원리와 응용을 쉽게~~

볼츠만이 들려주는 열역학 이야기 ㅣ 과학자가 들려주는 과학 이야기 44
정완상 지음 / 자음과모음 / 2010년 9월

예를 들어서 매우 쉽게 열에 관한 개념을 알려주는 책이다. 그렇게 알게 된 원리를 다시 응용사례를 들어서 확인할 수 있다. 그런 점에서 교과서적인 지식을 습득하는 데 무척 도움이 된다. 호수의 물이 얼지 않는 이유가 물의 열팽창이 특이하기 때문이라는 사실은 무척 흥미로웠다. 물의 비열이 비교적 높기 때문에 몸의 온도가 잘 변하지 않는다는 사실도 알게 되었다.

온도가 높은 물질에서 온도가 낮은 물질로 이동하는 에너지를 열이라고 부릅니다...그리고 이때 이동한 열의 양을 열량이라고 하며, 단위로는 칼로리(cal)를 사용합니다. 따라서 1cal의 열은 물 1g을 1℃ 높이는 데 필요한 열량을 말한답니다. 그러므로 다음 사실을 알 수 있습니다. 열량은 물질의 질량에 비례한다. 열량은 온도 변화량에 비례한다.

모든 물질 1g을 1℃ 높이는데 1cal의 열량이 필요한 것은 아닙니다. 예를 들어 철 1g을 1℃ 높이는데 필요한 열량은 1/8cal입니다. 이때 1/8을 철의 비열이라고 합니다. 따라서 다음과 같은 공식을 얻을 수 있습니다. 열량=비열×질량×온도 변화
즉 1cal의 열로 물 1g은 1℃ 높일 수 있지만, 철 1g은 8℃ 높일 수 있습니다. 이렇게 같은 질량의 두 물체에 같은 열량을 공급해도 비열이 작을수록 온도 변화가 크다는 것을 알 수 있답니다. 이것은 비열이 작은 물질에는 열을 잘 흡수하는 성질이 있기 때문입니다. 이를테면 물보다는 철이 열을 잘 흡수하여 분자들의 운동이 더 활발해지기 때문에 온도가 더 많이 올라가는 것이죠. 다른 물질에 비해 비열이 큰 편에 속하는 물은 온도가 잘 변하지 않는답니다. 사람의 경우도 몸의 온도가 잘 변하지 않는 것은 몸의 70%가 물로 이루어져 있기 때문이지요.

열에 의해 물체의 길이가 늘어나는 것을 열팽창이라고 합니다. 왜 열팽창이 일어날까요? 온도가 높아지면 분자들의 운동이 활발해지기 때문이지요. 이를테면 온도가 높을수록 분자들 사이의 거리가 멀어지기 때문에 분자로 이루어진 물질들은 길어지게 되지요...하지만 같은 열을 공급해도 잘 늘어나는 물질이 있고 그렇지 않은 물질도 있습니다. 이때 비례 상수를 열팽창 계수라고 하는데, 이 계수가 클수록 열팽창이 잘되는 물질입니다. 그러므로 열팽창의 공식은 다음과 같지요. 늘어난 길이=열팽창 계수×처음 길이×온도 변화
대부분의 액체는 온도가 올라갈수록 팽창하여 부피가 커집니다. 하지만 물은 이상한 방식으로 열팽창을 합니다. 물은 4℃이상 온도가 오르면 팽창합니다. 온도가 4℃이하로 내려가도 팽창을 하지요. 즉 물은 4℃일 때 부피가 제일 작고, 온도가 그보다 커지거나 작아지면 부피가 커지게 되지요. 부피가 작다는 것은 밀도가 크다는 것을 말합니다. 밀도는 물질의 질량을 부피로 나눈 값입니다. 그러므로 부피가 작으면 밀도가 커지지요. 따라서 온도가 4℃일 때 물의 밀도가 가장 큽니다...밀도가 작은 물질과 밀도가 큰 물질이 함께 있으면 밀도가 작은 물질이 뜨게 된답니다....밀도가 큰 물질은 밀도가 작은 물질에서 가라앉습니다. 우리는 4℃일 때 물의 밀도가 가장 크다고 했습니다. 온도가 4℃인 물과 다른 온도의 물을 섞으면 온도가 4℃인 물이 무거워 밑으로 가라앉게 됩니다.

