수학에 자신 없어도 흥미로운 수학이야기~

푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다 - 푸앵카레상을 향한 100년의 도전과 기이한 천재 수학자 이야기
조지 G. 슈피로 지음, 전대호 옮김, 김인강 감수 / 도솔 / 2009년 11월

 

 

 "수학도 못하는 사람이 왠 수학책이야?" 안그래도 낑낑거리면서 읽고 있는데 웬수같은 남편이 불난집에 기름을 들이 붓는다. 젓가락질 못해도 밥 먹는 데 지장없다고 가벼이 받아치려 했더니 '푸앵카레 추측'이 뭔지 설명해 보란다. 이런 된장~ 때마침 아무리 읽어도 이해가 안되는 상황에서 설명해보라면 어떡하란 거니? 사람이 궁지에 몰리면 기가 죽기 보다는 오히려 버럭 거리게 된다더니 나도 모르게 목소리가 크게 나와 버렸다. "그래, 나 문과다! 근데 이 책은 수학이 아니라 수학자에 관한 책이거덩~!! " 

 

 문제의 시작은 위대한 수학자 푸앵카레가 던진 질문에서 시작되었다. 프랑스의 수학자이자 천문학자, 물리학자이면서 과학자인 그는 어려서부터 수학에 천재적인 재능을 보이면서 당대에 큰 업적을 이루었을 뿐만 아니라 후대에까지 큰 영향을 미칠 엄청난 일을 해냈다. 그가 논문의 끝 부분에 던진 질문은 이러하다. "마지막으로 반드시 검토해야 할 문제가 하나 남는다. 기본군이 영인 3차원 다양체가 3차원 구와 위상동형이 될 가능성이 있을까?" 이 말이 조금 어렵다면 "단일연결인 3차원 다양체는 구면과 같은 것인가?" 라는 질문은 어떤가. OTL

 

  '푸앵카레 추측'에 대해 책에서는 이렇게 설명하고 있다. 커다란 원의 표면을 기어가고 있는 개미가 있다고 가정했을 때, 개미는 자신이 걷는 길이 평면인지 구면인지 어떻게 알 수 있을까? 하지만 파리의 경우는 다르다. 2차원적인 평면에서 벗어나 3차원적으로 생각할 수 있기 때문이다. 3차원 곡면에서 이 문제를 논하고 해결하려는 시도가 바로 푸앵카레가 증명하고자 했던 것이다. 수학적인 설명에 있어서는 제대로 이해하지 못했던 부분도 있었지만 수학을 잘 못해도, 푸앵카레 추측을 설명 못해도 전체적인 내용을 이해하는데는 무리가 없다.  

 

 말하자면 아르키메데스가 왕관이 순금인지 아닌지를 어떻게 밝혀냈는가도 중요하지만 그가 생각에 몰두한나머지 "유레카!"를 외치면서 알몸으로 뛰쳐나간 일화와 그의 죽음에 얽힌 사연이 주는 안타까움이 그렇고, 수학자의 이름은 정확하게 기억나지 않지만 '파이'의 소숫점 이하 자리를 구하기위해 평생을 바친 수학자가 있다는 사실, 디오게네스의 사상을 정확하게 설명할 수는 없지만 알렉산더 대왕과의 일화를 통해 뭔가 인생을 돌아보게 한다는 점 등을 예로들수 있겠다.   

 

 다시 책으로 돌아와서 <푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다> 이 책은 푸앵카레 추측을 증명하기 위한 수학의 역사와 수학자들의 열정에 관한 책이다. '푸앵카레 추측'에 대한 수학자들의 열정을 한 마디로 말해주는 것이 바로 '푸앵카레병'이란 것이다. 한번 빠져들면 평생을 푸앵카레 추측만 연구하게 되니 명석한 수학자이자 과학자들이 다른 연구에 대한 성과를 내지 못한다는 우려까지 낳았을 정도다. 하지만 부정적인 면만 있는 것은 아니다. 푸앵카레 추측을 둘러싼 수학자들의 경쟁은 생각지도 못한 성과를 냄으로써 관련 분야의 발전을 가져오기도 했다.

 

  1904년 부터 1세기 동안이나 풀리지 않는 수학의 난제였으니 얼마나 많은 수학자들이 도전했겠는가. 그들은 도전하고 검증하는 과정을 통해 좌절하고 무너지고 한 순간 하늘까지 솟았다가 추락하는 과정을 반복했다. 2000년에 접어들어 러시아의 수학자 페렐만이 푸앵카레 추측을 증명한 논문을 인터넷에 올리자 학계가 엄청나게 소란스러워진 것은 말할 것도 없다. 그러나 정작 페렐만 본인은 수학계의 노벨상이라는 필즈상을 거부하고 수학의 난제에 주어지는 상금도 어떻게 될 것인지 알 수 없는 상태다.

 

 '푸앵카레 추측' 이라는 수학적 난제 한 가지만 가지고도 이렇게 한 권의 책이 나올 수 있고, 수많은 학자들의 인생을 담고 있다는 사실이 놀라울 따름이다. 푸앵카레 추측에 접근해나가는 과정에서도 많은 '증명'이 필요했는데, 누가 무엇을 어떻게 언제 먼저 증명했는가를 놓고 다툼을 벌이는 모습을 보면서 또한 증명된 이후에도 혼란스러운 풍경을 통해 페렐만이 왜 주목받기를 거부하고 숨어버렸는지 조금은 이해가 된다. 하지만 명예나 부에 연연하지 않고 연구에 몰두하는 과학들로 인해 희망찬 미래과학을 기대할 수 있는 것이라고 생각한다.  

 

"수학은 결코 끝나지 않는다. 한 문제에 대한 성공적인 해결은 수많은 새로운 질문들을 향한 문을 열어놓을 뿐이다. 수학 앞에 서면 쉽게 겸손한 마음을 갖게 된다. 너무나 많은 문제들이 아직 미해결로 남아 있다. 위대한 모험은 계속될 것이다. (p.327)"