머리 아프다.

머리 아프다.

그리스인들이 좋아했던 아름다운 도형 중에 ‘궁형‘ 또는
‘활꼴‘ 또는 ‘초승달‘이라는 것이 있는데, 그리스 수학에서 최초로 초생달 구적법을 조사한 사람은 치오스의 히포크라테스(Hippocrates)이다. - P67

암을 뜻하는 영어 ‘캔서‘(cancer)의 어원이 바로 카르키노스이다. 후세 사람들은 의학자 히포크라테스가 암을 카르키노스라고 이름 붙인 이유를 암세포가 게의 걸음걸이처럼 옆으로 잘퍼지고, 암세퍼의 표면이 게의 껍질처럼 단단해서라고 해석하고 있다. - P67

두 번째 업적은 앞에서 말한 ‘초승달 구적법‘이다. 이것은 초승달 모양의 도형과 넓이가 같은 직각 이등변 삼각형을 눈금없는 자와 컴퍼스로 작도하는 것인데 이것을 계기로 그리스인들은 원의 구적에도 낙관적인 견해를 보이기 시작했다. - P69

사실 구석에 관한 문제는 그리스인들에게 수학 이상의 것으로 의미가 있었다. 예를 들면, 토지문제에서 실제로 불규칙적인 토지의 경계 때문에 자기 토지의 정확한 넓이를 구하는 것은 매우 어려운 문제였다. 그러나 구적을 구할 수 있다면 이 문제를 아주 간단히 해결할 수 있다. 또한 구적접을 알면 비대칭이거나 불완전하게 보이는 것을 대칭 또난 완전하고 아름다운 형태로 바꿀 수 있는 것이다. - P71

엘레아 학파의 철학자 제논(Zenon)은 기원전 490년경에 태어나 기원전 약 430년까지 활약한 것으로 추측된다. 그는 철학적 사상을 방어하기 위하여 여러 가지 역설을 전개하였는데 이 역설들은 수학에, 특히 미적분학의 발달에 대단한 영향을 미쳤다. 그 역설의 주된 내용은 유한인 구간을 무한히 나누는데서 비롯된다.  - P72

제과는 수학적 관점이 달랐던 피타고라스 학파들은 다음과 같이 반박했다.
"점은 위치만 있고 크기는 없다. 또 시간도 크기가 없는 무한한 시각의 모임이다."
그러자 이러한 주장을 반박하기 위하여 제논은 ‘아킬레스와 거북이의 경주‘라는 또 다른 역설을 주장했다. - P73

그리스 시대에 달리기를 가장 잘하는 사람으로 아킬레스(Achilles)라는 사람이 있었다. 아킬레스와 거북이가 달리기를하면 어떤 결과가 나올까? 이 경기의 규칙은 거북이가 먼저 출발하고 난 얼마 뒤에 아킬레스가 출발하는 것이다.  - P73

아킬레스가 거북이의 처음 출발점에 도착했다면 거북이는그 사이에 느린 속도이지만 앞으로 나아갔으므로 아직도 거북이가 아킬레스보다 앞에 있다. 다시 아킬레스가 거북이가 있는그 다음 위치까지 갔을 때, 거북이는 계속해서 움직이므로 아킬레스보다 거북이가 앞서 있다. 이런 식으로 계속 진행하면아무리 발이 빠른 아킬레스라고 해도 절대로 느림보 거북이를따라잡을 수 없다. - P73

피타고라스 학파의 시간은 크기가 없는 무한한 시각의 모임‘이라는 주장에 대하여 제논은 ‘날아가는 화살은 날지 않는다‘ 라는 역설로 반박하였다. - P74

활시위를 떠나 공중을 나는 화살을 생각해보자. 이 화살은나는 시간내의 각 시각에서 일정한 위치를 차지하고 있다. 그러므로 각각의 시각마다에서 일정한 위치를 차지하게 되고, 결국 그때마다 정지하고 있어야 한다. 따라서 이러한 정지 상태가 무한히 많다 하여도 운동은 될 수 없다는 결론에 이른다.
그러므로 시간이 무한히 많은 시각으로 되어 있다는 주장은 잘못이라는 것이다. - P74

제논의 역설 중 또 다른 하나는 ‘어떤 시간과 그 시간의 반은 같다‘라는 것이다. 이 역설에 의하면 1시간과 30분은 같다는 뜻이다?!?!?!? - P74

정지 상태에 있는 원소 A, 오른쪽으로 움직이는 원소 B,
왼쪽으로 움직이는 원소 C가 다음 그림과 같이 있다. 여기서두 원소 B와 C는 같은 속도로 움직이고 있다. 일정한 시간이지난 후에 A, B, C 는 그림과 같이 나란히 서게 된다. 이렇게되기 위하여 B 의 원소는 다섯 개의 A 의 원소를 스쳐 지나가고, 동시에 C의 원소 열 개를 스쳐 지나간다. 스쳐 지나가는각 시간은 스치는 원소의 개수에 비례하므로 B가 A 를 스쳐지나가는 시간은 B가 C를 스쳐 지나가는 시간의 반이다. 그러나 이 두 가지 일은 동시에 일어나는 것이기 때문에 B가 A 와 C를 각각 스쳐 지나가는 시간은 같다. - P76

모두 열세 권(I-XIII)으로 이루어져 있는 <원론>은 1482년에 초판이 인쇄되었고, 그 후 지금까지 1천 판이 넘을 정도로인쇄되었으며 2,000년 이상 기하학의 교과서로 군림해 왔다.
사실 우리가 배운 중학교, 고등학교의 수학 교과서의 내용은주로 <원론>의 I, III, IV, VI, XI, XII권의 내용 중에서 발췌한것이다. 그러니까 비록 <성서>를 읽어보지 못한 사람이라 할지라도 중학교 이상의 수학교육을 받았다면 이미 유클리드의<원론>을 부분적이긴 하지만 읽어본 셈이다. - P82

