수학은 생각하는 방법과 문제해결능력을 키우는 연습

유클리드기하학, 문제해결의 기술 - 최소 지식으로 최대 아이디어를 만드는 수학적 사고법
박종하 지음 / 김영사 / 2023년 7월

초등학생 때부터 기하학을 좋아했다. 도형이 등장하는 수학문제 푸는 것이 즐거웠다. 5학년 수학경시대회에서 풀 수 없었던 기하학 문제가 있었는데, 다음해에 또 똑같은 문제가 출제되어 두 번이나 쓰라린 실패와 좌절을 맛보았다.

잊지 못할 상처(?)가 되었는데, 나중에 알고 보니 적분을 알아야 값을 구할 수 있었다. 출제 의도가 무엇이었는지 어디에다 따져야 하는 지 한동안 분노했다. 그래도 기하학은 재미있었다. 이리저리 공간을 상상하는 놀이 같아 재밌다.

“모든 기하학정리는 평행한 두 직선을 공통으로 지나는 직선이 만들어내는 동위각이 같다는 전제에서 출발하여 체계적으로 증명됩니다.”

기원전에는 소수의 천재만 이해 가능했던 유클리드기하학을 이제는 배우고 설명을 들으면 아주 많은 이들이 활용도 가능하다. 그런 점에서 인류의 수학적 사고력은 계속 커져왔다고 할 수 있다.

수학의 어떤 분야는 현실 세계와의 접점이 아주 멀거나 약하지만, 다른 분야들은 부재한다면, 인류 문명의 어떤 것도 만들어내지 못했을 실용적인 쓰임을 갖는다. 수학이 밥도 먹여주고 잠도 재워주고 살게도 해준 것이다.

수학은 암기도 연산도 아니다. 한국사회에는 학문을 신기한 재주나 기술처럼 전시하고 과시하는 다소 저질스런 유행이 있었다. 덕분에 특별한 암산 재능을 가진 이들이 수학을 잘 할 거라는 오해가 깊어졌다.

“수학은 생각하는 것이라고 말하면서도 우리는 정작 수학 문제를 풀 때에는 별생각 없이 계산을 빠르게 하려고만 합니다. 계산만 빠르게 하는 것보다 생각을 깊게 하고, 상황을 이해하는 것이 더 중요합니다.”

수학도 과학도 가장 중요한 것은 ‘생각하는 방식’이다. 암기과목들과 아닌 것으로 버젓이 학습이 분류되어 있는 참 별로인 교육시스템에서 공허하게 들리기도 하지만, 사실은 사실이라고 할 밖에.

문제를 만나면, 생각을 하고, 고민을 하고, 해법을 찾는 과정이 중요하다(1, 2점차로 당락이 결정되는 마당에 이 문장 역시 한없이 공허하고 서글프지만). 그런 사고훈련을 겪지 않으면, 수학이 아니라 일상과 현실의 다른 문제를 만나서도 필요한 생각을 하지 않으려 한다. 원인을 제대로 찾고 분석하고 논리적으로 정직하게 해결하는 방식을 선택하지 않으려 한다.

“사람은 누구나 경험을 통해서 배우게 됩니다. 아이디어가 있는 문제를 다양하게 풀어본 학생이 문제해결능력을 키울 수 있습니다.”

그러면 남은 선택지는, 외면, 회피, 무마, 덮기, 반칙 혹은 범죄적 행위다. 너무 극단적인 예인가 싶지만, 한국사회에 층층이 쌓인 문제들와 문제 제공자들이 보이는 태도와 사후 처리 방식을 톺아보면 과장이랄 수는 없다.

이 책의 논조와 달리 수학에 대한 사견이 길어졌다. 수학은 풀이에 가치가 있다는 것, 상상과 문제 해결을 위한 노력을 통해 삶을 마주하는 힘이 키워진다는 것, 기하학은 재밌고 아름답다는 것, 그리고 노력한 만큼 수능도 잘 보시기를, 꿈을 이루기 위해 필요한 점수를 잘 받으시기를 힘껏 응원한다.

