[오늘의 한문장] 괴델, 에셔, 바흐

바흐는 듣는 사람의 코앞에서 전조(調)하도록, 즉 한 조에서 다른조로 바뀌도록 곡을 만들었다. 그래서 그 카논은 "종결부가 다시 곡 전체의 클발부와 부드럽게 맞물리도록 구성되어 있다. 따라서 그 과정을 반복해서 다시 출발부와 연결하기만 하면 E단조에 도달할 수 있다. 연속적인 전조는 듣는 이의 귀를 조성으로부터 점점 멀어지게 해서, 전조를 몇 번 거치고 나면 이제는 출발 당시의 조와는 절망적으로 멀어진 것을 알게 된다. 그런데 정확하게 여섯 번의 전조를 통하여 마치 마법처럼 원래의 조인 C단조로 복귀된다! 모든 성부는 출발 당시보다 정확히 한 옥타브 높아지고 이 지점에 이르면 그 곡은 음악적으로 납득할만한 방식으로 종료될 수 있다. 능히 상상할 수 있듯이 그것이 바로 바흐의 의도였다. 그러나 바흐는 의심의 여지없이 이 과정이 무한으로 진행될 수 있다는 함축성에 매료되었고 아마 그래서 악보 가장자리에 다음과 같이 써놓았던 것이다.
"전조가 상승할수록 전하의 영광 또한 높아지리라!" 전조의 잠재적 무한성을 강조하기 위해서 나는 이 카논을 "무한히 상승하는 카논"으로 부르고자 한다.
이 카논에서 바흐는 우리에게 이상한 고리(strange loop)라는 개념의 첫 번째 보기를 제공한다. "이상한 고리"라는 현상은 위계체계의 층위들에서 위 또는 아래)로 움직이다가 예기치 못하게 출발점에 돌아와 있다는 것을 발견할 때마다 발생한다. (여기서 체계는 음악의 조성[性]이다.) 나는 종종 이상한 고리가 발생하는 그런 체계를 기술하는 데에 뒤엉킨 계층질서(Tangled Hierarchy)라는 용어를쓴다.  - P13

자신이 하고 있는 일에 관해서 가장 명백한 사실들조차도 결코 인식하지 못하는 방식으로 판에 박힌 일을 하도록 기계를 프로그래밍하는 것은 가능하다. 그러나 자신이 하고 있는 일들에 관한 어떤 사실들을 알아차리는 것은 인간의식에 본질적이다. 그러나 당신은 이것을 처음부터 알고 있었다. 당신이 휴대용 계산기에 1을 입력하고 그리고 "1"을 더하고 또 1을 더하고, 더하고 더하고몇 시간 동안 그렇게 계속해도 그 계산기는 당신의 다음 행동을 예측해서 스스로 그것을 하는 것을 결코 배우지 못할 것이다. 사람이라면 반복되는 행동을 재빨리 파악할 텐데 말이다. 또는 좀 우스운 예를 들면, 차 주인이 아무리 오랫동안 또는 운행을 잘 해도 자동차는 차 주인이 도로 위에서 다른 차나 장애물에충돌하지 않도록 운전했다는 생각을 결코 하지 못할 것이며 또한 차 주인이 가장 자주 다니는 노선조차도 배우지 못할 것이다.
그렇다면 차이는 기계는 관찰력 없이 행동하는 것이 가능하고 사람은 관찰력없이 행동하는 것이 불가능하다는 점이다. 그러나 내가 모든 기계가 필연적으로정교한 관찰을 할 수 없다고 말하는 것은 아니라는 점에 유의하라. 그렇지 않은기계도 있다. 모든 사람이 항상 정교한 관찰을 한다고 말하려는 것도 아니다.
사실 사람들도 종종 매우 관찰력 없이 행동한다. 그러나 기계는 완전히 관찰력이 없도록 만들 수는 있지만, 사람은 되지 않는다.  - P50

********* 사실 인간사에서 사물들을 "체계 안"과 "체계 바깥으로 깔끔하게 가르는 것은 거의 불가능하다. 삶이란 서로 얽히고설킨 그리고 때로는 일관성이 없는 수많은 "체계들로 이루어져서 사물들을 두 가지 방식으로 고찰하는것은 지나친 단순화인 것 같다. 그러나 좀더 복잡한 아이디어를 생각하는 데에모델로 이용할 수 있도록 단순한 아이디어를 아주 명확히 공식화하는 것은 때로 중요하다. 그것이 바로 여러분에게 형식체계를 보여주고 있는 이유이다.  - P52

수학의 목표는 언제나 명백하지 않은 명제에 대하여 엄격한 증명을 제시하는 것이다. 단계들이 엄격한 방식으로 서로 연결되어있다는 사실은 이 명제들을 함께 묶는 패턴화된 구조(patterned structure)가 있을수도 있다는 것을 암시한다. 이 구조는 수에 대한 명제를 표현하는 데에만 적합하도록 만들어진 새로운 어휘, 즉 기호로 구성되어 있고 양식화된 어휘를 찾을경우 가장 잘 파악할 수 있다. 그러고 나면 우리는 그 증명을 기호로 번역된 상태에서 관찰할 수 있다. 증명은 일련의 명제들인데, 한 줄씩 한 줄씩 검증할 수있는 방식으로 연관되어 있다. 그러나 그 명제들은 적은 수의 양식화된 일련의기호들로 표현되기 때문에 패턴의 양상을 띤다. 달리 말하면, 그 명제들을 큰 소리로 읽을 경우에는 언뜻 수와 수의 속성에 대한 명제 같지만, 종이 위에 쓰여 있는 것을 볼 경우 추상적인 패턴으로 보인다. 그리고 한줄 한줄 이루어진 증명구조가 몇 가지의 활자형 규칙에 따라서 패턴을 서서히 변형시키는 것처럼 보일것이다. - P80