물체를 통해 열이 직접적으로 전달되는 것을 전도라고 합니다...열의 전도가 일어나려면 분자들 사이의 거리가 가까워야 합니다. 즉, 열의 전도는 주로 고체 상태의 물질에서 이루어지지요.
액체나 기체에서는 열이 어떻게 전달될까요? 이때의 열의 전달 방식을 대류라고 합니다.... 액체나 기체는 분자들이 멀리 떨어져 있지요. 그러니까 분자들이 열을 전달하기 위해서는 조금 더 움직여야 해요.
열의 전도와 대류는 분자들에 의해 열이 전달됩니다. 하지만 태양의 뜨거운 열이 지구로 오는 과정을 보면, 태양과 지구 사이에는 아무것도 없는데 어떻게 태양열이 지구로 와서 지구를 뜨겁게 해 줄까요?....뜨거워진 물체는 빛을 방출합니다. 그 빛을 받은 물체가 빛의 에너지를 흡수하여 뜨거워지는 것이 바로 복사이지요.

증발은 액체가 열을 공급받아 기체가 되는 과정입니다. 반대로 기체가 열을 빼앗겨 액체로 되는 과정을 응축이라고 합니다...구름이나 안개가 만들어지는 것도 바로 이러한 응축 현상이지요.
어떤 물질은 액체 상태를 거치지 않고 고체에서 기체로 또는 기체에서 고체로 변하는데, 이런 현상을 승화라고 하지요. 승화를 일으키는 대표적인 물질은 드라이아이스입니다. 드라이아이스는 사실 고체 상태의 이산화탄소를 말합니다. 이산화탄소는 -78℃에서 고체인 드라이아이스가 되는데, 이것이 열을 받으면 액체를 거치지 않고 곧바로 기체인 이산화탄소가 됩니다...눈에 보이는 김은 공기 중의 수증기가 차가운 드라이아이스와 접촉하여 응축되어 만들어진 물방울...기체 이산화탄소는 눈에 보이지 않습니다.

열과 역학적 에너지 사이의 관계를 다루는 물리를 열역학이라고 합니다...물질 속에 있는 모든 에너지를 통틀어 물질의 내부 에너지라고 합니다. 열을 이용하여 움직이는 기관을 열기관이라고 하지요.
열역학 제1법칙 : 열기관에 열을 공급하면 같은 양의 다른 형태의 에너지로 바뀐다.
열기관에 공급한 열=내부 에너지의 증가+열기관이 한 일
외부에서 열의 공급이 없어도 기체가 팽창하거나 수축하면 온도가 변합니다. 이렇게 외부에서 열이 공급되지 않는 과정을 단열 과정이라고 합니다. 이 경우 열기관에 공급한 열은 0이 됩니다. 다음과 같은 열역학 제1법칙으로 나타낼 수 있지요. 0=내부 에너지의 증가+열기관이 한 일 이때 열기관이 한 일이 (+)이면 내부 에너지의 증가가 (-)이므로 내부 에너지는 감소하고, 열기관이 한 일이 (-)이면 내부 에너지의 증가가 (+)이므로 내부 에너지는 증가합니다.
열역학 제1법칙은 에너지 보존 법칙입니다. 다시 말해 물질이 받은 에너지는 다른 종류의 에너지로 바뀌지만 모든 에너지의 합은 변하지 않는다는 거죠...따라서 외부로부터 에너지의 공급 없이 물체가 저절로 움직이는 일은 없습니다. 옛날 사람들은 외부 에너지의 도움 없이 저절로 움직이는 기관을 생각해 냈는데, 그것을 제1종 영구 기관이라고 합니다. 물론 열역학 제1법칙에 따르면 그런 기관은 만들 수 없지요.