1000여 개의 유클리드기하학 문제들 중 153개를 수록했다. 자신의 속도로 차분하게 찬찬히 스스로를 훈련시키기에 좋은 분량이다. 내게는 무척 재밌는 반가운 책인데, 우리 집 십대들은 어떨지 궁금하다. 잘 소개해야겠다.

기꺼이 무엇이 되기 위한 동기 부여를 응원하며

이런 진로 이야기는 처음이야 - 본업 천재들이 들려주는 공부 의욕 뿜뿜 진짜 직업의 세계
나응식 외 지음 / 다른 / 2023년 6월

[저자만남] ‘이런 진로 이야기는 처음이야‘ 나응식 X 심규혁

https://www.youtube.com/watch?v=nK5I7X4yQvM

북토크 영상 자료가 있어서, 진로와 꿈이 부재하거나 고민 중인 아이들과 가족이 함께 감상하기 좋습니다. 책도 다 같이 읽으면 더 좋겠지요. 8편의 단편 에세이를 읽는 것처럼, 지치지 않고 즐겁고 흥미롭게 모르던 직업 세계에 대해, 직업 자체에 대해 읽고 듣고 배울 수 있는 반가운 기회입니다.

진로나 꿈에 대해 자주 캐묻지 않으려고 합니다. 그것들은 물론 자주 바뀌기도 하고, 경험이 한정된 청소년들에게는 흐릿하고 불분명한 것이 당연하기도 하니까요. 원하는 것이 생기면 그쪽으로 한 걸음이라도 걸어봐야 다른 풍경이 보이고, 다음에 할 일이 생각납니다. 왜 꿈이 없냐고 다그칠 일이 전혀 아니지요.

부모나 친척 등 주변 어른들의 직업에 대해서만 듣고 경험할 수 있는 청소년들이 이 책과 영상을 통해서는 8가지 세계를 방문해보듯 즐길 수 있습니다. 현장을 경험한 사람들이 전해줄 수 있는 아주 생생하고 흥미로운 이야기들입니다. 이직을 할 생각이 없는, 퇴직이 가까운 저도 설레며 즐겁게 들었습니다.

물론 어느 분야에서 어떤 직업을 가지든 빛나는 성공을 이뤄야한다는 부담을 느끼는 것은 좋지 않습니다. 훌륭한 저자들을 궁금해하고 부러워하고 하고 싶은 일에 도전해볼 생각이 들고 자신의 미래를 기쁘게 상상해보는 계기가 되면 좋겠습니다. 그래서 스스로 동기부여를 해서 필요한 공부를 덜 힘든 기분으로 할 수 있으면 더 좋겠습니다.

“나는 내 위성을 밤마다 맨눈으로 찾아보곤 한다. 밤하늘에서 반짝이는 저 별들 중 하나가 나의 별인 것이다. 내가 만든 별이 매일 내 머리 위를 하루에 14바퀴씩 지나가다니!”

한국사회는 동기부여를 하는 방식으로 주로 위협과 협박을 사용합니다. 그 협박 방식에는 누군가를 차별하는 내용이 포함됩니다. 공부 안하면 힘든 일 하는 노동자가 된다거나, 인생 실패한 루저가 된다거나, 노숙자가 된다거나... 실제로 학급에 이런 교훈들이 걸린 사진을 여러 차례 보기도 했습니다.

“특수교사를 ‘슬프고 힘든 일’을 겪는 학생을 가르치는 사람이라고 단편적으로 생각하는 것이지요. 특수교사는 꼭 좋은 일만 해야 하는, 언제나 천사 같은 마음으로 살아야 하는 사람이 아닙니다.”

무엇이 되지 않기 위해, 싫어도 참으며 억지로 자신을 괴롭히는 방식으로 사는 것 말고, 무엇이 되기 위해, 기꺼이 혹은 가끔은 즐겁게 노력하고 애쓰는 그런 전환이 확대되면 좋겠습니다. 모두가 성공할 수 없다고 해도, 실패와 시행착오가 있다고 해도, 시작과 과정의 이유와 분위기는 바뀌면 좋겠습니다.

좋은 사회란, 좋은 어른이란, 그런 실패를 경험한 이들을 격려하고 돕고 언젠가 다시 일어설 때 힘이 되어주는 그런 역할을 하는 것이라고 믿습니다.

