썼다. "많은 기하학자들의 연구 성과를 고려할 때일반적 방정식의 해를 대수적으로 얻어낼 희망은 밝지 못하다. 해법은 불가능하며 모순되는 듯 보인다."⁷ - P33
7) Jean-Pierre Tignol, Galois Theory of Algebraic Equations, Englishtranslation, Longman, 1988, p. 274. - P-1
아벨의 논문은 제곱근, 3제곱근, 4제곱근 등의 거듭제곱근으로는그 근을 나타내지 못하는 5차방정식이 존재함을 보였다. 일부 방정식에 대해서는 그런 방법으로 해를 나타낼 수 있지만－예를 들어 2의 해를 얻으려면 2의 5승근을 취하면 된다.－어떤 방정식은 가능하고 또 어떤 방정식은 불가능한지 밝혀내는 것이 문제였다. - P34
한편으로 갈루아는 제출해놓은 두 편의 논문에 대한 답변을 목이빠지게 기다리고 있었다. 코시는 갈루아의 논문을 집으로 가져갔지만 자신의 연구에 정신이 팔려 갈루아의 논문을 제때 살펴보지 못했다. (중략). 갈루아는 논문을다시 써서 마감일인 3월 1일 직전에 제출했다. 푸리에(Jean B. J., Baronde Fourier, 1768~1830)는 갈루아의 논문을 집으로 가져갔다. 그런데 5월15일 푸리에가 세상을 떠나고 말았다. 갈루아의 논문은 행방불명이 되었고 심사 대상에서 제외되었다. - P36
3
무리수 근
탈레스에게 가장 중요한 문제는 우리가 무엇을 아는가가 아니라 어떻게 아는가라는 문제였다.
-아리스토텔레스
갈루아의 연구가 뛰어난 이유는 대담한 아이디어가 내재되어 있다는 점에 있다. - P43
무리수의 존재를 처음으로 깨달은 이들은 피타고라스학파 사람들이다. (중략). 그들은 삼라만상을 정수와 정수의 비로 나타내려고 했다. 하지만 그들은 정사각형에서 대각선과 한 변 사이의 비가 무리수라는 사실을발견하고서 당혹감을 느꼈다. 그 때문에 결속력에 문제가 생겼다. - P47
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