제 1 권은 48개의 명제로 되어 있으며 처음 26개의 명제는주로 삼각형의 성질과 세 개의 합동 정리를 다루고 있다. 또여섯 개의 명제는 평행에 관한 명제와 삼각형의 내각의 합이180° 라는 것이 증명되어 있으며, 그 이외의 명제들은 평행사변형, 삼각형, 정사각형 등의 넓이 문제를 다루고 있다. - P83

제 II 권은 넓이의 변환과 피타고라스 학파의 기하적 대수를 다루는데 모두 14개의 명제로 되어 있다.
제III권은 39개의 명제로 이루어져 있으며 원, 현, 선, 접선과 각의 측정에 관한 정리가 수록되어 있다. - P83

제IV권은 16개의 명제로 이루어져 있으며 3, 4, 5, 6, 15변을 갖는 정다각형을 주어진 원에 자와 컴퍼스를 가지고 내접또는 외접시키는 작도 문제를 다루고 있다. - P83

제V권은 에우독소스의 비율이론에 관한 것인데 이 책은수학적인 문헌 중에서 가장 훌륭한 걸작으로 평가되고 있다. - P84

제VII권은 정수론 중에서 두 정수의 최대공약수를 구하는호제법‘(Euclidean algorithm)을 다루고 있다. - P84

제IX권에는 ‘산술의 기본 정리‘ (fundamental theorem ofarithmetic)로 불리는 다음의 명제가 수록되어 있다.

"1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수의 곱으로 표현될 수 있으며, 그 방법은 근본적으로 한 가지이다."

또한 ‘소수의 개수는 무한하다‘는 사실에 대한 세련된 증명이있고, 등비수열의 첫 n 개 항의 합에 대한 공식을 기하학적으로 유도했으며 짝수인 완전수를 만드는 공식이 증명되어 있다. - P84

제X권은 무리수에 관한 것이다. - P84

제XII권은 입체의 부피를 다루고 있고, 제XIII권은 <원론>의 마지막 권으로 한 구에 다섯 개의 정다면체를 내접시키는 작도 문제를 다루고 있다. - P85

이렇게 훌륭한 저작물을 남긴 유클리드의 개인 신상에 대해서는 알려진 것이 거의 없지만, 기원전 323 년에 알렉산더 대왕이 죽고 이집트를 통치하게 된 프톨레마이오스 왕 시대에 살았던 것으로 추정되며,
(중략) - P85

수학에 관하여 이야기하면서 아르키메데스를 빼놓을 수는 없을 것이다.
아르키메데스는 수학의 모든 시대를 통틀어 가장 위대한수학자이다. 그는 기원전 287년경 시실리아의 옛 그리스 도시국가 시라쿠사에서 천문학자의 아들로 태어났다. 아르키메데스는 시라쿠사의 왕 히에론(Hieron)의 총애를 받았고 몇 년 동안 알렉산드리아 대학교에서 수학한 것으로 보고 있다. - P90

 그의 발명품 중에는 사정거리를 조정할 수 있는 노포, 도시 성벽의 어느 곳이라도 신속하게 이동하여 가까이 접근한 적의 배에 무거운 물체를 떨어뜨릴 수 있는 발사 장대, 적의 배를 들어 올려서 심하게 흔들어 부숴뜨리는 거대한 이동식 기중기 등이 있다. 거대한 유리거울을 사용하여 밖에 있는 적의 배에 불을 질렀다는 이야기도 있는데, 이것은 로마와 시라쿠사의전쟁 후에 퍼진 소문이었지만 사실일 가능성도 있다. - P91

아르키메데스에 대해 가장 잘 알려진 이야기 하나.
(중략)
 어느 날 왕은 금 세공인에게 명령하여 순금으로 왕관을 만들게 하였다. 이윽고 금 세공인이 왕관을 가져왔는데 왕은 그 속에 은이 많이 섞여 있다는 소문을 듣게되었다.
(중략)
욕조의 물이 넘치자 아르키메데스는 자기 몸의 부피만큼 물이 넘쳤다는것을 새삼 깨달았다. 밀도와 무게가 같은 두 물체는 모양에 관계없이 부피가 같다는 사실을 알아내고 너무나도 기뻐서 발가 벗었다는 것도 잊은 채 큰 소리로 외치며 거리를 달렸다.

"Eureka, Eureka" - P92

. 여기에서 바로 아르키메데스의 부력에 관한 법칙‘이 탄생한 것이다. Eureka, Eureka!는현재 미국 캘리포니아 주의 표어이기도 하다. - P93

아르키메데스는 1, 2, 3으로 된 비를 발견하고 이처럼 아름다운 것은 없다고 하였다. 왜냐하면 그도 우주는 수학적으로 조화롭게 짜여져 있으며, 그중에서도 1, 2, 3, …의 정수는 가장 중요한 구실을 한다고 믿었던 그리스의 ‘철학자‘였기 때문이다. - P95

고대 그리스의 대수 문제에 관하여 가장 훌륭한 정보를 제공하는 것은 <팔라틴 선집>(Palatine Anthology) 또는 <그리스 선집>(Greek Anthology)이라고 불리는 책이다. 이 책에는 46개의 문제가 수사적으로 서술되어 있다.
이 책은 서기 500년경에 문법학자인 메트로도루스(Metrodorus)가 편집하였는데, 이 책에 수록되어 있는 대부분의 문제는 훨씬 오래 전부터 있었던 것으로 알려져 있다. 이 문제들은 플라톤이 기분 전환을 위하여 생각했던 문제들이고, 린드 파피루스(Rhind Papyrus)에 있는 문제와 매우 유사한 것들이란 것이 이를 증명해준다. - P99

다음은 데모카레스(Demochares)의 나이를 묻는 문제이다.
"데모카레스는 일생의 1/4을 어린이로, 1/5을 젊은이로 살았고,
1/3을 어른으로 살았으며, 13년을 늙은이로 살았다."

