알아야 쉽게 설명한다

내머리로 이해하는 E=mc2 - F=ma부터 E=mc2까지의 여행
고중숙 지음 / 푸른나무 / 2001년 7월

* 알아야 쉽게 설명한다

 약속을 기다리던 중 남는 시간을 서점에서 보내고 있었습니다. 과학책 분야에서 신간을 보고 있던 중 이 책을 발견했습니다. 상대성 이론은 이미 알고 있었지만 쉽게 설명할 수 있다는 사실에 관심이 쏠렸습니다.

 구입하려는 마음을 먹고 남는 시간동안 책을 읽었는데, 그만 다 읽어버린 것입니다. 구입을 망설이다가 다음에 구입하기로 했습니다. 서점에 갈 때 마다 이미 읽었기 때문에 구입의 우선순위에서 밀리다가 구입하지 못했고 막상 구입하려 하니 품절(절판?)이 되었습니다.

 기억은 나지 않지만 주옥같은 글귀가 많았던 것으로 기억되어 도서관에서 빌려서 다시 읽었습니다. 역시 좋은 책입니다. 최근에 제가 특히 최근에 남을 어떻게 쉽게 이해시킬 것인가에 대한 관심이 있다 보니 다가오는 느낌이 더 컸습니다.

p13 쉽게 쓰기의 한계 이쯤에서 떠오르는 한가지 의문이 있습니다. 그것은 바로 “그렇다면, 과연 이러한 ‘쉽게 풀어쓰기’가 어디까지 가능할까?” 답은 ‘예’와 ‘아니오’가 모두 가능하다고 생각합니다.

 100미터 달리기를 비유로 설명하면 점차 기록이 단축되어 사람이 5초에 뛰는 것은 불가능하지만 천분의 일초라도 단축되는 기록 갱신은 가능하기 때문이라는 설명 부연되어 있습니다.

 (이 책에서 필요한 지식은 정적분이 필요하니 고등학교 정도의 수학적 개념은 필요합니다.)

 이 책이 저에게 준 또 한 가지 즐거움은 운동량에 대한 설명입니다. 힘, (운동) 에너지 등은 이해가 잘 되는데, 운동량는 뭔가 찜찜한 느낌이 남아 있었습니다. 이 책에서는 힘과 에너지는 일상용어를 통해 어느 정도 감각이 되어 있는 반면 운동량은 새로운 개념이기 때문이라고 설명합니다. ‘운동량 보존의 법칙’에 관해 수업을 들은 후 그것을 제대로 이해하지 못한 제가 친구에게 이런 질문을 한 적도 있습니다.

 “탄성계수가 1일 때, E=1/2m1v12+1/2m2v22과 P=m1v1+m2v2가 어떻게 동시에 보전되는 것이 성립하지?” 그리고 “운동에너지를 속도에 관하여 미분하면 운동량이 되네. 그것이 무슨 의미지?”

 p 42 힘은 운동량의 미분

 힘의 균형과 작용 반작용의 법칙도 일반인들이 혼동하기 쉬운 것이 이해하기 쉽게 설명해 놓았습니다. 그리고 평행중력장 및 방사중력장의 설명도 있습니다. (평행 중력장과 방사 중력장은 이 책의 글쓴이가 이해를 돕기 위해 임의로 만들어낸 용어)

 다시 읽으면서 새롭게 눈에 띄는 구절은
 p 24 본질은 귀결에 앞선다.
 입니다.

* 밑줄 긋기

p 32 계(系 ; frame)와 계(界 ; system)
p 40 제2법칙 (가속의 법칙) ; 물체에 힘이 가해지면 그 방향으로 가속이 일어나며 크 크기는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다. 제2법칙 (운동량 변화의 법칙) ; 물체에 힘이 가해지면 그 방향으로 힘의 크기에 비례하는 운동 상태의 변화가 일어난다.
p 43 힘은 변화의 원인이고 일은 변화의 결과입니다.
p 48 force(힘)와 power(일률)
p 187 소박素朴하고 다소곳한 원리/“진전으로 중요한 것은 오히려 단순하다.”
p 191 단순하되 도발挑發적인 원리

cf “운동에너지를 속도에 관하여 미분하면 운동량이 되네. 그것이 무슨 의미지?” ; 답 221p

그만하면 용하다

아이들은 왜 수학을 어려워할까? - 발달신경생리학자가 들여다본 아이들의 수 세계
안승철 지음 / 궁리 / 2010년 7월

* 딸아, 그만하면 용하다.