엔트로피는 ‘~로 변하다’라는 뜻을 가진 그리스어 ‘엔트로페’에서 나온 말이지요. 엔트로피란 무질서한 정도를 나타내는 양입니다. 즉 무질서할수록 엔트로피가 크다고 말합니다. 2개의 서로 다른 알갱이를 섞었을 때 골고루 섞여 있는 상태가 가장 자연스러운 상태입니다...자연은 바로 확률이 높은 상태를 택하게 됩니다. 그러므로 두 물질이 섞이는 반응은 엔트로피가 커지는 방향으로 진행됩니다.

자연에서의 어떤 과정은 한 방향으로만 진행이 되고, 그 반대 방향으로의 과정은 저절로 일어나지 않습니다. 이것이 바로 열역학 제2법칙이지요. 그럼 어떤 방향으로 반응이 일어날까요? 열역학 제2법칙은 엔트로피 증가의 법칙입니다. 모든 반응은 엔트로피가 증가하는 방향으로 진행된다. 즉, 엔트로피가 점점 커져 최대가 될 때까지 반응이 이루어집니다.
모든 열기관은 높은 온도의 열원과 연결되어 있습니다. 이때 높은 온도의 열원에서 열기관으로 열이 흐르게 되지요. 그 열의 일부를 열기관은 일로 바꿉니다. 그리고 남은 열을 온도가 낮은 주위로 내보냅니다. 이것을 식으로 나타내면 열기관이 받은 열=열기관이 한 일+열기관이 방출한 열 모든 열기관은 자신이 받은 열을 모두 일로 바꿀 수 없습니다. 이때 열기관이 받은 열 중 열기관이 한 일의 비율을 열기관의 효율이라고 합니다. 즉, 효율이 100%인 열기관은 존재하지 않지요. 만일 그런 기관이 있다면 그것은 열역학 제2법칙에 위배되는데, 그런 기관을 제2종 영구 기관이라고 합니다. 물론 그런 영구 기관은 만들 수 없습니다.

볼츠만(1844~1906)
기체 분자의 운동에 관한 맥스웰의 이론을 발전시켜 맥스웰-볼츠만 분포를 정의했고 여기서 통계 역학의 기초가 되는 볼츠만 방정식을 발견했다. 또한 흑체의 복사에 대한 슈테판의 법칙을 열역학 이론으로 해석하여 슈테판-볼츠만 법칙을 발견했다. 열역학 제2법칙을 원자론을 바탕으로 설명하여 엔트로피의 개념을 통계적으로 밝히자 에너지론자들의 공격을 받았다. 볼츠만의 묘비에는 볼츠만이 발견하고 볼츠만 상수를 발견한 플랑크에 의해서 완성된 확률과 엔트로피 사이의 관계식이 새겨져 있다.

나에게 믿음이란

믿는다는 것 - 이찬수 선생님의 종교 이야기 ㅣ 너머학교 열린교실 6
이찬수 지음, 노석미 그림 / 너머학교 / 2011년 12월

믿음은 집중력이다

지금 나는 졸리고 피곤해서 눕고 싶고 자고 싶다. 그런데 내가 졸리고 피곤하다는 사실을 분명하게 아는 순간, 갑자기 졸음이 가시고 몸이 상쾌해진다. 무언가를 분명하게 아는 순간 변화가 일어나는 것이다. 나는 왜 졸리고 피곤한데 누워서 자지 않았는가. 자고 나면 졸리지도 않고 피곤하지도 않을 텐데 말이다. 나는 무엇을 바라기 때문에 일찍 일어났으며 졸려도 자지 않는 쪽을 선택했는가. 나는 마술을 보면서 그것을 알고 싶다는 바람을 가졌다. 그런 바람(희망, 꿈)이 있기 때문에 집중력을 가지게 되었고, 그런 집중력이 바로 믿음인 것 같다. 그런 믿음이 졸음과 피곤함마저 이겨내게 한 것 같다. 믿음은 어떤 한계를 뛰어넘게 만드는 힘이 있는 것 같다.

