통계, 추론으로 본 세상

[eBook] 틀리지 않는 법: 수학적 사고의 힘
조던 앨런버그 지음, 김명남 옮김 / 열린책들 / 2016년 5월

수학을 틍해 세상을 어떻게 바라볼 것인가? 저자는 수학을 통하여 세상을 바르게 이해하고 우리를 속이려는 사람이나 통계 등에서 혹은 의도하지 않게 왜곡하는 여러가지 데이터들에 대하여 감식안을 제공한다.

첫머리에 버틀런드 러셀의 글이 나오는데 이 책이 지향하는 바를 잘 보여준다.

“우리는 수학에서 가장 좋은 것을 숙제처럼 배우기만 할 게 아니라. 일상적 사고의 일부로 동화시키고 거듭거듭 마음에 떠올려서 언제까지나 새롭게 북돋워야 한다.”-<수학의 연구, The study of mathematics>

러셀의 말은 현실 속에 수학이 있다는 말이겠다. 저자는 그 현실을 통해 수학을 보여준다.

첫 이야기는 사건을 단편적으로 보았을 때 나타나는 수의 현실왜곡에 관한 이야기이다.

2차 세계 대전 중 통계 연구 그룹(SRG), SRG는 통계 분석을 통하여 미군을 지원하는 기밀 프로그램이었다. 비행기에 철갑을 어느 정도 둘러야 하는가라는 문제가 SRG에 의뢰되었다.

교전에서 돌아온 비행기 엔진에서는 구멍이 거의 없었고 동체에 구멍이 많이 있었는데 장성들을 구멍이 많은 동체에 갑옷을 선택적으로 두르자고 주장한다. 하지만 맨허튼 프로젝트의 멤버와 같이 똑똑한 사람이 많았던 SRG에서 가장 똑똑했던 발드는 엔진에 총을 맞는 비행기는 돌아오지 못했다는 것을 인지한다. 엔진에 철갑을 둘러야 한다고 주장한다.

발드는 효율적인 수학적 사고를 하는 사람이었다. 즉 돌아온 비행기가 무작위로 선정된 표집이 아니라는 사실을 알았다. 엔진에 구멍이 하나라도 생기면 모두 추락했다. 돌아온 비행기는 편향된 표집이었다.

다음은 선형적 사고에 대한 비판이 나온다.

세금이 오르면 국가 수입이 늘어날 것인가? 사람들은 이 문제를 일대일 대응의 직선 그래프로 생각하고 적용했다. 하지만 직선 그래프는 현실과 맞지 않았다. 세금이 100%라고 가정하면 즉 모든 수입을 세금으로 내는 경우, 국가 수입은 0가 될 것이다. 모두 세금으로 내는데 누가 일하려고 할 것인가?
영화 제작자이기도 했던 대통령 레이건은 대통령이 되기 전 제작자 시절 일정 수의 영화를 제작하고나면 더 이상은 영화를 만들지 않았다고 한다. 일정 양이상 영화를 더 제작하면 세금 때문에 오히려 손해를 보기 때문이었다.

결국 세금과 제정수입 관계그래프는 중간이 불룩한 종형 모양이 된다. 정규분포 곡선과 어느정도 비슷하겠다.

다른 장에서는 다른 나라에서 벌어진 인명피해 사건을 미국에 적용했을 때 문제를 다룬 “미국인으로 따지면 몇 명이 죽은 셈일까?”를 이야기 한다. 그 후 귀무가설이 나오는데.

귀무가설이란 어떤 일을 증명했을 때 신뢰도이다. 내가 염력이 있어서 태양을 아침에 떠오르게 할 수 있다고 주장한다. 그리고 아침에 태양이 떠오르는 모습을 보고 나는 염력을 가지고 있다고 말 할 수 없다.

귀무가설(의도한 결과나 실험이 거짓인 경우)이 참이라고 가정하고 관찰 결과처럼 극단적인 결과가 나올 확률을 p하고 할 때 p값이 작으면 귀무가설은 기각되고 나의 실험 결과는 유의미하게 된다. 보통은 0.05를 기준으로 삼는다.

