‘수포자‘가 되기 전에 읽어야 할 책

스탠퍼드 수학공부법 - 스스로 답을 찾는 힘
조 볼러 지음, 송명진.박종하 옮김 / 와이즈베리 / 2017년 4월

학생들의 머릿 속에는 수학에 대한 고정관념이 강하게 뿌리박혀 있다. 수학을 잘하는 사람과 그렇지 않은 사람이 정해져 있다고 믿는 것이다. 심지어 자신에 대한 부정적인 생각이 더해져서 삶의 다른 부분에서는 성공할 수 잇어도, 수학은 결코 잘할 수 없다고 생각하기도 한다. - '서문' 중에서

수학을 잘하는 사람은 타고 났을까?

이 책의 저자 조 볼러는 스탠퍼드 대학교 수학교육학과 교수이자 학생들에게 수학에 대한 영감을 자극하는 데 필요한 자료와 아이디어를 교사와 학부모에게 제공하기 위한 온라인 학습 사이트 유큐브드(www.youcubed.org)의 공동 설립자이다. OECD의 국제학업성취도평가(PISA) 팀의 분석가이며, 수학 교육과 학습에 대한 첫 번째 대규모 공개 온라인 강좌의 개설자이기도 하다.

영국에서 수학 교육계의 퀴리 부인으로 인정받으며 영국교육연구협회로부터 최고 박사에게 주어지는 상을 받았다. 영국왕립예술학회 선임 연구원이며, 국제여성수학교육기구(IOWME) 회장을 역 임하기도 했다. 국립과학재단의 대통령상과 수학 교육계의 리더십 단체 NCSM에서 수여하는 케이 길리랜드 평등상을 받았다.

일반적으로 수학은 매우 '어렵고 재미없는' 과목으로 알려져 있다. 이는 잘못된 편견에 따른 것인데, '원래 수학을 못하는 아이들이 있지', '수학을 잘하는 아이는 분명 똑똑할 거야' 등과 같은 그릇된 선입견을 가짐으로써 마치 이게 정설인 것처럼 굳어지다 보니 상대적으로 그렇지 않은 아이들은 아예 수학을 중도에 포기하는 일이 생기고 만다. 사실 수학의 본질은 문제를 틀리지 않고 기계적으로 빠르게 풀어내는 능력이 아니라 논리와 창의성을 바탕으로 연결성을 만들고 자연의 원리를 이해하는 것이다.

 
이 책은 총 9장에 걸쳐 공식을 달달 외워 문제를 푸는 천편일률적인 수학공부법에서 벗어나 학생 스스로 답을 찾는 힘을 키울 수 있도록 교사와 부모들이 함께 고민하고 노력하는 과정을 소개한다. 어쩔 수 없이 '수포자(수학을 포기한 자)' 대열에 합류한 아이들에게 학부모와 교사들은 이들의 실수에 대한 피드백이나 메시지를 긍정적으로 바꿔야 한다는 것이다. 문제 풀이에 틀리더라도 불안감을 느끼지 않고 도전적인 자세로 재차 해결을 시도할 때 아이들의 두뇌는 한층 더 성장할 수 있기 때문이다.

영국 여왕이 수여하는 대영제국 4등 훈장을 받은 최고의 과학자인 비비언 페리 박사도 놀랍게도 수학 트라우마가 있었다. 그녀의 화려한 과학자 경력에도 불구하고 자신이 수학을 너무도 두려워한 나머지 집에서 세무 서류를 작성할 때 백분율을 계산하지 못한다고 방송에서 고백했다. 그녀는 아마도 계산력 장애를 지닌 것으로 보이는데, 그녀가 겪는 수학 불안감의 근본적 원인은 수학에 대한 부정적 경험 때문일 가능성이 높다. 어린 시절 수학 때문에 마음에 상처를 입게 되면 이처럼 수학이라면 아예 문을 닫아버린다.

'블랙 캡' 운전사들의 해마는 버스 운전사보다 더 크다

블랙 캡의 운전사가 되려면 런던 중앙부에서 반경 약 40킬로미터 내에 있는 25,000개의 거리명과 20,000개의 랜드마크를 줄줄이 외워야 하는데, 대략 2년에서 4년 정도 걸린다고 한다. 미국의 도시 도로는 격자 구조로 이루어져 있지만 런던은 수천 개의 도로가 거미줄처럼 복잡하게 얽혀 있다.

2000년대 초반, 과학자들은 블랙 캡 운전기사를 상대로 이처럼 복잡한 공간 훈련을 거치면서 두뇌에 변화가 있을 것으로 기대하고 연구에 나섰다. 연구진은 운전기사들의 훈련이 끝날 무렵 그들의 두뇌 속 해마가 현저하게 커진 것을 발견했다. 해마는 학습과 기억, 특히 공간 기억력에 있어서 가장 중요한 영역이다.