믿음에는 한계가 없다

믿음은 지금 당장의 현실만을 보는 게 아니라 좀 더 멀리 그리고 좀 더 깊이 보게 하는 힘이 있다. 그래서 지금의 한계를 인정하지만 그 한계에 갇히지 않고 조금 더 나아갈 수 있다. 그러다보면 어디까지 갈 수 있을 지 그 한계를 알 수 없다. 한계는 자신이 정하는 것이지 처음부터 정해져 있는 것은 아니기 때문이다. 성경에서 사도 바울은 믿음과 소망과 사랑은 영원히 있는데 그 중에 제일은 사랑이라고 했다. 왜냐하면 언젠가 꿈이 이루어지면 더 이상 믿음과 소망은 필요가 없지만 사랑은 마지막까지 사라지지 않고 남기 때문이다. 하지만 꿈을 이루기 전에는 믿음과 소망은 반드시 필요하다는 말이기도 하다.

믿음은 노력하는 과정이다

졸리고 피곤할 때 편한 것을 좋아하고 바라는 사람이라면 그냥 잘 것이다. 그리고 자고 나서 만족할 것이다. 그러나 다른 것을 바라고 좋아하는 사람이라면 그것만으로 만족할 수 없을 것이다. 사람마다 바라는 것이 다르기 때문에 사람마다 느끼는 행복도 다를 수밖에 없다. 그러나 누구나 자신의 행복을 찾기 위해서는 자신을 믿어야 한다. 자신을 믿는다는 것은 자신이 해낼 때까지 노력할 것임을 믿는 것이다. 그리고 노력하는 과정이 자신이 행복할 수 있는 길임을 믿는 것이기도 하다. 해내든 해내지 못하든 그 과정에서 행복을 발견하는 사람만이 자신을 믿을 수 있다.

믿음은 사랑하고 바라는 것이다

나는 우리 가족이 건강하고 행복하기를 바란다. 각자 자신의 꿈을 이루었으면 좋겠다. 나는 바라기 때문에 믿는다. 믿는다는 것은 노력한다는 것이다. 노력한다는 것은 집중한다는 것이다. 집중한다는 것은 안다는 것이다. 안다는 것은 자신이 무엇을 알고 무엇을 모르는지를 아는 것이다. 공자는 아는 것을 안다고 하고 모르는 것을 모른다고 하는 것이 아는 것이라고 했다. 믿는다는 것은 내가 아는 것을 바탕으로 모르는 것을 향해 나아가는 것이다. 내가 아는 것만 알고 모르는 것을 알려고 하지 않거나 모르는 것을 안다고 생각하면 사랑하고 바라는 것을 결코 이룰 수 없기 때문이다.

온전한 믿음은 어떤 가치나 사실을 확실하게 받아들이고 있는 내적 상태이자, 적절한 이해, 건강한 지성, 희망적 기대, 용감한 결단 등이 종합적으로 만들어낸 사건입니다. p.101

신이 모든 곳에 있다는 말이 신이 ‘하나’, 즉 유일신이라는 말의 핵심입니다. 신이 하나라는 말은 단순히 여러 가지 것 중의 하나라는 뜻이 아닙니다. 그것은 ‘전체’를 의미하는 말입니다. p.110

모든 것이 신 안에 있으니 그 신은 모든 것의 근원이 됩니다. 비유하자면 신은 자연법칙과도 같습니다. 사람들은 바람에 나뭇가지가 흔들리고 시시각각 구름의 이동 모습을 관찰하고서 모든 것은 자연법칙에 따른다고 말하지만, 그렇게 관찰하고 말하는 사람의 눈과 귀까지도 자연법칙에 따릅니다.... 마찬가지로 신은 경험의 대상이기도 하지만, 그런 경험을 가능하게 해 주는 주체이기도 합니다. 경험의 대상은 일부나마 말로 표현해 볼 수 있겠지만, 경험의 주체이기에 그 말 안에 다 담을 수가 없습니다... 눈에 보이고 귀에 들리는 대상이 아니라, 도리어 그렇게 보고 듣는 주체에 가까운 분이기 때문입니다. p.113