그럼 데모카레스는 몇 년을 살았을까? - P100

한 가지 더, 사과의 개수를 묻는 문제가 있다.
"여섯 사람 중 네 사람에게는 각각 전체 사과의 1/3, 1/8, 1/4, 1/5을 주고 다섯 번째 사람에게는 10개, 여섯 번째 사람에게는 1개의 사과를 주었다."

사과는 모두 몇 개일까? - P100

<산학>에 나와 있는 재미있는 문제 몇 가지를 보자.

Des제 II 권 문제 28 : 두 개의 제곱수로 그깃들의 곱을 각각에 더하면 다시 제곱수가 되는 두 개의 제곱수를 찾아라.

디오판투스의 답 : (3/4)²,  (7/24)².
- P102

제 III 권 문제 6 : 세수의 합이 제곱수이고 임의의 두 수의합도 제곱수가 되는 세 수를 찾아라.

디오판투스의 답 : 80,320, 41 - P103

제III권 문제 13 : 세수에 대하여, 임의의 두 수의 곱을 나머지수에 더했을 때 제곱수가 되는 세수를 찾아라. 현재 이 문제에 대한 디오판투스의 답을 찾을 수 없다. - P103

제IV권 문제 10 : 두수의 합이 그 두수의 세제곱의 합과 같은 두 수를 찾아라.
디오판투스의 답: 5/7, 8/7


제VI권 문제 1 : 빗변에서 다른 한 변을 뺀 값이 각각 세:제곱인 피타고라스 삼각형을 찾아라.
디오판투스의 답 : 40, 96, 104. - P103

책을 읽고, 생각해보니 뭔가 먹어야 된다 생각을 하면...

책을 읽고, 생각해보니 뭔가 먹어야 된다 생각을 하면서 페이지를 넘기다보니 내용은 안 들어오고 배는 고프다.

그래도 이 쳅터의 제목은 기억이 난다, ‘나도 할아버지처럼 죽을래요‘인 것이. 영화 ‘돈 룩 업‘에 인용된 인용구가 생각난다.

국민연금이 생각난다.

어린 아기가 울고 있는 사진 아래 이런 문구가 쓰여 있다. "왜 내 미래를 위한 계획을 세워 두지 않은 거죠?" 이 생명보험 광고는 대상이 명확하고, 감정에 호소하며, 효과적이다. 부모라면 누구나 이 포스터를 보고 생명보험에 들어야 할지 한번쯤 고민해 볼 것이다. - P152

알고 있다는 점에서 이 광고는 매우 효과적이다. 이런 광고는 정서적 공감을 불러일으키므로 분명 많은 사람이 자극을 받아 가족에게 안정을보장해 줄 생명보험에 가입했을 것이다. 만약 이 광고에 효과는 훨씬 떨어지지만 더 솔직한 문구가 쓰였다면 이런 식이지 않았을까? "엄마, 아빠가 내일 당장 동아가시더라도 내가 재정적으로 안정적일 수 있으려면 엄마, 아빠의 생명 가치는 얼마여야 할까요?" - P152

첫째, 생명보험의 생명 가격표는 소비자가 결정한다. 경제학자, 기업의 재무 분석가, 규제 기관처럼 타인이 결정하는 것이 아니다. 소비자가 더 큰 보장 범위의 보험에 가입해야겠다고생각하고, 그럴 경제적 여유가 있다면 그건 그들의 선택에 달려 있다. - P153

둘째, 생명보험은 경쟁 시장이 있다. 이는 경제 전문가들이 가격표의 추산치를 계산하지 않아도 된다는 의미다. - P153

셋째, 생명보험의 값은 사망 위험을 기준으로 한다. 한 사람의 사망위험을 계산하는 산출법은 수백 년 전부터 잘 알려진 단순 명료한 개념인 생명표를 기준으로 한다. - P153

마지막으로, 생명보험을 판매하는 기업들은 공정성에 대한 우려에따라 움직이지 않고, 자신들의 상품이 공정하게 판매되도록 해야 할 의무도 없다. - P153

2017년 한 해에 개인 생명보험 액면가의 총액은 12조 달러였는데, 이는 그해미국 국내 총생산의 3분의 2에 달하는 규모였다.² ³  2017년에 미국 보험회사가 보유하고 있던 유효 계약 건은 약 2억 8900만 건이었으며, 이는 대략 전체 미국 인구의 1인당 1건에 해당하는 수치다.⁴ ⁵ - P154

생명보험에 공정성 문제가 전혀 고려되지 않는 것은 아니다. 곧 논의하겠지만 공정성 문제는 보험사들이 위험 또는 사망률을 결정하는데 합법적으로 활용할 수 있는 (또는 활용하기로 선택하는) 요소들과 관련하여 제기된다. - P154

성, 인종과 같은 요소에 따른 임금격차가 개인의 생명보험 구매력에 영향을 미친다는 점에서 공정성은 간접적인 역할을 한다고도 할 수 있다. - P154

생명보험의 가격표는 민사재판의 배심원단과 같은 제3자가 정하는 가격표도 아니고, 경제 전문가가 어떤 산출공식에 근거하여 추산해 낸 가격표도 아니다. - P155

생명보험이 정말 필요한가에 답을 하려면 부양가족이 있는가 있다면 그들에게 들어가는 돈은 얼마인가, 그러한 돈을 마련하는 데 쉽게 가용할 수 있는 자산은 얼마나 있는가 등과 같은 핵심 사항을 따져보아야 한다. - P155

