'어떻게'는 '어떠하다'가 줄어든 '어떻다'에 어미 '-게'가 결합하여 부사적으로 쓰이는 말이며, '어떡해'는 '어떻게 해'라는 구(句)가 줄어든 말입니다.
둘은 그 의미가 다를 뿐만 아니라 전자는 단어이고 후자는 구이기 때문에 문장에서의 쓰임도 아주 다릅니다.
'어떻게'는 부사형 활용이므로 다양한 용언을 수식하는
"너 어떻게 된 거냐?, 이 일을 어떻게 처리하지?"처럼 동사를 수식합니다.
반면에 '어떡해'는 그 자체가 완결된 구이므로 서술어로는 쓰일 수 있어도 다른 용언을 수식하지 못합니다. "지금 나 어떡해."처럼은 써도 "이 일을 어떡해 처리하지?"처럼은 쓸 수 없습니다.
출처: 네이버지식검색