다시 예를 들면

나의 염력으로 태양이 동쪽에서 떠올랐다

태양이 동쪽에서 떠오르는 경우의 확률: p라고 하면 태양은 매일 동쪽에서 떠오르니 p=1이 되어 귀무가설이 참이 된다.

나의 염력으로 태양이 서쪽에서 떠오르는 경우
태양이 서쪽에서 떠오르는 경우의 경험적 확률은 0이고 0.05보다 작기 때문에 귀무가설은 기각되고 만약 태양이 서쪽에서 떠올랐다면 나의 염력은 유효하게된다.

팟케스트 <나는 의사다>를 진행하며 의학지식을 많이 알려주었던 코가 인상적인 의사가 있다. 국립암연구소 소속의 명승권박사인데. 과거 그는 <나는 의사다>에서 특수한 경우를 제외하고 비타민을 먹을 필요가 없다고 주장하였다. 물론 지금도 그렇게 주장하는 것으로 알고 있다. 그 근거로 제시된 것이 메타분석이다. 메타의 의미는 메타 뒤에 나오는 말을 다시한번 반복하여 뒤에 나오는 말을 그자신에 대하여 다시한번 행한다는 뜻. 예를 들면 메타인지란 인지에 대한 인지, 메타분석이란 분석에 대한 분석이다. 즉 메타분석이란 분석한 결과들을 모아서 반성적으로 자료들의 타당성을 검증하는 분석이다.

명승권은 메타분석을 통하여 비타민의 효과에 대하여 의문을 제기하였다.

이 책의 압권인 “국제 창자점 저널” 쳅터에서 저자는 논문 들이 메타분석에 가기도 전, 개개의 논문의 신뢰도가 우리가 생각하는 수준보다 매우 낮다는 것을 보여준다.

어떻게? 실패한 논문은 발표되지 않고 성공한 논문만 발표됨으로써 일종의 머피의 법칙으로 확률이 낮더라도 인과나 상관관계가 없음에도 불구하고 상관관계가 있게 결과가 나오는 경우가 있을 것이다. 의도한 결과가 나왔기 때문에 발표를 할 것이다.예를 들면 1000개의 실험자가 의도한 결과가 나오지 않는 실패한 논문은 발표되지 않고 50개의 논문이 원하는 결과가 나와 발표되는 경우, 논문을 보는 사람은 50개나 되는 경우로 "오류"를 증명된 사실로 인정하게 된다. 메타분석을 한다고 한들 위의 오류를 찾아낼 수 있을까?

이외에도 미분, 베이즈 추론, 대수의 법칙, 기대값에 대하여 이야기를 한다. 모두 현실과 관련하여 이야기 하고 있으며 특히 기대값의 경우 복권을 이용하여 돈벌이를 한(일종에 대수의 법칙을 이용한-복권을 많이 살수록 이익이 기대값에 근접하므로) 예로 흥미롭게 이야기한다.

이 책은 현실에서 수학이 어떻게 이용되는지와 현실을 수학적으로 어떻게 보는지를 특히 추론, 확률,통계를 중심으로 보여준다.

어쩌면 베이즈 추론을 읽고나서 든 생각이기는 한데 수학의 한계 또한 말하고 있는 것인지도 모르겠다.

그러나 저자는 베케트의 글을 통해 우리가 어떻게 행동해야 할 지 보여준다.

“늘 시도했다. 늘 실패했다. 상관없다. 다시 시도하라. 다시 실패하라. 더 잘 실패하라.”

그리고 이렇게 맺는다.

“여러분은 방정식 하나 안 쓰고 그래프 하나 안 그리면서도 수학을 하고 있는 것이다. …… 우리가 이걸 언제 써먹겠느냐고? 여러분은 태어난 순간부터 수학을 해왔고, 앞으로도 영원히 그만두지 않을 것이다. 부디 잘 사용하기를”