다른 연구에선 런던 버스 운전기사의 두뇌 성장을 비교했다. 버스 운전기사는 단순히 버스 노선 하나만 익히면 되기 때문에 블랙 캡 운전기사와 같은 정도의 두뇌 성장을 찾아볼 수가 없었다. 이를 통해 우리들은 매우 복잡한 훈련으로 인해 불랙 캡 운전기사의 두뇌가 놀랄 정도로 성장했음을 알 수 있다. 그리고 나중에 은퇴한 블랙 캡 운전기사의 해마 크기를 확인한 결과 다시 줄어든 것을 발견했으니 말이다.

또 국립정신건강센터의 연구진들은 실험 대상자에게 3주간 매일 10분씩 연습 문제를 풀게 하고, 이를 풀지 않은 사람들의 두뇌를 비교했다. 그런데 매일 몇 분간 연습 문제를 푼 사람들의 두뇌에는 구조적인 변화가 있었다. 즉 과제를 수행한 실험 참가자의 뇌는 성장했다. 이와같은  연구들에서 얻어진 바는 적절한 가르침과 긍정적인 메시지를 받는다면 누구나 수학을 잘할 수 있고 가장 높은 성취 단계에 도달할 수 있다는 사실이다.

"다른 학생보다 현저히 부족한 수학 지식을 가진 학생들도 있을 것이다. 하지만 그런 학생들이라고 해서 월반하거나 높은 수준의 수학을 배울 수 없는 것은 아니다. 양질의 교수법과 정서적 지지를 받으면 누구라도 가능하다"(26 쪽)

타고난 수학적 재능은 없다

물론 모든 사람들이 동일한 두뇌를 갖고 태어나는 것은 아니다. 하지만 많은 사람들이 잘못 믿고 있는 것처럼 '수학 두뇌' 또는 '수학적 재능'과 같은 것은 애초에 없다. 누구라도 수학을 아는 채로 태어나는 경우도 없고 또한 수학을 배울 수 없을 정도의 능력을 갖고 태어나는 경우도 없다. 그럼에도 불구하고 너무도 많은 사람들이 '영재'는 타고난다고 생각하고 있다.

사실 학교는 이런 그릇된 믿음에 사로잡혀 학생들의 학습을 방해하고 있다. 우리 두뇌의 시냅스는 매 순간 전기신호를 보내고 있다. 성장 마인드세트 메시지와 활기 있는 자극을 받는 학생은 어던 것이든 성취할 수 있다. 물론 타고난 두뇌로 인해 유리하게 시작할 수는 있지만 이는 오래 가기는 힘들다.

캐럴 드웩 교수와 동료들의 연구에 의하면 약 40퍼센트의 아동들이 불리한 고정 마인드세트를 가지고 있다. 즉 지능이라는 것은 어떤 이는 갖고 있지만 또 어떤 이는 갖고 있지 않은 재능이라고 믿는다는 것이다. 나머지 40퍼센트는 성장 마인드세트를 갖고 있고, 20퍼센트는 두 마인드세트를 왔다 갔다 한다고 밝혀졌다. 여기서 고정 마인드세트를 가진 학생은 쉽게 포기할 가능성이 높은 반면, 성장 마인드세트를 가진 학생은 어려운 일이라도 끈기를 갖고 계속 한다. 앤절라 덕워스는 이를 '그릿(투지)'이라고 칭했다.

실수의 참된 의미 

최근의 신경학적 연구에 의하면 실수를 할 때 우리의 두뇌는 불이 반짝 들어오고 성장한다. 실수는 학습할 기회일 뿐만 아니라 우리의 두뇌가 성장하는 시간이다. 어른이든 아이든 수학 문제에서 실수하면 기분이야 나쁘겠지만 실수는 아주 중요하다. 수학 문제에서 실수하면 사람들은 스스로 수학을 잘하는 머리가 아니라고 생각한다. 이는 성과 중심의 문화에서 자란 탓이다.

성장 마인드세트는 수학 외에 다른 과목을 배울 때도 중요하다. 실수시 두뇌 활동이 성장 마인드세트를 가진 사람에게서 더 활발하게 나타남을 보여준다. 자신을 믿느냐 믿지 않느냐 하는 것이 우리의 두뇌가 작동하는 방식을 바꾼다. 실수의 의미를 소중하게 여긴다면 두뇌는 우리가 실수할 때 훨씬 더 크게 성장한다.

수학이라는 과목

학생들은 흔히 수학은 계산, 절차 또는 규칙에 대한 공부라고 말한다. 그런데, 동일한 질문에 대해 수학자들은 패턴을 연구하는 학문이며, 심미적이고 창의적이며 아름다운 학문이라고 답한다. 그런데, 영문학의 경우에는 학생들의 대답과 영문과 교수의 대답이 크게 다르지 않다.

