미분개미라는 가상의 실험도구를 고안해 미분을 쉽게 설명한 책

개미가 알려주는 가장 쉬운 미분 수업 - 미분부터 이해하면 수학공부가 즐거워진다
장지웅 지음, 김지혜 감수 / 미디어숲 / 2021년 6월

대학을 졸업할 즈음에 비로소 고교 수학의 중요성을 알았다고 하는 저자의 책이다. 저자는 미분을 이해하는 것을 시 이해, 그림 이해와 같은 차원이라고 설명한다. 수학 특히 미분은 기호 이해가 필수다. 책 제목은 ‘개미가 알려주는 가장 쉬운 미분 수업’이다. 이 개미는 생각실험에 등장하는 가상의 개미 즉 미분 개미다.

개미는 산을 오른다. 종(鐘)을 뒤엎어놓은 것 같은 산을 개미가 오른다. 오를수록 즉 위치가 변할수록 개미가 순간적으로 느끼는 경사도에는 차이가 난다. 각 지점에서 접선의 기울기를 계산하는 것이 미분과 관련이 있다. 곡선의 모양을 기울기의 값으로 묘사하는 것이 미분의 언어로 곡선을 표현하는 방식이다.

개미가 오르는 산은 모양이 제각각이다. 뾰족하게 생긴 것, 오르락내리락 하는 것, 한없이 올라가야 하는 것, 완만하게 올라가는 것, 급격한 내리막길 등등..개미가 넘어야 하는 산의 모양을 그래프라 한다. 미분 수업은 다양한 함수가 주어졌을 때 접선의 기울기를 어떻게 찾을 것인지를 탐구하는 것을 배우는 것이다.

미분 이야기에 등장하는 대부분의 함수 그래프는 곡선이다. 즉 반드시 곡선인 것은 아니라는 말이다. 직선의 기울기가 음수인 경우도 있다. 내려가는 길이다. 미분 개미는 평행선을 걷기도 한다. 평행선의 기울기는 0이다. 좌표상의 수치를 이용해 위치를 파악하는 것이 GPS 개미다.

특정 점에서의 접선의 기울기를 미분계수라 하고 모든 점에서의 미분계수를 모아서 그래프로 표현한 함수를 도함수(導函數)라 한다. 이차함수는 볼록하고 삼차함수는 오르락내리락 한다. 정상을 기준으로 왼쪽면은 미분개미 입장에서 일정한 오르막 경사를 느끼게 하고 오른쪽면은 내리막 경사로 느끼게 한다.

상수(常數)를 미분하면 0이 되고 일차함수(직선)를 미분하면 주어진 함수의 기울기 그 자체가 되며 이차함수를 미분하면 직선 모양의 도함수가 나오고 삼차함수를 미분하면 이차함수 모양의 도함수를 갖는다. 기하급수적으로 증가하거나 감소하는 상황을 지수 함수로 표현한다. 미분개미는 왼쪽으로 이동할수록 즉 0에 한없이 가까워질수록 그래프 위를 따라 절벽을 오르는 느낌을 받을 것이다. GPS 미분개미의 y 좌표값은 한없이 커질 것이다. 이를 lim(무한대 기호)로 표현할 수 있다.

미분을 소개하는 대부분의 수학, 과학 서적은 미분이란 변화를 다루는 개념이라 설명한다. 미분방정식으로 설명할 수 있는 자연이란 일반적인 물리현상을 말한다. 스프링 끝에 매달린 물체는 아래로 잡아당긴 후 놓을 경우 시간에 따라 어떻게 움직이다가 멈추게 될까? 매우 뜨거운 강철을 차가운 물에 갑자기 담글 때 강철의 온도는 시간이 흐름에 따라 어떻게 변화할까? 비행기 날개 주변의 공기흐름은 어떤 모습일까? 등을 미분방정식으로 설명할 수 있다.

미분 관련 문제는 온실 속의 미분 문제와 야생의 미분 문제로 구분된다. 미분을 잘하는 것은 간단한 함수뿐만 아니라 좀 더 복잡한 함수가 주어지더라도 당황하지 않고 문제를 해셜할 수 있는 자신감을 갖는 상태다. 복잡한 형태의 미분 즉 야생의 미분 문제를 공략하기 위해서는 다양한 미분 도구를 정확하게 사용할 수 있어야 한다.

저자의 책은 적분까지 다루었다. 미분과 적분은 전혀 관련 없이 보이지만 둘은 놀랍게도 매우 밀접하게 연결되어 있다. 미분을 설명할 때 수식이 많으면 가독성이 떨어지고 수식을 배제하면 미분의 주변부만 살피는 공허한 작업이 되기에 그 관계를 잘 파악해 최적의 부분을 찾는 것이 필요하다. 저자의 책은 미분개미라는 가상의 도구를 사용해 쉽게 설명을 시도한 책이다.