대개 보험 수익자는 배우자나 피부양 자녀와 같은 보험 계약자의 직계 가족이다. 하지만 일반적으로 수익자에 대한 제한은 없어서 보험 계약자는 자신이 아끼는 모교나 남겨질반려동물을 수익자로 설정할 수 있다. 수익자를 누구로 할지 떠오르는사람이 없다면, 그건 생명보험이 필요 없다는 뜻이다. - P155

마지막으로 얼마짜리 보험에 가입할지를 결정해야한다. 이 문제에 대한 결정은 필요한 돈과 대체 가치뿐만 아니라 보험료에 따라 달라진다. 단순하게 ‘적당히 많아 보이는‘ 대략적인 금액, 예를 들어 100만달러를 정할 수도 있지만, 이 문제에 대해서는 세부적인 목표를 유념하여 결정하는 편이 바람직하다. - P156

대체 소득 필요분이라고 부르는 이것은 9.11 희생자들의 보상금을 계산할 때 경제적 가치를 결정하던 방법과 유사하다. 대체소득 필요분을 추산하기 위해서는 급여, 수당, 퇴직 적금뿐만 아니라 보험 계약자가 죽으면 보험 수익자들이 그 일을 대신할 다른 사람에게 지불할 돈까지 계산에 넣어야 한다. - P156

 다소 우울한 가정이 수반되는 과정이지만 대체 소득 필요분을 추산하는 데서 매우 중요하고, 이 단계에서 육아, 가사, 요리, 운전 등이 고려될 수 있다. 물론 사람이 죽으면 자기 자신에게 드는 돈이 없으니 옷이나 여가, 여행, 음식과 같은 개인 소비는 제외된다. - P156

이 대체 소득 필요분을 계산하는 데 가장 중요한 투입 변수도 소득이기에 앞서 논의했던 소득과 관련된 모든 불공정성(인종, 성 관련 소득 불평등)이 이 계산 과정에서 더 악화된다. 소득이 없지만 무보수로 육아나 요리, 청소? 운전 등과 같은 일을 하는 집에 있는 부모 역시 대체 소득필요분을 지닌다. - P156

대체 소득 필요분을 계산한 결과는 꽤나 명확하다. 돈을 적게 버는사람보다 돈을 많이 버는 사람들이 대체 소득 필요분이 높으므로 더많은 보장금액이 필요하다. - P157

지금까지 생명보험을 둘러싼 여러 가지 결정들을 살펴보았다. 이제 보험 계약 지체를 들여다보자 보장액이 100만 달러인 20년 정기보험을 예로 들어 살펴보면, 보험 계약은 보험료와 보험금이 투명한 간단명료한 상거래다. - P161

보험 업계는 경쟁이 매우 치열해서 기대 여명 모델을 정확하게 구축한 회사가 가장 성공한다. 특히 생명보험회사들은 A라는 개인이 지금부터 1년, 2년,
3년, 20년을 더 살 확률을 아주 정확하게 예측하는 생존 곡선을 고안하려고 한다. 이 확률에 보험료와 보험금을 곱하면 A와 유사한 사람이가입하는 보험의 표준 현금흐름을 예측할 수 있다. - P161

보험회사들은 순 현재 가치가 매우높은 보험을 원한다. 쉽게 설명하면 돈을 최대한 많이 벌기를 원한다는말이다. 보험 계약자가 보험료를 많이 내고 보험회사가 보험금을 지불할 가능성이 낮을수록 보험사의 이윤은 커진다. - P161

장기 보험일수록 보험료가 더 비싼데, 가입자가 오래 살수록 나이가 들어 죽을 가능성이 높아지기 때문이다. - P162

생명보험회사는 카지노에 비유할 수 있다.
(중략)
 일부 손님이 돈을 따기도 하지만, 카지노가 승률이 조금 더 높으므로 꾸준한 이윤이 창출된다. 마찬가지로 보험회사는 생존확률에 대한 추정치를 매기고 평균적으로 수익을 낼 수 있도록 보험료를 책정한다. 때로는 사람들이 가입한지 얼마 되지 않아 사망하여 손실을 입기도 하지만, 보험에 드는 사람이 수천 명에 이르기에 보험회사는 보험료의 할인 가치와 총 보험금 지급액의 할인 가치 사이의 가격차이에 따라 수익을 낼 수 있다. - P162

보험회사들은 보험 신청자와 보험 계약자에 관한 다양한 영역의정보(성, 연령, 키, 몸무게, 가족 병력, 직업, 흡연·음주 여부, 의료 기록, 건강 진단으로 확인된 현재 건강상태)를 수집한다. 인종, 약물 사용, 운전 기록, 신용기록, 취미 등에 관한 정보를 모으기도 한다. 조기 사망을 예측하는 요인이 발견되면 보험료가 높아질 수 있다. - P163

전 세계 거의 모든 나라에서 여성이 남성보다 오래 산다. 여성의 평균 기대 여명은 남성보다 5년 정도 더 길다.¹² 80세 여성이 1년 후에 죽을 확률은 4.3퍼센트인데 비해, 남성은 5.8퍼센트이다. 따라서 모든 조건이 동일한 경우 여성의 보험료가 남성보다 낮다. - P164

실제로 80세 흑인 남성이 1년 후 사망할 확률은 7퍼센트인 데 반해, 백인 남성은 5.8퍼센트이고 히스패닉계 남성은 4.7퍼센트이다.¹³ - P164

 한 사람이 생명보험에 가입하면서 이런 말을 했다고 한다. "나는정말 우리 할아버지처럼 평화롭게 자다가 죽고 싶어요. 할아버지 차에 같이 타고 있던 사람들처럼 고통스럽게 죽는 게 아니고요." - P164

