양자역학 단상 조금

양자역학의 파동함수 를 처음 대면하고서 생긴 당혹감은 여전히 진행중이다. 아무래도 파동함수의 확률부분, 기대값, commutator relation, superposition 이런 것들이 딱딱 구분지어져 머리에 남기기가 어려운 거 같다. 슈뢰딩거 방정식과 고유함수들, 연산자들이 미시세계를 드러내는 물리적 수단이라면, 이 수단을 물 흐르듯이, 무엇인가 스토리 라인이 있는 것처럼, 정리해서 이해하는 것은 안 쉬운 거 같다.

이런 대면대면함을 또 텐서와 미분기하학에서 만난다. 곡면을 다루는 영역에서는 일반수학의 미적분과는 다른 희안한 대상들이 등장한다. 정확하지는 않지만 점을 기반으로 하는 수학에서 곡면을(일반화하면 다양체) 기반으로 대상이 바뀌기 때문이다. 차원이 늘어서 생기는 복잡함에다 이전에 생각지도 못한 전혀 생소한 곡면의 정의까지 포함시켜 또다시 시원스럽게 정리되지 않게 된다.

아마, 양자역학의 어려움도 같은 이유에 기인할 것이다. 결정적인 방식과 확률적인 방식의 차이다. 거시세계에서 통하는 물리가 아마도 점을 기반으로 하는 수학인거 같고, 미시세계에서 통하는 물리는 파동성과 입자성을 함께 기술하고 확률적인 부분까지 통합시키는 수학이기 때문이다.

그렇게 파동성과 입자성을 함께 기술하는 함수가 파동함수고, 이 파동함수의 물리적 의미를 내리는 방식이 파동함수속 허수부분과 실수부분에 대한 적당한 취합이 확률부분일 것이다.

이미지는 이렇지만, 수학적으로 물 흐르듯이 정리하기는 아직 애매한 부분이 있는 거 같다.

1차 텐서와 2차 텐서 간 엄청난 차이와 공통점

미분 기하학을 둘러싼 여러 책들의 기술방식은 정말 상상을 초월한다. 텐서 책의 그 수식전개에 집중한 간결하면서 수고스러운 방식과 미분기하학 책의 곡면 기하학을 다루는 방식은 거의 정반대로 보일 지경이지만, 슬프게도 혹은 다행스럽게도 연결고리들이 확고하게 자리잡고 있다.

텐서책은 0차 텐서(스칼라), 1차 텐서(벡터), 2차 텐서, 고차 텐서 식으로 쉬워 보이는 길을 순조롭게 진행시켜 간다. 그러나 1차 텐서와 2차 텐서 사이에는 웬만한 미분 기하학책 반 이상의 분량이 압축되어 있다. 알맹이만 취해서 표현한 것이 2차 텐서에 관한 텐서책 내용이다.

2차 텐서의 표현(일단 정의만 생각해보면)은 간단하지만 담긴 기하학적 내용은 분량이나 질적인 면에서 책한권의 몇장에 해당되는 내용이다.

텐서를 쉽게 받아들이기 어려운 것에는 충분한 이유가 있었다.

미분기하학 조금

한참전에 미분기하학책을 2권 구입했다.

바렛 오닐과  쇼시치 고바야시의 책이다.

배송와서 처음 봤을 때 인상은, 엄청나게 수학책 같다는 느낌이었다. 선형대수나 텐서를 다룬 책들을 좀 보기 전이기는 했지만, 그렇게 반갑지는 않았다.

일반 상대성이론 수식을 따라 가보려고 하틀 책이나 텐서 책을 좀 보니까, 얼마나 물리에 가까운 수학책인지 알 수 있었다. 물론, 아마존 서평들을 보면, 순수 수학에 관심이 가는 사람에게는 추천하고 싶지 않다는 말들이 있긴 했지만 말이다. 수학과 물리 양측에서 물리에 훨씬 가까운 책이라는 것을 책을 읽으면서 많이 느끼고 있다. 바렛 오닐의 책을 보고 있는 중이다. 쇼시치 고바야시의 책은 책장 어디에 숨었는지 잘 보이지 않고 있다.

하틀 책이나 Schaum's Outline Series 텐서 책의 수식과 논리 전개만으로는 심심하고 답답하고 깊게 이해하지 못하는 나에게, 역설적으로 정의와 보조정리로 가득찬 전형적인 수학책같은 이 책이 엄청나게 어필하고 있다. 상대성이론의 기하학의 기초가 쉽게 정교하게 기술되어있어 보인다.

