'계산가능성computability'에 대한 Turing과 Church의 접근 방법을 길게 논의한 후 펜로즈는 다음과 같이 말한다.
Like so many other mathematical ideas, especially the more profoundly beautiful and fundamental ones, the idea of computability seems to have a kind of Platonic reality of its own. It is this mysterious question of the Platonic reality of mathematical concepts generally that we must turn to in the next two Chapters. (p. 70)
수학을 연구하다 보면 '발견'되는 것 같은 사실이 있다. 다음 장인 3장에서 펜로즈는 만델브로트 집합과 복소수를 예로 들며 이러한 구조와 개념의 특성은 인간이 발명하는 것이 아니라 발견되는 것 같다고 말한다. 여기에 자연현상을 발견하는 것과 무슨 차이가 있냐는 것이다. 물론 펜로즈도 모든 수학적 개념이 다 이런 것은 아니라고 인정한다. 하지만 특별히 근본적이고 아름다운 수학적 구조들을 볼 때마다 어딘가에 이러한 개념들이 존재한다고 생각할 수밖에 없다고 그는 믿는다.
문제는 이러한 개념들이 '어디'에 있냐는 것이다. 플라톤주의는 인간 존재를 벗어난 객관적 개념적 실재가 있다는 이야기인데, 수학의 개념은 전혀 물질적이지 않으며 물질적 실체를 가질 수 없다. 단지, '발견된다'는 느낌이 '이러한 개념이 객관적으로 실재한다'는 증명이 되는가.