실험으로 최신 수학을 이해하기

수학, 풀지 말고 실험해 봐 - 신기한 실험으로 수학과 친해지기 ㅣ 수학, 풀지 말고 실험해 봐 1
라이이웨이 지음, 김지혜 옮김 / 미디어숲 / 2021년 7월

실험으로 어려운 수학을 잘 이해할 수 있게 해주는 책이다. 책에서 소개된 열다섯 개의 실험들은 사람들의 흥미와 호기심을 자극하는 것들이다. 케이크의 크기를 측정하는 실험, 맨홀 뚜껑에 관한 실험, 그림자로 높이를 측정하는 방법, 이리저리 굴러다니는 삼각형에 관한 실험, 직선으로 꽃을 그리는 방법에 대한 실험, 신기한 뫼비우스 띠에 대한 이야기, 타원으로 하는 게임, 다 먹을 수 있는 초콜릿에 관한 실험 등이다.

삽화가 친절하게 그려져 있고 제시한 실험을 단계별로 친절하게 보여주는 장점이 있다. 본문에 이런 주목할 말이 있다. “아무리 많은 실험을 한다고 해도 불확실성은 여전하다. 하지만 증명을 한 번 하면 100% 확실한 결과를 얻을 수 있다.”(39 페이지) 이 말은 과학의 경우 백만 번 실험을 해서 이론에 맞는 데이터가 나왔다 해도 바로 다음 번에 이론에 맞지 않는 데이터가 나올 가능성이 있는데 그렇다고 영원히 실험만 할 수도 없고 수학은 모든 것이 머리 속에서 이루어지는 개념이어서 한 번 증명하면 끝이란 말로 추가 설명할 수 있다.

맨홀 뚜껑이 둥근 것은 일하는 사람들의 안전을 위하는 따뜻한 배려가 담긴 결과다. 프랙탈 이야기를 하자. 1. 종이 한 장을 준비하고 구석에 1.5cm 직선을 그린다. 컴퍼스를 직선에 맞춰 1.5cm 폭으로 반경을 만들고 종이에 원을 그린 후 원주 위에 점 하나를 기준으로 다시 원을 그려 두 번째 원을 완성한다. 2.1단계에서 두 원의 교점을 원의 중심으로 하여 아래위로 두 개의 원을 그린다. 3. 2단계에서 왼쪽 위와 왼쪽 아래의 교점을 원의 중심으로 하여 두 개의 원을 그린다. 4. 3단계에서 왼쪽에 있는 새로운 교점을 원의 중심으로 하여 원을 그린다. 그러면 한 가운데 여섯 개의 긴 꽃잎이 연결된 꽃이 나온다. 5. 꽃을 계속 크게 그려 보자. 그림에 표시된 여섯 개의 점을 원의 중심으로 하여 원을 여섯 개 더 그린다. 6. 그리고 그림에 새로 표시된 6개의 점을 원의 중심으로 하여 6개의 원을 계속 그려 나간다. 지금까지 총 몇 개의 원을 그렸는지 세어보자. 7. 다음 그림과 같이 그림의 정중앙을 원의 중심으로 하여 더 큰 원을 그려 모든 작은 원을 감싸 보자. 이 큰 원의 반지름은 작은 원의 몇 배가 될지 생각해보자. 8. 큰 원의 반지름을 반지름으로 1단계부터 7단계까지 반복한다. 바깥으로 원을 한 바퀴 더 그린 후 도형을 색칠해 가면 예쁜 꽃 한 송이를 얻을 수 있다.

저자는 “산골짜기 계곡에 갇혀도 재능있는 사람은 난관을 극복하고 재능을 발휘하여 상황을 벗어난다. 재능이 없다면 계속 산골짜기에 머물든지 발길을 돌릴 수밖에 없다. 하지만 우리에게는 수학이라는 강력한 도구가 있다. 다리를 하나 놓기만 하면 건너갈 수 있다. 다리를 놓는 과정은 분명히 힘들다. 하지만 수학이라는 다리를 놓는 도구가 있다면 누구나 깊은 계곡에서 벗어날 수 있다.”고 말한다.(51 페이지) 수학이라는 다리를 놓는 도구는 실험이다.

프랙탈은 정교한 구조를 가졌고 전체 또는 부분적으로 형태가 있고 전통적인 기하학과는 차이가 있다. 자기유사성을 가진다. 즉 서로 다른 수준에서 같은 구조를 찾을 수 있다. 원형 외에도 잘 구르는 특별한 도형이 있다. 뢸로 삼각형이다. 꼭짓점은 3개로 같지만 변이 곧은 선이 아니라 호(弧) 모양이다. 정삼각형을 상상하여 세 꼭지를 고정시킨 후 삼각형 안쪽에서 세 변을 밖으로 밀어낸 형태다. 세 꼭짓점 사이의 거리는 같지만 삼각형은 약간 통통한 모양이다. 이것이 뢸로 삼각형이다.

맨홀 덮개는 대부분 원형이지만 뢸로 삼각형의 맨홀 덮개를 사용하는 곳도 있다. 뢸로 삼각형은 독일의 기계공학자 프란츠 뢸로(Franz Reuleaux; 1829~1905)의 이름을 따서 붙여졌다. 뢸로 삼각형 모양의 바퀴도 어느 부분에서나 폭이 일정하기 때문에 거의 흔들림 없이 굴러갈 수 있다. 뢸로 삼각형은 중세 말기 고딕 양식의 성당에서도 찾아볼 수 있고 다빈치가 그린 세계지도에도 사용되었고 현대 건축물에서도 사용되고 있다. 직선으로 꽃을 그려보는 실험은 더욱 흥미롭다. 앞뒷면 구분 없이 하나의 면으로 이루어진 특이한 입체인 뫼비우스 띠는 신기하다. 본문에 뫼비우스 띠의 원리를 이용해 베이글을 자르는 방법이 제시되어 있다.

로저 펜로즈 이야기는 진지하게 읽을 부분이다. 블랙홀이 넓은 의미에서 상대성 이론의 직접적인 결과임을 수학적으로 증명한 펜로즈는 어릴 적 계산이 아주 느렸으나 관찰력이 좋은 선생님의 영향으로 자신감을 얻었다. 그 분이 얼마나 오랫동안 계산하든 다 괜찮다고 말해준 결과다. 에셔가 펜로즈 삼각형을 보고 영감을 얻어 폭포와 계단 오르내리기 등을 만들었다. 떨어진 물이 물레방아를 통해 다시 뒤쪽의 수로로 향한다. 수로를 따라가면 처음의 장소로 다시 돌아온다. 현실적으로는 불가능하다.

펜로즈의 삼각형은 3차원의 세계를 2차원의 평면에 그린 삼각 막대기다. 역시 현실에서는 불가능한 삼각형이다. 수학은 속도가 아니라 깊이다. 사고는 계산이 아니다. 종이에 구멍을 뚫으면 펼쳐지는 마술도 흥미진진하다. 마지막 말이 더욱 인상적이다. 수학의 본질은 자유로움에 있다는 칸토어의 말이다.