갈루아는 기약방정식의 근은 무리수이고 또 근의 개수는 방정식의 차수와 같다는 사실을 알고 있었다. 2차방정식은 두 개의 해를 갖고있고 3차방정식은 세 개의 해를 갖고 있다. 이는 가우스가 1815년에 처음으로 증명한 ‘대수학의 기본정리‘ 에 나오는 결과이다. - P49
(전략).
즉, 두 치환을 연이어 행하여 얻은 세 번째 치환이 다시 그 집합 안에 들어 있어야 한다는 조건이다. 갈루아는 그러한 집합을 군(群, group)이라고 명명했다. - P51
주어진 방정식에서 얻은 치환군으로 갈루아는 근의 표현 방식이라는 지엽적 문제를 무시할 수 있었다. - P51
갈루아 이론의 핵심은 군을 더 단순한 군들로 분해하는 것이다. 분해 과정을 계속 진행하면 결국에는 더 이상 분해되지 않는 군들에 도달한다. - P52
치환군에서 가장 단순한 부품이 소수 순환군(primecyclic group)이다. - P53
군에서는 순환군이 기본을 이루고 있는데 그 중에서도 가장 기본이 되는 군이 소수 순환군이다. 각각의 소수에 대해 그 p(2.3.5.7 등등)를 크기로 하는 순환군이 유일하게 존재한다. 다수의 군이 소수 순환군으로 분해되지만 개중에 그렇지 않는 군도 있다.¹² - P53
12) Fauvel and Gray, A History of Mathematics, p. 503. - P306
갈루아는 방정식에서 치환군을 얻었는데 이때 핵심이 되는 내용은 그 치환군을 가능한 한 단순한 군으로 분해하는 일이었다. - P54
여기에서 흥미로운 현상을 발견하게 된다. 대수학의 기본정리에 따르면 방정식은 항상 해를 지니고 있다. 루피니와 아벨에 따르면 거듭제곱근으로 해를 나타낼 수 없는 5차방정식이 존재한다. - P54
. 호환을 적절하게 연거푸 시행하면 어떤 치환이라도 얻을 수 있다.* 그런데 특이한 점은 짝수 개수의 호환으로 얻은 치환은 홀수 개수의 호환으로는 얻지 못하며 또 반대로 홀수 개수의 호환으로 얻은 치환은 짝수 개수의 호환으로는 얻지 못한다는 사실이다.
* 탁자 주위에 앉아 있는 사람들을 재배치하는 경우를 생각해보자. B라는 사람이 차지하고 있는 자리에 앉히고 싶은 사람 A를 택한다. 다른 사람들은 그대로 두고 A와 B를 교환한다. A와 B가 잘못된 자리에 앉아 있었지만 이제 A는 올바른 자리에 앉게 되었다. 따라서 올바른 자리에 앉아 있는 사람수는 늘어났다. B가 여전히 잘못된 자리에 앉아 있다면 1만큼 늘어난 것이고 B가 올바른 자리로 왔다면 그 수는 2만큼 늘어난 것이다. 모든 사람이 올바른 자리를 차지할 때까지 호환을 계속해 나간다. 예컨대 여섯 사람이 탁자에 둘러앉아 있다면 어떤 치환이고 최대한 다섯 차례의 호환으로 그 치환을 얻을 수 있다. - P56
짝치환에만 집중하는 이유는 원소가 다섯 개 이상이면 짝치환으로이뤄진 군이 ‘단순‘ 군, 즉 원자 대칭군이기 때문이다. 갈루아 이론에서 5차방정식은 다섯 개의 해를 갖고 있고 또 그런 방정식 가운데 다수의 경우에서 갈루아 치환군이 바로 이 ‘단순‘군을 포함하고 있다. - P58
원소의 개수가 커지면 짝치환군의 크기는 기하급수적으로 커진다. 더 많은 원소들이 교환됨에 따라 짝치환 군은 더욱 커지고 더욱 복잡해진다. - P59
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