수란 무엇인가?

수학의 수학 - 옥스퍼드대 김민형 교수의 세상에서 가장 아름다운 수학 강의
김민형.김태경 지음 / 은행나무 / 2016년 1월

수학 기초론에 대해

위상수학과 정수론을 결합한 것으로 유명한 김민형 교수가 대중을 상대로 쓴 책. (이 책 내용은 ‘아트앤 스터디’에서 강의로 진행했었는데 책이 나온 뒤에 강의안은 사라졌다.)

강의와 책은 상호 보완적인데, 책보다 강의가 이해하기 쉬운 부분도 있고, 책이 더 자세한 부분도 있다. 하지만 강의는 저자의 생각과 내용의 흐름을 알 수 있어서 이 책을 추천할 때는 강의도 같이 듣기를 권하는 편이다.

수란 무엇인가

책은(=강의는) 수와 숫자는 다름을 보여주면서 시작한다. 1,2,3 같은 숫자는 일 二 Ⅲ 처럼 다른 기호로 바꿀 수 있으니 ‘수’가 아니다. 그렇다면 수란 무엇일까? 저자는 수란 “계산을 할 수 있는 (모든)것” 이라고 정의한다.

 물론 피타고라스부터 해서 현악기의 음, 기하학으로 풀어본 사칙연산(더하기는 0이라는 원점이 필요함을 직선 위 점의 위치로 보여주고 , 수 a,b,c 사이에서 곱셈의 결합법칙이 성립함은 직육면체의 부피로 설명하는 등 저자의 관심 분야에 따른 특징이 곳곳에 잘 녹아있다. 

책은 평면상에서 덧셈과 곱셈, 그리고 복소수 연산 까지 보여주며 이 과정을 통해 자연수와 실수, 정수와 복소수 등 각 수의 성질을 아주 간략하고 알기 쉽게 보여준다. (그러나 아무래도 수학 전공자들이 공부하는 분야와 관련되다보니, 어떤 부분, 특히 위상수학에 관한 내용 등은 이 작은 책만으로 이해하기는 어렵다.)

저자가 어찌 보면 가장 순수한 수학(수론)을 연구하고 있지만,   수학의 실용적인 면에 대해 관심이 많다보니,

 (강의 중 러셀과 화이트 헤드의 ‘수학원리’의 내용에 대한 질문이 나왔는데

<악명높은 1+1=2에 대한 증명이다.> 

김민형 교수의 입장은 ‘아무래도 헛수고’쪽으로 본다. 물론 뒤이어 “다만 어떤 방향으로 연구가 쌓이면 뭔가 나오게 되어있다”면서 이들의 노력이 비록 의도한 바는 이루지 못했으나 Homotopy Type Theory, 와 컴퓨터 발전에 큰 영향을 주었음을 이야기 하지만, 김민형 교수님는 러셀 같은 기초 정립 보다는 다른 쪽에 관심이 많아보였다.)  

컴퓨터의 연산이나 양자역학 등에 쓰이는 수학처럼 수학 중 현실과 연관된 내용들이 많은 편이다. [첨언하면 저자의 입장은 콰인의 유명론 쪽에 가깝다고 한다. 그래서인지 러셀의 주장과 상반되어 보이는 설명도 있는데<강의 기준> 그래서 더 실용적인지도 모른다.]

책의 마무리는 군론과 갈루아 이론을 보여주면서 마무리된다. (군론 역시 현대 물리학과 연결되어 있다) 생소한 용어가 나오지만 설명은 어렵지 않다. 다만 아무래도 개념이나 용어 자체를 처음 보는 독자는 2~3번 읽겠다는 생각으로 가볍게 보면 좋을 것이다.

단점을 고르라면 일반 독자에게는 조금 어려울 수 있고, 아무래도 미적분이나 통계, 행렬처럼 실생활에서 바로 써먹을 수 있는 내용들이 아니라  수학 그 자체에 대해 관심 있는 사람들만 볼 것 같은데... 그래도

계산하기도 벅찬 입시 수학이나 공업수학에서 벗어나 이론적인 면을 너무 어렵지 않게, 그러나 지나치게 가볍지도 않게 이야기하는 이런 책이 더 많아지길 바란다.

공식을 설명하지 않는 수학 책에서 오래간만에 많이 얻어가는 독서를 했다.

모든 것이 수는 아닐지라도 모든 것에 수가 있다.

덧: 처음에는 위 강의를 듣기 위해 ‘소수공상’이란 책을 구입했는데, 소수 공상은 강의와 별 상관이 없고, 난이도도 더 높다.