구입할 때는 나름 쉽게 구할 수 있었는데, 둘 다 지금은 절판되거나 중고책한두권만 남은 거 같아 아쉽다.

미분 기하학 내용 얘기는 잘 공부하고 정리해서 하나씩 올리고, 지금은 설명과 예제 이해만으로도 작은 기쁨을 만끽하는 중이다.

텐서와 미분기하학 단상 1

텐서가 등장하는 몇몇 책들을 통독하는 중이다. 텐서를 중심으로 설명하는 책도보고,

상대성이론을 중심으로 놓은 책도 있고,

다양체를 수리물리 관점에서 접근한 책도 있다.

다들 텐서를 중요한 도구로 활용한다는 공통점은 있지만, 텐서를 둘러싼 분위기는 무척 다르다. 

아마존 후기를 하나 인용하면(상대성 이론을 대상으로 하지만 미분 기하학으로 넓혀도 될거 같다),

In their 1279-page book "Gravitation," Misner, Thorne and Wheeler emphasize that the student of general relativity must master differential geometry on three different levels: (1) a pictorial level that reflects deep geometric intuition; (2) a conceptual level where equations may be expressed in coordinate-free or frame-independent notation; and (3) a computational level in local coordinates, which involves acquiring skill with the "debauch of indices" computations that are so characteristic of the subject, especially in the physics literature.

<Tensor Calculus> 의 저자 David C. Kay 는 오랜 기간 텐서를 가르쳐본 결과, 풍부한 물리적, 공학적 이해가 중요하지만, 텐서 수식을 충분히 연습하지 않으면, 큰 도움이 될 수 없다고 하면서 충분한 연습을 강조한다.

텐서가 등장하는 다차원 기술 이란 관점에서, 특별히 정도는 없는 거 같다. 미분기하학을 자신이 원하는 물리대상에 써먹는 과정은 단순하지 않은 일이고, 여러 충고, 도움과 격려로도 모자라면 모자랐지 남지는 않는 일이기 때문이다.

그래도 나한테는 Wald 의 책이 가장 속 시원했다. 하지만, Wald 는 미분기하학을 전제로 하고 글을 진행하기 때문에, 저자가 독자에게 바라는 배경지식을 갖추려면 위 다른 책들을 읽고 자극을 받아야할 거 같다.

미분기하학은 또, 어느 정도의 선형대수 경험을 요구한다. 괜찮은 선형대수 책은

도시 이야기

최근 미국 재건기(남북전쟁후 1900년까지)에 관한 <American Colossus>를 흥미롭게 읽고 있다. 미국전역에 자본주의 바람이 부는 모습을 인상적으로 잘 잡아내는 책이다. 특별히, 다른 미국사에서는 보기 힘든, 미국 도시 성장에 대한 묘사가 매우 훌륭한데, 도시를 통해 볼 수 있는 미국인의 정서를 제대로 느낄 수 있었다.

시카고에 대한 부분을 막 읽었다. 물류와 이민자들의 유입으로 미국은 전통적으로 해안이나 강변에 도시가 기원하고 성장했는데, 시카고를 기점으로 새로운 형태의 도시가, 본격적으로 성장하기 시작한 자본의 힘과 도움과 과시 덕택에,  내륙 지역에 자리잡기 시작했다고 얘기한다. 그리고, 1879년 대화재로 도시 대부분이 잿더미로 변한 시카고가 자본가에 의해 현대적인 도시로 성장하는 모습은, 유럽이나 중국의 도시 성장과는 너무나도 대비되는 형태덕분에, 추측하기 힘들었던 미국인의 정서의 어떤 부분을 알아차리게 해주었다.

유럽인(너무 포괄적이기는 하지만)의 정서는, 우리와 다른 형태기는 하지만, 일종의 전통과 현대의 조화라는 면으로 보이는 모습이 있다고 생각된다(순전히 내 생각이기는 하지만).

이런 종교적이면서 오래된 내면의 역사를 보존한 토대도시문화를 간직하고 있으리라고 생각한다. 동아시아 문화는 또 약간 다르긴 하지만, 특유의 중앙집권을 숭상하는 분위기속에 오늘날까지 보존되는 전통과 현대의 조화가 도시에 남아 있다고 보인다.