 이 책은 출간되자마자 구입하였습니다.- 왜냐하면 제가 기다렸던 책이므로.

 저는 수학에 관하여 관심이 높았던 반면 주위 사람들은 수학(산수)를 시험과목 정도로 생각했고 저의 수학적, 논리적 욕구를 충족시킬 수 없었습니다. 반면 저는 공감 능력이나 신체 활동 능력이 현저히 떨어졌습니다. 제가 어렸을 때는 그 사실이 꽤 불편했습니다. (흔히 말하는 논리수리 지능, 언어지능, 공간지능이 높고 신체 지능, 공감共感 지능이 낮았다. - 즉 학교 시험은 잘 보고 사람을 잘 못 사귀는 타입. 스스로를, 가끔은 남이 자폐라고 부른다. - 지금은 치매로 넘어가고 있는 중.)

 왜 남들은 내가 궁금해 하는 것에 궁금해 하지 않는 걸까? 왜 나는 운동을 못해 친구들과 어울리기 힘든 걸까? 하지만 제가 조금 큰 후에는 사람마다 소질과 적성이 다르다는 것을 알게 되었습니다.

 이를 내면화하는 과정은 다분히 생물학적이다. ; 그렇다면 언어, 음악, 생물학적이지 않은 것이 어디 있단 말인가? (선천적 능력 중심으로 해석하는 것은 요즘 유행이기도 하고.)

 그 다음에 갖게 된 질문은 그렇다면 어떤 것이 평균적일까? 그 평균은 어떻게 생겨난 것일까? 육아일기 100810는 이 책을 읽었기 때문에 가능한 통찰입니다. ;

* 육아일기 http://blog.aladin.co.kr/maripkahn/4000974

 이 책의 장점은 다른 서평에 많이 있기 때문에 생략하고 저에게 준 것은 아이의 수학적 능력을 평가할 기준이 마련해 주었습니다. 그러므로 앞으로 생길 수도 있었던 저의 조급함도 사라졌습니다.

 아이들만 수학을 어려워하나 어른들도 어려워하지. 그 이유는 수학은
 p126 (계산을 익히는 과정은 수 감각적) 본능과 거리가 있다.

cf 아무리 생각해 봐도 수학 시험 숙달을 위한 수학 보습 학원은 있어도 수학을 위한 학원은 없을 듯 싶다.

* 수학의 본질 ; http://blog.aladin.co.kr/maripkahn/4409118

어린이의 생각은

자꾸자꾸 시계가 많아지네 ㅣ I LOVE 그림책
팻 허친스 글.그림, 신형건 옮김 / 보물창고 / 2007년 2월

* 어린이의 생각은?
- 어린이들은 무슨 생각하게 될까?

 제가 어렸을 때, TV 만화영화 ‘아톰’, ‘빠삐’ 등을 몰입해서 보고 있으면 어른이 오셔서 “그게 그렇게 재미있냐?”라고 물으신 적이 있습니다. 그 당시에 제 생각은 어른이 만화 영화를 재미없어 하는 것도 이해됩니다. 하지만 ‘어린이가 만화영화를 좋아하는 것을 왜 (감정적으로) 이해하지 못할까? (왜 공감하지 못할까?)’라고 생각했습니다.

 그런데 어른이 되어 보니 어린이와 공감이 잘 안 됩니다. 머리속에 ‘어린이는 만화도 좋아하고, 장감도 좋아해.’라고 생각하며 관용은 하지만 공감은 안 되어 ‘뭐 이런 것이 좋다고, 뭐 이런 것이 재미있다고.’라고 생각합니다. 만약 어린이와 공감 능력이 뛰어나다면 어린이 용품 사업이나 어린이 문화 사업을 하면서 큰 돈을 벌 수 있다는 생각도 합니다. (왜 이렇게 사방팔방, 뽀로로와 토마스가 많은지.)

