양자역학의 파동함수 를 처음 대면하고서 생긴 당혹감은 여전히 진행중이다. 아무래도 파동함수의 확률부분, 기대값, commutator relation, superposition 이런 것들이 딱딱 구분지어져 머리에 남기기가 어려운 거 같다. 슈뢰딩거 방정식과 고유함수들, 연산자들이 미시세계를 드러내는 물리적 수단이라면, 이 수단을 물 흐르듯이, 무엇인가 스토리 라인이 있는 것처럼, 정리해서 이해하는 것은 안 쉬운 거 같다.
이런 대면대면함을 또 텐서와 미분기하학에서 만난다. 곡면을 다루는 영역에서는 일반수학의 미적분과는 다른 희안한 대상들이 등장한다. 정확하지는 않지만 점을 기반으로 하는 수학에서 곡면을(일반화하면 다양체) 기반으로 대상이 바뀌기 때문이다. 차원이 늘어서 생기는 복잡함에다 이전에 생각지도 못한 전혀 생소한 곡면의 정의까지 포함시켜 또다시 시원스럽게 정리되지 않게 된다.
아마, 양자역학의 어려움도 같은 이유에 기인할 것이다. 결정적인 방식과 확률적인 방식의 차이다. 거시세계에서 통하는 물리가 아마도 점을 기반으로 하는 수학인거 같고, 미시세계에서 통하는 물리는 파동성과 입자성을 함께 기술하고 확률적인 부분까지 통합시키는 수학이기 때문이다.
그렇게 파동성과 입자성을 함께 기술하는 함수가 파동함수고, 이 파동함수의 물리적 의미를 내리는 방식이 파동함수속 허수부분과 실수부분에 대한 적당한 취합이 확률부분일 것이다.
이미지는 이렇지만, 수학적으로 물 흐르듯이 정리하기는 아직 애매한 부분이 있는 거 같다.