왜, 무엇을, 어떻게 탐구하는가

탐구한다는 것 - 남창훈 선생님의 과학 이야기 ㅣ 너머학교 열린교실 2
남창훈 지음, 강전희 외 그림 / 너머학교 / 2010년 5월

탐구한다는 것의 의미를 과학자인 저자의 경험 속에 녹여 풀어놓고 있다. 저자가 연구하는 분야가 몹시 흥미로왔다. 박테리오파지라는 박테리아를 숙주로 삼아 기생하는 세균이 박테리아 속으로 들어갈 때 일어나는 일을 연구하는데 항암제나 항체를 개발하는 실험과 관련있다.

탐구한다는 것은 우선 질문하는 것이다. 질문은 의심하는 것이고 상상력이기도 하다. 이 탐구를 하기 위해선 지식이라는 지도가 필요하지만 잘못된 지도는 통째로 고칠 수도 있어야 한다. 탐구는 모방에 가깝기도 하다. 박테리오파지를 이용해 항체를 만드는 과정이 그렇다. 그러나 탐구로 자연을 정복한다는 발상은 위험한 것이며 탐구는 인간과 자연의 올바른 관계를 밝히고 그 관계를 회복하고 공생하는 방법을 찾기 위한 활동이다. 인간 복제는 정자와 난자가 만나는 착상 과정을 본뜬 것인데 아직은 무모한 일이며 왜 인간 복제에 관심을 가지게 되었는지를 먼저 질문해 볼 필요가 있다.

그럼 자연은 무엇일까. 인간의 몸을 구성하는 세포는 100조개 가까이 된다고 하는데 사람의 몸이 우주와 같다는 말이 허풍이 아닌 것이다. 우리의 몸에서 일어나는 일을 인간의 부족한 지식으로 모두 이해할 수 없기 때문에 우리는 늘 불안하고 그 불안 때문에 우리 몸을 탐구한다. 그리고 그 과정에서 우리 자신에 대하여 조금씩 알게 되는 것이다.

우리 몸은 우리가 먹은 음식이다. 결국 인간은 자신을 둘러싼 세상과 마치 한 몸이나 다름없이 관계 맺으며 살고 있다. 탐구를 함으로써 자신의 참모습을 알 수 있게 된다. 인간이 중심이라는 생각으로 지구의 자원과 생명체를 써 버린다는 것은 과학 탐구와 거리가 먼 것이다.

그렇다면 우리는 과연 질문하며 살고 있는가. 점수를 따기 위한 탐구를 한다면 그것은 죽은 지식에 지나지 않는다. 질문한다는 것은 지식이 살아있기 위해 호흡을 하는 것과 같다. 돈이 되는 질문(연구)만 지원한다면 어떻게 될까? 탐구로 얻은 지식이 어떤 개인이나 특정 집단의 소유가 되기 쉽고, 인간과 주변 세계의 관계를 이해하고 정립하기 위해 탐구하는 것이 아니라 더 많은 돈을 벌기 위해 탐구하게 된다.

어떻게 하면 질문을 되찾을 수 있을까? 저자는 관찰과 탐구의 대상에 대한 애정이 필요하다고 한다. 이러한 관계맺기, 길들여지기의 과정에서 질문을 던지게 되고 탐구자의 대열에 서게 된다. 죽은 지식의 껍질을 벗기기 위해서는 우리와의 관계를 바탕으로 사려깊게 생각해 보아야 한다. 이렇게 껍질을 벗겨 보면 세상과 자신의 모습을 훨씬 투명하고 올바르게 볼 수 있다.

