수학적 탐구의 여정
한 사람의 수학자로 분류되기보다는 어떤 유형의 수학적 작업을 하는가가 중요하다. 수학에 흥미를 가진 것은 우연한 계기였으며 수학적 소질도 뒤늦게 드러났다. 1946년 스트라스부르 대학에서 스승 앙리 카르탄의 연구와 샤를 에레스만의 세미나를 통해 대수적 위상학 등을 본격적으로 연구하기 시작했다. 두 개의 상이한 다양체를 연속적인 변형을 통해 다시 연결하기 위해 그들을 순수하게 대수적인 항들로 환원시켰다. 1954년 논문에서 코보르디즘의 문제를 해결하고 언제 다양체가 다양체-경계가 되는가를 알 수 있는 대수적 과정들을 제시했다. 수학을 오직 형식화된 이론들에 국한시키는 부르바키주의에 반하는 입장을 정립했다. 수학 현대화 운동은 수학자들의 공동체 속에서 발생한 것이다. 수학은 그 자체로서 정초될 수 있다(집합론 등)거나 하나의 추상적 무의미로 환원된 총체성이 될 수 있다(범주론 등)는 수학 기초론에 반대한다. 성층화된 집합의 개념을 도입하여 미분 가능한 적용들의 특이성들을 어느 정도 분류하고, 적용의 특이점의 보편적인 전개와 같은 카타스트로프이론의 핵심적인 개념을 이끌어냈다. 보편적인 전개란 하나의 특이성 안에 포함되는 모든 내적인 정보를 ‘전개시키는’ 방식으로 어떤 적용의 한 단일성은 항상 하나의 국지적인 구조 안에 모든 거대한 구조들을 응축시키고 있다. 보편적 전개라는 개념은 하나의 미분 가능한 함수 씨앗이 있을 때 국지적으로 하나의 테일러 전개가 존재한다는 것으로, 무한수열에 의해 기술되는 한 국지적 함수를 유한한 항들로 구성되는 하나의 수열로 환원시킬 수 있도록 해주는 한에서, 이 씨앗의 모든 가능한 변형들을 기술할 수 있는 유일한 수단이다. 1966년 4차원의 또는 그 이하의 전개와 더불어 나타나는 7개의 단일성들을 제시하였고 그 후 그들은 7개의 기본적인 카타스트로프들로 해석되었다. 카타스트로프이론은 수학으로부터 온 것이지만 수학은 아닌, 애매한 이론이다.
물리학에 대하여
이론물리학은 수학과 가까운 분야이지만 더 섬세한 유형의 직관력을 요구한다. 특히 양자역학, 그 중에서도 재정상화라는 알고리즘은 갈라짐의 이론에 연결된다. 개념적으로 매우 조잡한 이론들로부터 출발해 수적으로 매우 엄밀한 결과를 이끌어내는 이론물리학의 과학적 실천의 방식은 “나는 가설을 만들지 않는다”는 뉴턴적 입장의 결과로서 하나의 공식이 잘 적용이 되면 설명을 구할 필요가 없다는 관점을 채택한다. 오늘날 물리 현상들에 대한 경험적인 축적은 상당히 이루어졌지만 그들을 정합적인 방식으로 조직화할 수 있는 이론적인 노력들은 기초적인 수준이다. 양자역학은 물리학적 존재들(물질, 방사선 등)과 연관하여 시간·공간의 본성을 이해하는 문제 등을 제기한다. 시간-공간을 기본적인 존재로 보는 아인슈타인에 반해 ‘코펜하겐 해석’은 기본적인 존재는 관찰자에 의해 지각된 현상이라는 관점이다. 문제는 각 관찰자들의 상이한 관점들을 종합하는 것이며 과학적이기 위해서는 모든 성과가 보편적 동의의 대상이 되어야 한다. 인식의 행위에 있어 늘 근본적으로 불가역적인 어떤 것이 존재하지만 물리학자들은 이와 같은 불가역성의 측면을 지워버림으로써 현상들은 가역적인 법칙들에 의해 지배된다고 말한다. 거시적인 물리학에서는 불가역성이 기본적이라는 데 역설이 존재한다. 거시적 수준에서 불가역성을 받아들이기 위해 근본적 수준에서 그것을 거부하는 것이다. 불가역성의 개념은 문법 속에 포함되어 있는데 예를 들어 “고양이가 쥐를 잡아먹는다”와 같이 명사와 동사의 구분은 이미 불가역성을 전제하고 있다. 불가역성은 상호 주관적인 동의와 양립하며 그 동의는 일상언어의 사용에 근거를 두고 있다. 불가역성에 대한 수학을 구성하기는 매우 어렵지만 주어진 초기 조건에서 출발해 궤적의 점근적인 상태들을 탐구할 수 있으며 이때 극한 자체에 있어서 시간의 효과를 제거하기 때문에 물리학적 법칙이 가역성을 띠게 되는 이유가 거기에 있다. 이런 과정을 통해 중간적인 상태들을 망각하며 양자역학에서 양자가 한 상태에서 다른 상태로 ‘비약한다’는 것만 말할 수 있을 뿐 전이를 인식하거나 기술할 수 없다. 물리학으로부터 생물학으로 불가역성을 외삽할 때 프리고진이 ‘소산적 구조들’이라고 불렀던 것은 열역학이 별다른 역할을 하지 않는 상황에서 열역학으로 제시됨으로써 오도하면 면이 있다. 반면 불가역적인 동력학의 한계적인 상황들에 기하학적인 모델들을 부여하려 했고 카타스트로프이론에 있어 전형적으로 불가역적인 현상들에 개념적 구조들을 부여하고자 했다. 카타스트로프이론은 거시적인 물리학을 그 자체로서 연구할 수 있도록 하는데 공헌했다.