가족 병력과 의료 기록을 제출하는 것뿐만 아니라 보험회사는 종종 현재 건강 상태를 확인하기 위해 보험 신청자에게 건강검진을 받아오라고 요구한다. 심혈관 질환, 고혈압, 흡연, 음주, 약물 남용, 비만 등의의료 기록이 있는 사람들은 보험료가 더 높은 편이다.  - P164

운전 기록도 생명보험회사에 중요한 자료다. 2016년 한 해에만 미국에서 4만 명이 넘는 사람들이 교통사고로 사망했기 때문이다. 가장높은 교통사고 사망률은 15~24세의 젊은 층과 75세 이상 노년층에서 나타났다.¹⁵ - P165

어떤 사람들에게는 놀라운 사실이겠지만 보험회사들이 보험 신청자들의 라이프스타일을 고려하는 경우도 많다. 스카이다이빙, 행글라이딩, 스쿠버다이빙, 암벽등반, 서핑, 익스트림 스포츠, 모터 스포츠,
자동차 경주, 개인 비행과 같은 위험한 라이프스타일이나 취미가 있으면 보험료가 높아진다. - P165

어떤 사람이 조기 사망 확률이 높은 희귀한 유전병과 같은 통제 불가능한 요인을 가지고 있다고 해보자. 보험회사는 이런 높은 조기 사망 확률의 대가로 그 사람에게 매우 높은 보험료를 청구하거나, 터무니없이 비싼 보험료를 매겨 보험을들 수 없게 만들기도 한다. - P166

 그러나 생명보험의 목적은 보험을 제공하는 것이지, 어떻게 살라고 지시하는 것이 아니다.
누군가 ‘통제 가능한 변수와 통제 불가능한 변수 중에 어떤 것이 위험을 평가하는 데 공정하고 적절한가?‘라고 묻는다면, 자유 시장 옹호자들은 경쟁 시장에서 보험회사들이 자신의 경쟁력을 강화하기 위해서는 법적으로 사용할 수 있는 모든 변수를 사용해도 된다고 대답할것이다. - P166

(전략) 즉 공익을 위해존재해야 할 규제 기관이 반대로 규제 대상의 이익을 증대시키려고 하지는 않는지 철저하게 감시해야 한다.¹⁷
미국에는 보험회사들이 인종, 종교, 출신 국가, 성을 고려하지 못하도록 금지하는 연방법이 없다" 따라서 보험회사에 대한 규제는 주 정부의 소관이며, 이 문제에 대한 규제도 각 주 정부가 정한다. - P166

나이를 예로 들어 보자. 생명보험의 보험료를 계산하는 데 나이를 사용하는 것을 금지하는 주는 어디에도 없다. 만약 그런 주가 있다면모든 연령층이 동일한 보험에 동일한 보험료를 지불해야 할 것이다. 이는 모든 요인이 동일하다는 가정하에 청년층이 노년층의 생명보험을보조해 주는 것이 된다. 왜냐하면 젊은이들은 자신들의 사망 위험을 통해 도출된 수준보다 더 많은 돈을 지불하는 셈이기 때문이다. - P167

다른 종류의 통제 불가능한 요인들도 중요하다. 앞서 언급했듯이 평균적으로 여성의 수명이 남성보다 길다는 것은 과학적으로 확인된 사실이다. 실제로 18세부터 90세까지 모든 연령대에서 남성이 여성보다1년 후 사망 확률이 높게 나타난다. 여성의 생존율 우위는 연령이 높아질수록 증가한다. - P167

몬태나주는 성에 기초한 보험료 책정이 불법이어서 남녀를 구분하지 않는 생명표를 사용한다. 몬태나주의여성들이 남성들의 생명보험을 보조해 주는 셈인 것이다. - P168

많은 주에서 생명보험의 보험료를 책정할 때 인종을 고려하는 것을 명시적으로 금지하지 않지만, 캘리포니아, 조지아, 뉴저지, 뉴멕시코, 노스캐롤라이나, 텍사스, 워싱턴, 위스콘신주에서는 불법으로 규정한다. 이와 대조적으로 루이지애나주는 보험회사가 보험료 책정에 인종을 고려하는 것을 법으로 허용하고 있다.²⁰ 인종을 고려하는 것을 명확하게 법으로 금지하지 않는 주들 중에는 인종이라는 요소가 변수로 사용되지 않아 규제가 따로 필요하지 않다고 생각하는 주들도 있을 것이다. - P168

히스패닉계와 백인이 평균적으로 흑인보다 기대 여명이 길기에 보험회사들이 통합 생명표를 사용하면 결과적으로 히스패닉계와 백인들이 흑인의 생명보험을 보조하게 된다. 일종의 교차 보조다.²² - P168

어떤 보험에도 들지 않았다거나 더 높은 보장액의 보험에 들지 않은 가장 큰 이유가 보험료 때문이라고 대답한 히스패닉은 66퍼센트였던 데 반해, 같은 대답을 한 흑인은 55퍼센트였다는 사실도 이런 점을 뒷받침해 준다. 다음 해에 생명보험에 가입할 가능성이 매우 높다고 답한 비율도 흑인은 22퍼센트였으나, 히스패닉계는 14퍼센트에 불과했다.²⁴ - P169

 이렇게 직원들 앞으로 생명보험에 들어 둔 기업의 의도는 아마도유능한 직원을 잃는 데 대한 대비이거나 보험을 ‘좋은 투자‘라고 생각해서였을 것이다. 고용주의 관점에서 보면 보험금은 직원을 잃음으로써회사의 재정에 미치는 잠재적 영향을 의미할 수 있으나 항상 그런 것만은 아니다. - P170

 간단히 말해 생명보험에서 우리는 내 생명을 대체하는 데 필요한돈이 얼마인지 결정할 수 있다. 하지만 자신에게 매우 높은 가격을 매기는 영예를 누리려면 매우 높은 보험료를 지불해야 한다.
생명보험은 개인이 보장 금액을 직접 결정하고 자신을 대체하는데 필요한 돈의 액수를 스스로 감정하는 과정을 수반한다. 생명보험이 사망 시에 지급되는 돈에 초점을 맞춘 것이라면, 다음 장에서 다룰 건강보험은 환자가 더 높은 삶의 질을 제공 받기 위해 약물, 수술 등의 의료 서비스가 필요한 상황에서 지급되는 금액에 초점을 맞춘다.  - P171

티보 다무르 (Thibault Damour) 프랑스...