평범한 행복을 바라는 비범한 가이드북

평범한 어린이가 말하는 모두의 행복 - 열두 살 진짜 사회 수업 ㅣ 우리학교 어린이 교양
이데 에이사쿠 지음, 남수 그림, 정회성 옮김 / 우리학교 / 2023년 6월

‘평범’하고 흔해서 중요한 문제들 - 장애, 편견, 경제적 격차, 입시, 경쟁, 진로, 빈곤, 노인 복지 등 - 이 가득이다. 한 문제를 해결하는 것도 요원한데, ‘행복’까지 찾아가는 어린이 주인공이 눈부시고 뭉클하다.

“다양함을 인정하지 않는 사회 전반적인 인식 때문에 벼랑 끝까지 몰린 사람들이 느끼는 고통과 슬픔이 만들어 낸 결과일지도 모릅니다.”

현실의 여러 문제들을 만들고 심화시키는데 적극 가담하지 않았다고 항변하고 싶지만, 전혀 책임이 없는 것도 아닌 부끄러운 어른이라서 기회가 있을 때마다 방해가 되지 않게 조심하며 뭐라도 돕고 싶은 기분이다.

‘평범한 행복’이 뭐라고 생각하는지 아이들에게 물어 보았다. 뜻밖에 ‘평범한 일상’이라는 대답을 들었다(초등학생은 답변 전). 어른들에겐 9년 전이지만 십 대 아이들에겐 반평생이 넘은 시간 전부터, 한국사회의 큰 비극과 격변을 함께 지켜보았기 때문일까.

“민주주의는 그 자체보다는 진 사람의 편에 서서 그들의 마음을 이해하고 더 나은 방식을 찾는 과정에서 더욱 빛이 납니다.”

내용에서도 배울 점이 많지만, 주인공 어린이가 친구들, 부모님, 선생님과 함께 이야기하는 방식이 가장 부럽다. 한국사회는 지금 분리, 차별, 혐오, 욕설, 막말, 폭력의 전장인 듯도 하다. 내 편과 적 외에는 인간관계가 없는 것처럼.

언어가 사유인 인간은 말과 글을 통해 생각과 의견을 나누고 고민하고 해법을 찾고 공감과 합의에 이르는 방법이 거의 유일하다. 대화가 불가능하고 위축된다면, 편향을 재확인하는 패거리 대화만 성행한다면, 가능성과 희망 대신 흉흉한 침묵이 확대될 것이다. 그건 가해자나 위력자에게만 좋을 일이다.

“자신이 몰랐던 사실을 서서히 알아 가는 과정을 ‘지적 성장’이라고 부릅니다.”

지금 십대들이 어릴 적 나보다 사회 문제에 관한 인식과 관심이 높고 의견도 논리적이다. 행동도 더 많이 한다. 자주 부끄럽다. 내게도 복잡한 계산과 예측되는 가중 부담 대신, 솔직하게 똑바로 문제를 보는 태도가 있었을 것이다.

“경쟁하는 생활에는 승자가 따로 없어요. 경쟁에 뛰어들지 않거나 경쟁에서 지거나 경쟁을 두려워하는 사람만 있을 뿐이지요. 이처럼 힘겨운 생활이 끝도 없이 이어질 거라는 사실을 아이들은 어렴풋이 알고 있어요.”

여전히 그런 분들의 애씀에 기대어, 고마운 것도 대개 잊어버리고, 안온하게 살아간다. 습관과 일상으로서의 학습과 실천을 교육 받지 못하고 연습해보지 못했기 때문일 것이다.

일본인 저자의 책이 어떻게 한국학생들의 교과서와 연계되는지 읽기 전에는 의아하고 궁금했다. 지금은 학교에서 지정도서나 보충 자료로 많이 활용되기를 바란다. 늦어 보이지만 가장 빠르고 확실한 방법이 ‘배움과 실천’이라고 믿는다. 하면 0이 아니다. 쌓이면 힘이 된다.