 <자꾸 자꾸 시계가 많아지네>는 조선인님으로부터 제 아이 책으로 추천받은 책입니다. 우리 딸아이는 책을 좋아하기는 하는데, 주로 아빠 책을 색깔로 구분하기나 책으로 악어집 만들기 등을 하는 방식으로 좋아합니다. 책은 보지도 않지만 (그림도 안 봐요.) 책이 택배로 배달 될 때, 자기 책이 없으면 없다고 불평합니다.

 <자꾸 자꾸 시계가 많아지네>를 읽어 주려하니 2페이지도 넘어가지 전에 딸아이가 딴청을 피웁니다. 읽어주는 것을 그만 두었습니다. (네 인생 네가 살지, 내가 대신 살아주냐?) 이 책을 읽는데, 30초 걸린 것 같습니다. 그런데, 머리 속에 남는 의문이 ; ‘아이가 이 이야기를 들었을 때, 무슨 생각을 하게 될 까? 아니 초등학교 1학년이 읽었다고 가정했을 때 무슨 생각을 할까?’

 저는 읽는 데는 1분 이하로 걸렸지만, 몇 가지가 연상되었습니다. 우선 시간을 측정하는 기계인 시계에 대한 생각, 그리고 시간, 마지막으로 동시성이라는 것에 대해.

 그런데, 아이들은 이 책을 읽고 무슨 생각을 할까요? 글쓴이는 무슨 생각으로 이 책을 만들었을까요?

초등학교 수학 개념 정리

초등학생이 꼭 알아야 할 수학원리
이한.장은주 지음 / 좋은벗 / 2004년 4월

* 초등학교 수학의 개념 정리
- 어린이와 수학이라는 어려운 조합의 훌륭한 요점

 이 책을 (정확히) 어떤 동기에 구입하게 되었는지 모르겠지만, 수학과 어린이의 교점에 있는 책으로 처음 구입하였습니다. 어린이용 도서이지만 ‘괜찮은 책이다’라는 느낌과 ‘깔끔하다’는 느낌을 받았습니다. 그리고 (어느 정도의 시간이 흐른 후) 어린이 수학교육과 관련된 책 3권을 한꺼번에 구입을 했습니다. <수학 잘하는 아이들의 비밀 수학>, <우리아이 수학약점>, <수학 박물관>입니다. 만약 <초등학생이 꼭 알아야 할 수학원리>, 이 책에서 불만스러웠다면 위 3권의 책은 구입하지 않았을 것 같습니다. 뒤에 구입한 3권의 책은 책마다 장단점이 있지만 조금 불만족스러웠습니다.

 제가 좋아하는 책 중 하나가 <화이트 헤드의 수학에세이 ; An Introduction to Mathematics>입니다. 이 책을 읽을 때, 중고등학교 6년 (초등학교 산수까지 포함한다면 12년) 동안 배운 수학이 정리되는 느낌이었습니다. (즉 우리나라 고등학교까지 수학을 배운 것은 수학에 입문할 준비가 되었다는 뜻이다.)

 위에 언급한 3권을 책을 읽은 후 다시 <초등학생이 꼭 알아야 할 수학원리>를 읽었는데, 앞에 책에서 실망한 탓인지 이 책이 더 괜찮게 보이며 <화이트 헤드의 수학에세이>와 비슷한 느낌을 받았습니다. 초등학교 수학을 한번 정리하는 느낌이랄까, 그러면서도 완벽하다는 느낌. 만약 이 책을 읽고 어려워하면서 중학교 입학했다면 수학적 개념 없이 문제만 풀고 진학한 것이라는 생각마저 듭니다.