티보 다무르 (Thibault Damour)

프랑스 고등과학연구소
앨버트 아인슈타인 메달
파웰 메달 - P57

화자(話)가 잃어버린 시간을 되찾은 기쁨을 맛본 것은 게르망트 호텔 마당의 울퉁불퉁한 포석을밟는 순간이었다. 나도 그와 비슷한 경험을 한 적이 있다. 1989년 어느 화창한 가을날, 이제 막 전임교수가 된 나는 샤르트르가 35번지의 포석을 밟았다. 건물 입구 대리석에는 ‘고등과학연구소‘라는금색 글자가 번쩍이고 있었다. - P57

 나는 존 A. 휠러 (JohnArchibald Wheeler)의 세미나에 참석하려던 참이었다. 세미나가 열렸던 음악관의 유리벽 너머로 봄날의 정원이 다시 펼쳐진다. 휠러가 커다란 종이를한 장씩 넘기는 소리도 들린다. 그 종이에는 그가여러 색깔의 사인펜을 사용해 정성껏 쓰고 그려 준비한 발표 내용이 들어 있었다. - P57

 스물셋 청년이었던내게 그 세미나는 여러 가지 이유로 중요했다. 우선 위대한 물리학자의 생각과 그 인물 자체를 만날 수 있다는 것은 놀라운 경험이었다. - P57

마지막 이유는 프랑스 고등사범학교를 졸업하고 프린스턴대학의 제인 엘리자록터 박사후과정 장학금을 받게 된 내가 휠러에게 1974~1975학년도에 중력과 상대성이론을 연구하는 그의 연구팀에 받아달라고 요청했기 때문이다. - P58

두 번째 오버랩. 다시 15년 앞으로 전임교수로 임용된 뒤 고등과학연구소 구내식당에서 하는 첫 점심식사. 그렇지 않아도 수학에 문외한인데, 내로라하는 학자들 사이에 앉아 있으려니 영 생뚱맞다. - P58

‘존스다항식‘에 대해서는 아무것도 모른다고 고백해야 할까? 정신적으로나 신체적으로나 모난 데라곤 없는 본 존스는 나를 편안하게 대해주며 이해할수 있도록 설명해줄까 물었다.  - P59

그때 내가 깨달은 것은 두 가지였다. 첫째, 다양한 분야의 최고 전문가들이 자유롭고 화기애애한 분위기에서 밥을 먹으며, 차를 마시며, 그림을 감상하며 등등) 교류를 나누게 하는 고등과학연구소의 매우 독특한 구조는 글을 통해 매우 북편하고 비효울적인 - P59

폴 올리비에 드에 (Paul-Olivier Dehaye)
옥스퍼드 머튼 대학 - P46

"연구 주제가 뭡니까?"
"어떻게 거기에 관심을 가지게 됐나요?"
"그걸 어디에 써먹죠?"
"그 러시아 사람은 왜 상을 거부했답니까?" - P46

수학자라면 속사포처럼 쏟아지는 이런 질문에 자주 부딪힐 것이다. 그것은 일반 사람들이 수학자의 연구에 보이는 호기심 반 존경심 반의 증거라고할 수 있다. - P46

어쩌면 독특한 수학자들이 많아서 그러는지도모른다. 아니면 수학자들이 쓰는 이국적 언어 때문일지도, 혹은 수학을 학문의 최고봉에 앉히는 시각때문일지도 모르겠다. - P46

수학은 두 사람이 하는 게임이다. 한 사람은 열광하고 나머지 한 사람은 주저한다. 열광적인 사람이 흥분하는 이유는 그가 안다는 것을 알기 때문이다. 주저하는 사람은 이의를 제기할 방법을 모두 동원할 때까지 망설일 것이다. - P50

그러나 수학은 두 사람의 대결이 아니다. 그것은 하나의 목표를 향한 공동의 노력이다. 그 목표를 달성하기 어렵기 때문에 흠잡을 데 없는 철저함이 있어야만 그곳에 닿을 수 있다. - P51

알리 샴세딘(Ali Chamseddine)
베이루트아메리칸 대학 - P115

빈곤과 보건 문제로 골머리를 앓는 개발도상국정부는 연구를 할 여유도 없고 투자를 해야겠다는생각도 없다. 가난한 나라에서 태어나서 능력을 발휘하지 못하는 천재들이 얼마나 많으며, 그로 인한손실은 또 얼마나 될까 하는 생각이 들지 않을 수 없다. - P115

연구소를 지원해야 한다는 생각은 고대 사회로 거슬러 올라가는데, 그것은 수학과 그 밖에 다른 과학의 발전에 매우 중요한 역할을 했다.  - P115

수학자들은 그리스 수학을 번역했을 뿐만 아니라 대수학과 같이 그들이 발견한 것도 첨가했다. - P115

또 재능이란 키워주지 않으면 꽃필 수 없는 것이라는 점도 충분히 증명되었다. 따라서 풍요를 누리는 사회는 개발도상국을 도와 재능 있는 인재를가려내고 양성하며 그들에게 문명의 발전에 기여할 수 있는 수단을 제공해야 할 도덕적 의무가 있다. - P116

정부가 기초연구에 투자하고 거둬들이는 비용이 천문학적이라는 것은 간단한 계산으로도 알 수있다. 과학적 발견으로 얻을 수 있는 이익에서 아주 적은 부분이라도 투자를 한다면 오랜 기간 동안수학자들과 그 밖에 다른 분야의 연구자들이 연구에 몰두할 수 있을 것이다. - P116

혹시 ‘우리가 살고 있는 세상이 컴퓨터 시뮬레이션은 ...

