[2025-42] 수학의 숲은 걷다

수학의 숲을 걷다 - 개념 나무를 따라 걷는 지적 탐험
송용진 지음 / 블랙피쉬 / 2025년 3월

제목 : 수학의 숲을 걷다

작가 : 송용진

출판사 : 블랙피쉬

읽은기간 : 2025/09/01 -2025/09/12

교양으로 읽기엔 좀 어렵다. 수학의 이론을 이해하기에는 내가 가진 지식이 짧았다. 

저자는 고등학교 수학에서 가르쳐야 할 내용이 부실하다고 주장한다. 

고등학교 수학을 쉽게 가르치기 위해서 배워야 할 내용들을 제대로 가르치지 않다고 한다. 

만일 그렇다면 우리가 수학에서 배워야 할 내용이 너무 많은거 아닐까?

지금도 고등학교 수학시간은 일주일에 4시간 이상이다. 

그렇게 3년을 가르치는데도 더 가르쳐야 한다면 학교다니는 동안 수학만 배워야 하는건 아닐까 싶다. 

생각하는 법을 가르치고 싶다면 대수와 기하만 집중적으로 가르치고 증명하는 법을 통해 사고할 수 있게 해주면 될 것 같다. 

수학은 아름다운 학문이지만 너무 많은 시간과 헌신을 요구한다. 재미없을 수 밖에...

일반인이 수학을 즐겁게 생각하게 하거나 필요하다고 설득하기엔 책의 주장이 너무 공허하다. 

p27 학생들이 학교에서 배우고 있는 수학의 개념과 기호들은 수많은 수학자들이 오랜 세월에 걸쳐 어렵게 깨닫고 난 후에 정리해 놓은 것들입니다.

p40 고대 그리스인들은 원뿔곡선을 발견했습니다. 원뿔을 평면으로 자를 때 자르는 각도에 따라 그 단면이 타원, 포물선, 쌍곡선을 이룹니다. 이러한 원뿐곡선들은 현대에 와서는 x와 y에 대한 2차식으로 나타낼 수 있으므로 이차곡선이라고도 불립니다.

p44 갈루아의 정리를 예로 들어 봅시다. 프랑스의 갈루아가 10대 후반의 나이에 찾아낸 이 정리는 역사상 가장 아름답고 위대한 정리 중 하나이고 그것이 의미하는 바가 너무나 크기 때문에 앞에서 언급했듯이 정리라는 말 대신 이론이라는 말로 부릅니다. 갈루아 이론을 이용하면 5차 이상의 방정식은 일반해를 구하는 공식이 존재할 수 없다는 사실을 간단히 증명할 수 있습니다.

p61 저의 전공 분양인 대수적 위상수학은 어려운 개념 이해가 많이 요구되는 대표적인 분야인데요. 이 분야의 논문에 등장하는 개념들을 이해하기 위해서는 대학원 입학 후에도 다년간의 학습과 경험이 필요합니다.

p72 페아노가 자연수의 정의에서 다음수라는 개념에 주목한 것은 모든 수에 대하여 그 다음 수가 존재한다는 것이 자연수가 갖는 가장 중요한 성질임을 알아차렸기 때문입니다. 그래서 이것을 정의적 성질로 규정하고 이를 통하여 자연수의 집합을 정의한 것입니다.

p77 구성주의는 직관주의자들이 주장하던 것입니다. 그들은 무리수를 정의할 때도 “유리수가 아닌 수”와 같이 정의해서는 안되고, 무리수를 구성주의에 입각해서 구체적으로 구성하여 정의해야 한다고 주장했습니다. 이러한 주장에 부응하기 위해 데데킨트가 무리수의 정의를 새로 고안해 낸 것입니다.

p112 집합을 어려워하는 학생들이 있다면 그런 학생들은 대개 수학은 수식 조작이나 계산을 통해 답을 구하는 과목이라는 오해를 하고 있거나 문해력 또는 집중력이 부족한 학생일 것입니다.

p138 포물선이나 원은 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 (단면에) 생기는 곡선으로, 고대 그리스부터 많이 연구되어 온 유명한 곡선입니다. 그런데 2천 년이 넘는 세월동안 이러한 곡선들을 문자로 이루어진 수식으로 나타낼 수 있다는 것을(좌표평면이 등장하기 전까지) 그 어떤 천재적인 수학자도 상상하지 못했습니다.

p203 미적분이 중요한 이유는 세상 만물이 움직이고 변화하고 있기 때문입니다. 변화하는 세상은 미적분을 통하여 이해되고 설명될 수 있습니다.

p225 멱급수는 마치 차수가 무한히 큰 다항식과 같은 것인데요. 삼각함수를 멱급수로 나타내는 것은 그 쓸모가 아주 많습니다. 왜냐하면 다항함수는 함수 중에서도 가장 좋은 함수인데 멱급수도 차수만 무한히 클 뿐이지 다항함수가 갖는 좋은 성질들을 대부분 갖고 있기 때문입니다.

p245 정수론은 수학의 분야 중에는 대수학 분야에 속한다 할 수 있습니다. 유럽에서는 전통적으로 중등 교육에서도 정수론을 중시해 왔습니다. 그래서 유럽의 전통에 충실한 국제수학 올림피아드에서는 정수론 문제가 출제됩니다.

p250 소수가 중요한 역할을 하는 RSA 공개키 암호입니다. 이 암호시스템은 기본적으로는 큰 자연수를 소인수분해할 수 있으면 풀 수 있는 것인데 일반적으로 아주 큰 수를 소인수분해하는 것은 매우 어렵다는 사실을 기반으로 하고 있습니다.

p285 수학의 획기적인 발전을 가져온 계기로 우리는 주로 위대한 수학자의 업적에 주목하지만 실은 대개의 경우 새로운 기호의 도입과 사용이 더 크게 작용하는 경우가 많아요. 그러한 계기가 되는 대표적인 기호로 아라비아 숫자, 수를 대신하는 문자, 덧셈과 곱셈의 기호, 등호 기호 등을 꼽을 수 있겠습니다.

p295 통계학이 많은 분야에서 널리 사용되고 있지만 정작 통계학이라고 하는 학문 자체의 이론이나 문제에 대해 연구하는 것은 통계학자들의 몫입니다. 논리학도 통계학과 유사하게 광범위하게 활용되고 있지만 논리학이라고 하는 학문 자체를 연구하는 것은 수학자들의 몫입니다.

p309 평소에 논리를 중시하고 정확하게 말하고 판단하는 것을 중시하는 태도를 가져야 합니다. 수학공부를 머리가 아니라 몸으로 하듯이 논리적 사고도 몸에 밴 습관으로 하는 것입니다.