[100자평] 오늘의 키토 집밥

오늘의 키토 집밥 - 저탄수&키토식하는 당신이 못 먹는 음식이 없도록! 밥, 국, 면은 물론 빵, 케이크, 홈카페 메뉴까지!
키토제닉 다이어트 카페 지음 / 북테이블 / 2023년 6월

올바른 식이요법이 되려면 평생 활용할 수 있어야 하니, 쉽게 구할 수 있는 평범한 재료와 실제 따라할 수 있는 조리법이 중요합니다. 현실밥상 레시피라 반갑습니다. 26만 명 회원들이 활용해보고 출간되었으니 신뢰도 큽니다. 성장 시기는 물론 노후에도 큰 도움이 될 책이라 기대합니다.

기억만이 더 선명해지는 것이 서글프지만

패밀리 트리
오가와 이토 지음, 권영주 옮김 / 알에이치코리아(RHK) / 2023년 6월

‘여름은 곧 릴리, 릴리는 곧 여름’ 내게는 OO은 곧 여름 방학, XX은 곧 겨울 방학인, 의식 같은 반복이 있었다. 학창 시절은 지겹고 힘들기도 했지만, 누가 내게 시험보라는 말을 다시 하지 않는 대신 방학도 영원히 사라진 건 지금도 좀 아쉽다.

“어둠 속에서 별을 올려다보는 우리를 바다가 새까만 눈으로 지켜보고 있다는 생각이 자꾸만 들었다.”

“여름에만 오지 말고 겨울에도 올 순 없어?”

여름휴가가 매번 설레지는 않았다. 무더위 여행은 끔찍하니, 책을 쌓아두고 읽는 휴가 습관은 그렇게 생겼다. 요즘은 당연한 것들이 기쁘다. 여름 음식들 중 하지감자를 매일 먹는 중이다. 왜 아직 맛있을까. 대용량 카레도 두 번 만들었다. 그리운 여름향기 중 하나다.

“기름한 핫도그 빵에 겨자버터를 바르고 장아찌를 끼우는 기쿠 할머니의 수제 샌드위치다. 이날은 노란 단무지와 붉은 차조기로 물들인 가지장아찌가 번갈아 규칙적으로 들어 있었다.”

본 듯도 하고 알 듯도 한 낯선 장소가 그려진 오가와 이토 작가의 작품은 새로운데 익숙하고 모르는데 늘 그립다. 비슷할 리가 없는데, 작품세계로 들어가니 내 추억도 함께 펼쳐진다. 릴리라는 친구도, 밭일하시는 할머니도 안 계셨는데.

의심 없이 사랑하고 사랑받고, 언제나 안전하게 품어준 이들이 있던 시절, 편안했던 공간, 그런 건 어떻게 만들어 내는 걸까. 사람의 품이 장소의 분위기일까. 그렇다면 내가 만든 지금의 집은 어린 누구에게도 편안한 곳일까.

방학이 끝나면 늘 얼마나 컸나, 하고 궁금했다. 그렇게 묻는 어른들도 늘 있었다. 학교에서 배우지 않는 시간에, 어른의 시선이 걷힌 장소에서 아이들은 성장한다는 것을 그때 그분들은 다 알고 계셨던 걸까.

살아 있는 것만으로 충분하니, 설명하고 증명하지 않아도 대단하다고 훌륭하다고, 그렇게 살다 보면 모두에게 좋은 일들이 생기는, 그런 꿈같은 세계를 꿈꿔본다. 모두 다르게 생긴 형형색색의 나무들이 숲을 이루고 함께 살듯이.

“할머니의 밭은 마치 조그맣게 응축된 지구 그 자체 같았다.”

“이렇게 많은 생물 중에서 오로지 인간만이 환경을 파괴하거든.”

혼자서는 살 수 없다는 걸, 나는 내 이전의 모든 이들이 애쓴 삶이 도착한 곳이라는 걸, 안다고 생각한 몰랐던 진실을 작품 속에서 그립게 만나 다시 배운다. 이제는 사라진 장소들이 사람만큼 그립다.

“오래오래 잊지 않고 기억해 주는 것도 중요하지만 그만 잊고 놓아 주는 것도 필요해.”

“할머니의 몸이 투명해진 만큼 윤곽은 오히려 더 뚜렷해져 밤하늘의 별처럼 빛나기 시작했다. 게다가, 하고 나는 생각했다. 기쿠 할머니의 영혼은 나와 릴리가 분명히 이어받았다.”