주변의 사물들에 관심을 애정을 지니고, 죽어 있는 지식의 껍질을 벗기고, 일상 속에 담겨 있는 질문들에 주목할 수 있어야 우리는 보고 느끼고 체험하는 여러 과정을 통해 일상생활에서 비로소 발견의 즐거움을 맛볼 수 있습니다. p.114

과학 기술이나 실험 등을 떠올리면 삭막하고 어렵고 따분하다는 생각을 먼저 하지요. 하지만 ‘탐구하는 것’은 뜨거운 열정과 따스한 동료애, 그리고 베일 벗은 세상 사물들의 아름다움과 따로 뗄 수 없을 만큼 긴밀하게 관련되어 있습니다. 또한 탐구를 통해서 드러나는 것은 바로 우리 자신과 우리를 둘러싼 세상의 모습입니다. p.121

공부와 우정, 자유와 행복

생각한다는 것 - 고병권 선생님의 철학 이야기 ㅣ 너머학교 열린교실 1
고병권 지음, 정문주.정지혜 그림 / 너머학교 / 2010년 3월

철학은 자유고 공부고 우정이고 행복이다. 생각한다는 것이 다르게, 새롭게 생각하는 것이고 따라서 삶을 다르게, 새롭게 사는 것이란 정의가 신선하다. 우리는 생각하며 산다고 생각하지만, 사실은 습관과 편견, 통념대로 사는 것일 뿐이고 그렇게 살다보면 나도 모르게 악마같은 존재가 되어 버린다는 걸 깨달을 필요가 있다. 데카르트는 나는 생각하므로 존재한다고 했지만, 생각한다는 것이 다르게 생각하는 것이라면 나는 생각하므로 존재하지 않는다는 역설도 재미있었다. 다르게 생각하는 나는 이미 이전의 나와는 다른 존재로 변해 있기 때문이다. 다른 생각을 하게 되면 그만큼 나는 능력을 가지게 되는 것이고 그만큼 나의 자유도 커진다. 또한 그만큼 삶을 살아가는 기술과 행복도 커진다. 그러나 철학은 혼자 할 수 없다. 다르게 생각하기 위해서는 친구가 필요하다. 나를 나 자신보다 더 정확하게 볼 수 있는 친구가 있기에 공부도 자유도 가능한 것이다. 그런 친구를 갖기 위해선 내가 먼저 그런 친구가 되어야 할 뿐만 아니라 내 삶, 내 운명과도 친구가 되어야 한다.

철학자들은 남들의 말이나 관습, 자신의 편견에 빠져서 살아가는 우리 모습이 마치 꿈속에서 사는 것과 같다고 말합니다. 꿈속에서 우리는 자유롭게 생각하고 판단한다고 믿지만 사실은 잠을 자고 있는 것이듯이, 우리가 생각하는 것이 실제로는 생각이 없는 것과 마찬가지라는 것이지요. p.62

다른 음식을 먹듯 술도 즐길 수 있는 사람과 술 아니면 못 사는 사람은 전혀 다르지요. 자유란 선택의 문제라기보다는 능력의 문제입니다. 그것은 무언가를 새롭게 할 수 있는 능력을 의미하지요. 다르게 생각하는 힘, 다르게 살아가는 힘을 가질 때 우리는 자유롭습니다. p.95

