이토록 아름다운 수학이라면

이토록 아름다운 수학이라면 - 내 인생의 X값을 찾아줄 감동의 수학 강의 ㅣ 서가명강 시리즈 3
최영기 지음 / 21세기북스 / 2019년 3월

수확은 보편적 진술을 찾는 학문이다. 어느 곳에서는 작동하지만 다른 곳에서는 그렇지 않은 것은 보편적이지 않다. 어느 시대에는 사실이지만 다른 시대에는 사실이 아닐때 보편적이지 않다. 항상 언제나 같은 대답을 할 수 있는 것 그게 수학이고, 수학의 아름다움이란 이토록 바스러지기 쉬운 사회에서 변하지 않는 성질들을 기술하기 때문이다. 하지만 수학은 또한 인간의 능력 내에서 이해되는 것들에 대한 진술이다. 이런 면에서 볼 때, 불변하는 것이란 인간의 눈으로 귀로, 뇌로 불변하는 것으로 아는 것 것들이다. 다시 말해, 아무리 수학이라 하더라도, 인간의 인지 능력이 닿지 않는 저 너머에 있을 수 있는 예외적 상황에 그 모든을 적용하여 단언할 수 없다. 따라서 ‘모든’ 이라는 표현은 무한을 포함하고 있기 때문에 다루기 어렵다. 아무리 보편적인 개념이라도 ‘모든’ 이라는 말을 사용하는 순간 인간의 인지 범위를 벗어난다. 이 ‘모든’을 ‘임의의’라는 말로 바꾸면 난제를 해결된다. 

유클리드 기하학이 불변의 진리가 되려면, 지구가 둥글고, 그래서 지구에, 땅에 직선을 계속 그으면 시작한 선과 만난다는 사실을 인정하지 않아야 한다. 유클리드 기하학이 보편적 기초 수학에  여전히 파워를 발휘하고 있는 이유는 지구 스케일의 문제가 일상적 스케일의 문제에서는 크게 대두되지 않기 때문이다. 

한 때 수학은 철학이자 종교였다. 그리스인들은 자연을 해석하고 묘사하는 방법으로서의 한 측면과 플라톤의 이데아 처럼 영혼을 고결하게 하는 종교이자 하나의 진리라는 한 측면에서 접근했다. 

“피타고라스는 숫자의 논리적 속성을 통해 어떤 현상에 담긴 깊은 의미를 파악할 수 있고 또한 숫자 자체에 완벽한 구조를 통해 영원하고 불변하는 존재를 경험함으로써 우리의 영혼이 더 높은 세계를 지영은 문학의 된다고 생각했다  “

피타고라스 학파를 비롯한 그리스 철학이 중세에 이르러서 사그러들은 이유는 하느님의 말씀이라는 모순되는 진리가 수학의 고결함이 종교화 이상화하는 것을 용납할 수 없었기 때문이다. 그리스 정신을 복원하려는 르네상스 시대에 이르기까지 서구에서 수학의 발전은 그리스 시대에서 더 앞으로 나가지 못하고 후퇴해왔다. 저자는 르네상스 시대에 수학의 재발견에 대해 다소 부정적인 견해를 나타낸다. 

하지만 데카르트 이후 수학의 실용적인 방향으로의 전환은 수학을 자연과학의 아버지 또는 반대로 자연과학의 시녀로,  논리를 전개하는 하나의 수단으로 전락하게 했으며, 그리스인들이 원래 가지고 있던 이데아라는 목적적 개념을 잃게 한다는 것이다. 

그리스 사람들이 수학에 철학적 의미를 부여한 까닭을 생각해본다. 숫자 자체가 가지고 있는 구조와 미라는 게 무엇일까, 피타고라스가 만물의 근원이라는 결론을 내린 숫자는 우리에게 투쟁이 과열화된 사회상을 의미한다. 나는 왜 수를 종교화 하였는지 공곰히 생각해보았다. 하나 둘 셋 수를 세다 보면 무한이라는 개념과 맞닥뜨린다. 무한은 하나 둘 셋 처럼 뚜렷하고 명확한 추상은 없지만, 그것이 밤을 새도 평생을 세어도 끝나지 않은 영원에 가 닿기 때문이 아닐까 한다. 하지만 인간은 유한하며, 인간의 수 역시 유한하며, 일상에서 만나는 숫자들은 유한의 숫자들이 대부분이다. 어떻게 무한을 만날까. 이 책에 답이 있다. 집합론의 창시자 칸토어는 ‘두 집합 사이의 일대일 대응 관계가 성립하면 두 집합의 농도 즉, 원소의 갯수의 크기는 같다고 정의함으로써 자연수 집합의 농도와 그의 부분인 짝수 집합의 농도가 같음’을 일대일로 대응 시켜 보여주었다. 

저자는 하루살이와 인간의 삶을 비교하면서, '인간에게 하루살이의 인생은 단 하루겠지만 하루살이는 그 하루 동안 짝을 만나 새끼를 낳으며 인간의 100년과 다를 바 없는 삶을 살며,  마찬가지로 1초 안의 시간의 농도와 1조년 안의 시간의 농도가 갖고, 1조년 시간의 농도와 1조 1조 년 동안의 시간이 농도가 갖고... 이런 식으로 1초 안에서 무한한 시간을 느낄 수 있"음을 역설하였다.