혹시 ‘우리가 살고 있는 세상이 컴퓨터 시뮬레이션은 아닐까?‘ 혹은
‘우리가 살고 있는 이 현실 자체가 이미 다른 사람의 상상은 아닐까? 하는 생각을 해본 경험이 있으신가요?  - P87

이 질문의 답을 찾기 위해서는 가장 먼저 ‘산다는 것은 무엇일까?‘라는 또 다른 질문을 던져야 합니다. - P87

출생은 우리가 선택할 수도 바꿀 수도 없는 우연의 결과인 것입니다. 결국 우리가 알고 있는 현실은 ‘과학적 현실이 있고 ‘인간이 느끼는 현실‘이 있고 우리 ‘인간의 삶이라는 현실‘이 있습니다. - P88

과연 이렇게 규정된 현실이 전부일까요? - P88

 그리고 이런 의문을 떠올립니다. ‘도대체 저것은 무엇일까? 어떻게 떨어지지 않고 하늘에 있을까?‘ 하늘이 늘 궁금했던 인간은 오래전부터 하늘이 무엇인지 파악하기 위해 노력해 왔습니다. - P88

 지금의 시각에서는 말도 안 되는 상상이지만 수천 년 전의 사람들은 이렇게 해서라도 자신들의호기심을 풀고 싶어 했습니다. 이처럼 우리가 살아온 세상은 다양한 문명만큼 다양한 생각과 호기심을 가지고 있습니다. - P90

 그런데 현대 과학은 조금 다른 식으로 접근합니다. 우주라는 것은 누군가의 의도로 만들어진 것이 아니라 138억 년 전에 갑자기 무에서 만들어졌다는 것입니다. 그리고138억 년 전 우주가 창조되었을 때 우주 대폭발인 빅뱅의 근접을 여전히 볼 수 있다는 것입니다. - P90

우리가 바라보는 별은 우주 공간의 가스나 먼지가 뭉친 성운에서 만들어지는데 우연히별들이 탄생하는 장면을 현대과학이 촬영했습니다. 그리고 우리는 별이라는 것이 성운에서 뾰족뾰족하게 튀어나오듯이 만들어진다는 새로운 사실을 알게 되었습니다. - P91

 즉 수천억개의 은하계 중 하나인 우리의 ‘은하수‘, 그 안에 있는 수천억 개의별 중 하나인 ‘태양, 그 태양계에서 세번째 행성인 ‘지구‘, 지구의한구석인 ‘대한민국, 대한민국의 한구석인 ‘어딘가에서 우리는 각자의 삶을 살고 있는 것입니다. 이것이 팩트입니다. - P92

즉 인간은 우주에 비해 아주 미미한 존재이지만 동시에 위대한 존재이기도 한 것입니다. - P92

미국의 천문학자 칼 세이건Carl Sagan이 쓴 <코스모스>에는 재미있는 그림이 하나 나옵니다. ‘창백한 푸른 점 Pale Blue Dot‘이라 이름 붙인 그것은 바로 우리가 살고 있는 지구입니다. - P92

우리가 알고 있는 현실이 전부가 아닐 수도 있음을 경험할 수 있는 것이 바로 꿈입니다. 인간은 매일 밤 평균 5~6번의 꿈을 꿉니다. 그렇다면 꿈과 현실의 차이는 무엇일까요? 가장 핵심적인 차이는 현실은 연결이 되지만 꿈은 연결되지 않는다는 것입니다. - P94

인과관계가 없기 때문입니다. 내가 어떻게 서울에서 뉴욕까지 갔는지, 공항에 가서 비행기를 타는 장면 장면을 연결해주는 인과관계가 존재하지 않는다면 현실일 가능성은 극히 낮습니다. - P95

그런 의미에서 과학적이고 철학적으로 꿈과 현실에 관해질문하기 시작한 사람이 바로 플라톤Plato입니다. 그의 ‘동굴의 비유는 매우 유명합니다. 어두운 동굴 속에서 묶인 채 평생을 살아온 죄수들이 볼 수 있는 것은 진짜 현실이 아니라 바깥세상에 존재하는 물체들의 그림자라는 것입니다. - P95

그리스 철학에서 중요하게 다룬 문제 중 하나가 보편성입니다.
보편성이라는 것은 무엇일까요? 우리는 분명히 ‘고양이‘라는 보편적인 단어를 가지고 있습니다. 그런데 고양이들은 저마다 다르게 생겼습니다. 이렇게 다르게 생긴 녀석들인데 왜 우리는 통틀어 고양이라고 부르는 걸까요? - P96

‘고양이는 털이 짧다고 정의하기엔 페르시안 고양이처럼 털이 긴종류가 존재합니다. ‘고양이는 털이 길 수도 있다‘라고 정의하면 아예털이 없는 스핑크스 고양이가 방해를 합니다. - P96

우리가 다르게 생긴 강아지들과 다르게 생긴 고양이들을 각자같은 물체라고 이해할 수 있는 것은 우리 눈에 보이는 것들이 진짜 물체가 아니고 ‘이데아 세상‘이라는 완벽한 세상에 존재하는 완벽한 그림자라는 것입니다. 그의 말을 들은 많은 사람들은 우리가 현실과 그림자를 구별하지 못할 리 없다며 비판했습니다. 그때 플라톤이 동굴의 비유를 들면서 태어나면서부터 그림자만 보고 살면 그것이 그림자인지 진짜 물체인지 모를 수 있다고 답합니다. - P96