혼자의 힘으로는 ‘다른 생각’, ‘다른 삶’을 만들어 내기가 어렵습니다. 혼자서 나의 편견과 습관에서 벗어나는 것은 정말 힘들지요. p.111

서로를 생각하게 해주는 사람, 서로를 공부하게 만드는 사람, 서로를 자유롭게 만들어 주는 사람, 여러분 그런 사람이 되세요. p.113

처음에 저는 철학을 ‘잘 사는 기술’이라고 불렀어요. 잘 산다는 것은 행복하게 산다는 말이겠지요? 철학은 삶을 잘 가꾸는 기술, 즉 행복하게 사는 기술이지요. 그런데 행복한 삶을 위해서 철학이 제시한 기술은 무엇이었지요? 바로 생각하는 것이었지요. 철학은 잘 살기 위해서 ‘생각을 하자’고 말합니다. 그럼 생각한다는 것은 어떤 뜻이었지요? 그것은 깨어있는 것입니다. 다르게 생각할 수 있는 것, 다르게 행동할 수 있는 것을 말합니다. 남들이 한다고 그냥 무턱대고 따라 하는 것도 아니고, 누가 시켰다고 무조건 복종하는 것도 아니고요. 물론 책이나 신문에 나왔다고 무조건 믿는 것도 아니지요. 잠자면서 걸어 다니는 사람처럼 살아서는 안 됩니다. 그래서 생각한다는 것은 습관이나 관습, 통념, 편견 등에서 벗어나는 겁니다. 생각한다는 것은 한마디로 ‘다르게 생각하는 것’이지요. 새로운 생각을 낳을 때 우리는 그때 ‘생각한다’는 말을 쓸 수 있습니다. 저는 그것이 새로운 삶을 낳는 일이라고 말했지요? 우리가 새로운 생각, 새로운 삶을 낳을 때, 우리는 예전처럼 살지 않을 겁니다. 그때 우리는 무언가를 배운 것이고요. 그것이 공부입니다. 여러분, 공부는 쉬지 않고 해야 합니다. 생각하기를 멈추지 않는 한 우리의 공부도 멈추지 않을 겁니다. 놀지 말고 만날 책만 읽으라는 말이 아닙니다. 놀이도 공부가 될 수 있지요. 우리에게 다른 생각, 다른 삶을 만들어 준다면요. "이만큼이나 공부했으니 이제 공부는 필요 없어."라고 말하는 것은 잘못입니다. 우리는 걸을 때도, 이야기할 때도, 놀 때도 배울 수 있습니다. 더 이상 배우지 않읗려는 사람, 더 이상 공부하지 않으려는 사람은 어리석은 고집쟁이가 될 뿐입니다. 공부가 우리를 자유롭게 만들어 줍니다. 자유란 공부가 우리에게 주는 선물이지요. 편견이나 습관, 통념에서 벗어나는 순간에 우리는 자유를 느낍니다. "나는 여기까지야."라고 말하지 마세요. 그런 한계에서 한 발 더 나아갈 때 자유가 시작된답니다. 그러고 보니 한계는 우리의 자유가 끝나는 곳이 아니라 시작되어야 하는 곳이라 할 수 있겠네요. 하지만 여러 번 말했듯이, 혼자서는 자기 한계를 넘어서기 어렵습니다. 공부할 때는 친구가 필요합니다. 여러분 철학은 친구와 함께 하는 것입니다. 하지만 친구를 갖기 위해서는 먼저 친구가 되어야 합니다. 여러분 누군가의 친구가 되세요. 무엇보다도 여러분의 삶, 여러분의 운명과 친구가 되세요.... 행복하게 산다는 것, 생각한다는 것, 공부한다는 것, 자유롭다는 것, 친구를 만든다는 것, 이 모든 말들이 ‘철학을 한다’는 말과 통하는 것 같습니다. p.121~3

나도 수학을 즐길 수 있다!

수학을 즐길 수는 없을까? ㅣ 민음 바칼로레아 28
브노아 리토 지음, 곽은숙 옮김, 김인수 감수 / 민음인 / 2006년 5월

'수학 학습의 비결을 찾아서' 라는 부제가 무색할 만큼 별다른 비결을 알려 주지는 않는다. 수학자로서 저자는 만나는 사람들마다 수학에 대해 진저리치는 말을 듣다 보니 더이상 참을 수 없는 지경이 되었나 보다. 수학이 일반 사람들에게 왜 낯설고 어려운 것이 되었는지를 스스로에게 묻고 있다. 그리고 그런 점을 감안하고라도 수학은 결코 낯설지도 어렵지도 않음을 강변하고 싶었나 보다. 그의 말을 믿어도 좋겠다고 나는 생각한다. 그리고 기꺼이 용기를 내게 된다. 수학 속으로 뛰어들어 정면돌파하겠다고 말이다. 더 읽어볼 책을 참고해도 좋겠다.

수학을 자기 것으로 만들어 즐기려면, 확실히 치러야 하는 대가가 있다. 그것은 수학의 어려움을 피하지 않는 것이다. 다시 말해 수학 속으로 뛰어들어 정면돌파해야 한다. p.70