 단지 곤란한 점은 몇 학년에 이 책을 읽을 것이냐 하는 것과 이 책을 읽고 이해하지 못한 어린이에게 어떻게 설명할 것이냐는 문제로 남습니다. 그럼에도 불구하고 어린이와 수학이라는 잘 어울리지 못하는 조합에 이런 책이 있다는 것은 훌륭합니다.

왕도가 없다

수학 잘하는 아이들의 비밀 수학
사쿠라이 시오미 지음, 김정환 옮김 / 세상모든책 / 2010년 11월

* 왕도가 없다.

 유클리드의 ‘기하학에는 왕도가 따로 없다.’는 말이 오늘날에는 ‘수학에는 왕도가 없다.’나 ‘학문 (또는 공부)에는 왕도가 없다.’로 확장되어 사용되기도 합니다. <수학 잘하는 아이들의 비밀 수학>을 읽은 후 정말 ‘기하(수학)는 왕도가 없구나’라는 생각을 하게 되었습니다. 저는 국어 공부도 결국에는 혼자 하는 것이고 영어 공부도 혼자 하는 것입니다. 수학이라고 해서 왕도가 없고 다른 과목은 왕도가 따로 있다고 생각지 않았습니다.

 그런데 수학에 관하여 공부하는 사람에게 도움이 줄만한 것이 없을까하여 이것 저것 읽고 있습니다. '비밀 수학'이라는 제목에 수학 교수敎授법에 관해 어떤 통찰을 얻고자 했습니다. 수학을 잘하는 것과 수학을 잘 가르치는 것은 엄연히 다릅니다. 그러나 딱히 이것이 요령( 마치 무협의 비급과 같은 것)은 없다는 생각이 듭니다.

 책의 구체적인 내용 [예제 1]에 대하여 말씀드리면, 저는 문제를 읽고 방정식을 세운 다음 계산을 하여 답을 냅니다. 이런 훈련을 단순한 계산식으로부터 산술, 기하의 문제로 유추도 가능합니다.

 문제) 2+3 = ? 답은 5

 이 문제는 이렇게 생각할 수 있습니다. 사과 2개와 사과 3개, 모두 몇 개? 이것은 산술문제입니다. 그러나 2m의 거리 간 다음 3m를 다시 가게 되면 총 5m라고 생각할 수 있습니다. 이것은 기하문제라고 생각할 수 있습니다. (이 과정의 역과정을 거치면 응용 문제와 풀이라고 할 수 있겠지요.)

 예제 1은 저의 경우 연립 방정식으로 풀려 할 것인데, 책의 문제 해설은 면적을 도입하여 기하 문제처럼 해설하였습니다. 그런데, 수학의 본질은 산술과 기하를 관통하는 보편성입니다. 제 경험에 비추면 산술을 먼저 배우고 수학을 이해하고 기하에 적용하였습니다. 이런 통찰력은 초등학교 때는 없었습니다. (뭐야 난 바보야?)

 이 책의 중간 부분에서는 수학의 체험을 강조하기도 하는데, 초등학교에서는 가능할지 모르겠으나 수학의 본질을 추론으로 생각해 볼 때, (흥미는 유발할 수 있겠으나) 수학적이지도 못하고 고등학교 수학은 체험할 수 도 없는 것도 많습니다. 다음 방정식이 반드시 한 개 이상의 해를 갖는 것을 증명하시오. 이것은 무엇으로 체험하나요? 직감력에 대한 이야기도 있는데, 이 책에서 직감력을 기르는 방법을 이야기하지도 않았습니다. (무엇을 한다고 해서 길러지는 것도 아니지만.)

 책을 읽고 저 혼자 곰곰이 생각한 결과, ‘수학 공부는 혼자 하는 것이다.’라는 (이상한) 결론 내리게 됩니다. 단지 주위 사람( 또는 부모)으로서 할 수 있는 것은 당사자에게 흥미를 잃지 않게 하는 것 정도라고 생각합니다. (그런데, 저의 경우는 주위 사람들이 저의 고민을 도와주지 않아서 혼자 고민하는 습관이 생겼고 그것이 수학 공부에 도움이 되었다고 생각하는데..... )