동굴 예제가 재미있는 것은 동굴 안에 잡혀 있던 죄수가 우연히 족쇄를 풀고 밖으로 나와 처음 태양을 보게 되면서부터 입니다. 그가 볼 때는 태양이 진실입니다. 이때 두 가지 상황이 벌어질 수 있습니다. 첫번째는 진실을 보여줘도 햇살이 너무 눈부셔서 진짜 세상을 보지 못하는 것입니다. 
(중략)
두 번째는 시간이 지나서 세상의 진실, 현실을 알아보고다시 동굴 속 죄수들에게 내려와 동굴 밖 진짜 세상에 관해 설명하는 것입니다. - P97

결국 우리가 왜곡된 세상에서 태어나서 자라다가 현실을 알아볼 기회를 맞이해도 그것이 현실이란 것을 못 알아보거나, 나 자신이 현실을 깨달아도 타인이 나를 이해하지 못한다는 것입니다. - P97

진짜 세상이 어떻게 생겼는지 알 수 없는 이유 중 하나는 저마다 느끼는 세상이 완전히 다르기 때문입니다. 
(중략)
개와 고양이는 가까운 것은 매우 선명하게, 멀리 있는 것은 흐리게 인식합니다. 쥐의 눈에 보이는 세상은 온통 흑백입니다. - P98

이렇듯 각자 다른것을 보고 자란 인간의 뇌는 현실을 절대적으로 보지 않고 상대적으로 봅니다. 주변에 큰 것이 있으면 다른 것이 작게 보이고, 주변에 작은 것이 있으면 다른 것이 크게 보입니다. - P99

 기술이 발달하고 경제가 발전하면서 우리 모두가 더 잘살 수는 있지만 행복이라는 단어 자체가 상대성을 갖고 있는 이상 모두가 행복할 수는 없습니다. - P99

행복도 마찬가지입니다. 결국 우리는어쩔 수 없이 나의 행복을 위해서는 나보다 잘난 사람과의 비교를멈춰야 합니다. 그들과 비교하면 내가 아무리 잘나가더라도 불행할수밖에 없습니다. - P99

현대사회의 가장 큰 문제 중 하나는 인터넷의 발달로 전 세계에서 일어나는 모든 일을 알 수 있다는 것입니다. 그만큼 비교할 대상이 많아지고 우리는 불행으로 가는 지름길에 빠집니다. - P99

내가 알고 있는 것들

우리의 뇌는 눈에 들어오는 정보를 그대로 처리하지 않고 차이값만을 계산에 있습니다. 우리 현실은 모든 정보를 읽어야 할 만큼 빠르게 변하지 않습니다. 또한 모든 정보를 다 받아들이면 뇌의 용량은 금세 다 차버립니다. - P100

아침에 일어나 씻고, 출근해서 일한 뒤, 집에 와서 잠자리에 듭니다. 아침, 점심, 저녁을 먹긴 했지만 무엇을 먹었는지 자세히 기억하지 않습니다. 똑같은 일이 반복되기 때문에 뇌의 입장에선 입력할 가치가 없는 정보라고 해석한 것입니다. - P100

같은 일만 반복하면 기억에 남는 것이 없습니다. 올해 2월에 무슨 일을 했을까요? 3년 전에는 무슨 일이 있었을까요? 바로 기억해내지 못합니다. 절대적인 시간보다 기억에 남을 만한 일이 없다면뇌가 봤을 때는 가치 없는 시간을 보낸 것입니다.  - P101

노벨물리학상을 받은 물리학자 리처드 파인만은 1974년 캘리포니야 대학 졸업연설에서 화물숭배(carge cult)에 관해 이야기했습니다.
(중략)
 섬에 살던 원주민들은 하루에도 수차례씩 오가는 비행기를 보고 숲속으로 도망쳤습니다. - P102

 새롭고 신기한 물건을 얻고 싶었던 원주민들은 비슷하게 활주로를 만들고 나무로 비행기를 만들고 오두막을 만들어 관제탑을세웠으며, 대나무로 안테나를 만드는 등 자신들이 보았던 비행장의 모든 것을 흉내 냈습니다. - P102

파이만은 이 같은 원주민들의 행동을 가리켜 자신이 하는 행위의 진전한 의미를 모르는 채 행동한다면 흉내에 불과하다고 말했습나다.  - P102

그러면서 학생들에게 겉아로 보기에는 과학연구 방식을 따르는 것처럼 보여도 과학적 탐구 원칙을 제대로 갖추지 못하거나 스스로를 속이는 연구를 하고 있다면 그것은 과학적으로 아무런 의미도 갖지 못한다고 했습니다. 스스로를 속이지 않고 성실하게 과학적 탐구를 이어나가는 과학자의 의무를 지킬 것을 당부한 것입니다. - P103

안타깝게도 화물 숭배는 대한민국 교육의 현실이기도 합니다. 학생들은 문제의 의미를 이해하기보다 수식만 외워서 남들보다 더 빨리 문제를 푸는 모방에만 반복하고 있습니다. - P103

결국 우리는 이 세상을 세 가지로 나눠볼 수 있습니다 알고 있는 것, 모른다는 사실을 아는 것, 그리고 무엇을 모르는지도 모르는 것입니다. - P103

이 생각은 꼬리를 물고 ‘그렇다면 내가 알고 있는 것 중 진실은 무엇일까?‘라는 의문으로 이어졌습니다. 그러고는 상상 속에서 실힘을 합니다. 나를 둘러싼 수많은 악마가 왜곡된 거짓을 내 머릿속에 집어넣어서 내가 지금 믿고 있는 것들이 모두 거짓일지도 모른다고 생각했습니다. - P104

이건 어떻게 된 거지?

이건 어떻게 된 거지?