학교에서 배우는 수학은 시레 수학과 너무나 동떨어져 있다. 수학은 문화 현상이다. 수학은 세계를 이해하기 위한 여러 개의 아이디어와 연결, 연관성의 집합이다. 그 핵심이 바로 수학은 패턴에 관한 것이라는 점이다. 어디에서나 패턴을 볼 수 있고, 수학적 연구를 통해 개발된 패턴을 통해 새롭고 강력한 지식이 만들어진다.

눈송이를 자세히 관찰해보면 흥미로운 것을 발견할 수 있다. 눈송이 하나하나는 단 하나의 통일된 패턴을 갖고 있다. 모든 눈송이는 육각형 모양으로 항상 6개의 점을 갖는다. 여기에는 이유가 있다. 눈송이는 물 분자로 이루어지는데, 물은 반복되는 육각형 모양의 패턴으로 얼어붙는다.

수학 교육에서 직면하는 또 다른 심각한 문제는 수학은 계산하는 것이며 수학을 가장 잘하는 사람은 계산을 가장 빨리하는 사람이라고 믿는 것이다. 계산을 빨리하면 진짜로 수학을 잘하고 '똑똑한'사람이라는 믿음이 사회 전반에 퍼져 있다. 하지만 뛰어난 수학자들은 대체로 계산이 느리다. 계산은 이제 완전히자동화되었고, 단순하고 따분할 뿐이다. 생각의 힘을 강력하게 발휘하는 사람은 연결을 만들고, 논리적으로 생각하고, 공간과 데이터, 수를 창의적으로 사용하는 사람이다.

수학적 마인드세트 만들기

아이들에게 줄 수 있는 가장 중요하고 좋은 첫 수학 경험은 수와 도형을 가지고 놀면서 어떤 패턴과 아이디어를 찾을 수 있는지 생각하는 것이다. 새로운 수학적 알고리즘을 발명하여 올해의 젊은 과학자 상을 받은 세라 플래너리는 자서전에서 아버지와 함께 퍼즐 문제를 풀면서 수학적 사고력을 키웠다고 술회한다. 그 어떤 수업보다 이 시간이 더 중요했다는 것이다.

수학 성적이 좋은 아이들은 수학을 제대로 이해하려는 열망과 수학을 잘할 수 있다는 자신감을 갖고 있다. 그들은 패턴과 연관성을 찾고, 연결성을 생각한다. 수학적 마인드 세트는 수학이 성정에 대한 교과목이고, 새로운 아이디어를 익히고 생각하는 방법을 배우는 것이 목적이라는 사고방식이다. 수학을 잘하는 사람은 이런 수학적 마인드세트를 가지고 있다.

대부분 어린 나이에 수를 배우기 시작한다. 가장 지루한 수학 공식도 논리적으로 따지고 이해함으로써 개념적으로 배울 수 있다. 흥미로운 상황이 주어지고 그 상황을 스스로 파악하고 이해할 수 잇는 환경을 만들어주면, 학생들은 수학을 다르게 생각할 것이다. 꽉 막히고 고정된 지식의 본체가 아니라 자신들이 탐험하고 질문을 던지고 관계성에 대해 생각할 수 있는 탁 트인 풍경으로 볼 것이다.

학습 잠재력을 높이기 위한 제안

1. 여러 방법, 경로 및 표현을 할 수 있는 열린 과제여야 한다

2. 탐구 기회를 포함하는 과제여야 한다

3. 방법을 가르치기 전에 먼저 질문한다

4. 식각적 구성 요소를 추가하고 수학을 어떻게 보는지 학생들에게 묻는다

5. '바닥은 낮고, 천장은 높은' 과제가 되도록 확장한다

6. 학생들에게 설득하고 근거를 제시하라고 요구한다

이젠 수학 교육법을 바꿔야 한다

저자에 따르면 아이든 어른이든 수학을 포기하는 가장 큰 이유는 수학에 대한 부정적인 경험과 트라우마다. 즉 '수학을 잘 하는 아이는 똑똑하다', '수학을 선천적으로 못 하는 아이가 있다'  등 잘못된 믿음이 특히 아이들에게 창의력과 논리력으로 수학 문제를 풀어볼 기회를 박탈한다는 것이다.

사실 수학은 답을 내리는 학문이 아니다. 이에 저자는 "수학의 매력은 여러 과목을 융합하는 풍성한 연결성을 탐구할 수 있다는 점"이라며 "맥락 없이 뚝 떨어진 공식을 암기할 게 아니라 수학적 마인드 세트를 심어주는 게 중요하다"고 강조한다. 따라서, 하나의 답을 가진 수학 문제가 아니라 문제를 보는 방식, 풀이방법, 접근방식, 표현 방식 등을 살피는 학습 방법을 통해 이를 내재화하는 것이다.

학생들에게 창조적이고 아름다운 수학을 소개해야 한다. 창조적이고 아름다운 수학은 이제까지 질문만 받아왔던 학생들이 스스로 질문을 하고, 관습과 상상의 경계를 넘어서서 생각하게 만든다.