연산법칙(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙)

연산법칙

관련학문: 수학

관련매매법: 모든매매법과 관련있음

수학과 관련해서는 처음부터 어려운 것을 시작하는 것은 투자자들의 사기를 꺾을 수도 있겠지요. 투자에 쓰이는 수학은 대학교 과정 수학까지 가야 하니까요. 하지만 쉬운 것도 잘 활용하면 주식투자에 좋은 결과가 있기도 하고 이런 것을 안다면 수학에 대해서 거부감이나 두려움도 줄일 수 있지 않을까요? 그리고 과거에 최저가 매수를 어떻게 할수 있는지 말해드린다고 했는데, 그것이 오늘 포스팅과 관련이 있어요.

1. 교환법칙

a ○ b = b ○ a 가 성립할 때 교환법칙이 성립한다고 하여요.

3 + 4 = 4 + 3 = 7 이 성립하지만, 3 - 4 ≠ 4 - 3 으로 뺄셈에 대한 교환법칙은 성립하지 않아요.

4칙 연산에서는 덧셈과 곱셈에 대해서는 성립하지만 뺄셈과 나눗셈에 대해서는 성립하지 않아요.

2. 결합법칙

(a ○ b) ○ c = a ○ (b ○ c) 가 성립할 때 결합법칙이 성립한다고 하여요. 즉, 어떤 순서로 계산하든 상관이 없다는 것이지요.

4칙 연산에서는 덧셈과 곱셈에 대해서는 성립하지만 뺄셈과 나눗셈에 대해서는 성립하지 않아요.

3. 분배법칙

a ● (b ○ c) = (a ● b) ○ (a ● c) 와 (b ○ c) ● a = (b ● a) ○ (c ● a) 성립할때 연산 ○에 대한 ●의 분배법칙이 성립한다고 하여요.

중학교 1학년때 배우고 시험에도 잘 안나오지만 실생활에서도 많이 쓰여요. 커피에 뜨거운 물을 넣든, 뜨거운 물에 커피를 넣든 똑같다는 것은 교환법칙이 성립하기 때문이에요.

주식투자에서 쓸 수 있다면 써볼수 있겠지요. 하루중 최저가 주가로 어떻게 매수할수 있을까요? 이것이 마지막 매수라면 할 수 없어요. 연속된 분할 매수라면 가능하여요.

만약 900원이 최저가였는데 950원에 매수를 했어요. 그럼 그 다음에 800원에 매수하고 싶다면 750원에 매수를 하면 되어요.

a + 50 + b - 50 = a + b

즉 최저가 매수가 가능한 것이지요. 그런데 뺄셈이잖아요 한다면

a + 50 + b + (-50) = a + b + {50 + (-50)} = a + b

그 밖에도 다양한게 주식 매수/매도/보유 전략에서 변형해서 사용할 수 있어요. 간단한 수학 이론이지만, 이것을 어떻게 사용하느냐? 하는 것으로도 그 결과는 매우 달라져요. 매일 최저가로 살수 있다면(물론 가장 최저가는 살수 없겠지만요) 다른 사람이 매일 같은 양을 종가에 매수하면 종가 단순 이동 평균선의 평균 매입단가가 되겠지만, 매일 최저가로 살 수 있다면 저가 단순 이동 평균선이 평균 매입단가가 되어요.

단순히 최저가라고 하지 말고, 실수로 호가를 잘못 지정해서 매수했다고 해봐요. 그럼 다음에 어떻게 실수를 만회할 수 있을까요^^? 그 잘못된 수치만큼 조정해서 다음에 매수하면 되어요.

지식을 배우는 것으로 문제 풀이로 끝나는 것이 아니라 그것을 실제로 활용하려고 노력한다면 그 혜택은 무긍무진할거에요. 수학은 절대 실생활에서 안쓰이는 학문이 아니에요^^. 수학뿐 아니라 모든 학문이 그렇지만요.

그림 내 폰트 출처: 고양체

평균

평균

관련학문: 수학

관련매매법: 기하평균은 모든 매매법과 관련이 있습니다. 조화평균은 포뮬러 플랜과 관련이 있습니다.

주로 수학에서 통계학을 많이 응용하지만 통계학 이외에도 수학을 잘 사용하면 +α의 수익을 거둘 수 있어요. 가장 많이 알려진 평균 영역을 살펴보도록 해봐요. 포뮬러 플랜 책에서는 자주 나오는 것들이에요.

평균을 정의하는 것은 다양하지만, 여기에서는 많이 사용하는 산술평균, 기하평균, 조화평균만 다루도록 할께요.

1. 산술 평균

산술 평균은 지금까지 우리가 사용했던 방식이에요. a, b 두 수가 있을때 산술평균은

주로 정량 매입방식을 사용하면 산술 평균을 사용할 수 있어요. 예를들어서 1000원에 100주 1500원에 100주를 사용하면 (1000+1500)/2 = 1250 이란 결과를 얻어서 자신의 매입단가를 계산할수 있지요.

2. 기하 평균

기하 평균은 곱셈에 대한 평균쯤으로 생각하면 되어요. 연속되는 곱셈이 있을때 평균을 구하려고 한다면 기하 평균을 사용하는 것이 좋아요.

M은 평균이에요. 두수를 곱했으니 평균의 제곱이고 제급근을 구하면 평균을 구할 수 있어요.

평균 수익률을 구할때는 기하 평균을 써요. 복리는 곱하면 되니까요. 60%와 -30%를 기록하면 산술 평균을 적용해 평균 15%라는 값을 구했다고 하더라도 15% 오른 것이 아니에요. 1.6 × 0.7 = 1.15로 15%를 두기간동안 얻은 것이며, 한기간동안의 평균을 구하면 제급근을 사용해서 √1.15 ≒ 1.06 으로 평균 6% 오른거에요. (수익률 계산은 실용적인 면에서 log를 더 많이 사용해요^^) 제곱근이므로 두번 곱하면 1.15가 나와요.

이것은 수익률 계산에서만 쓰는 것이 아니라 자신의 수익이 최고로 나오는 매수량을 계산할때도 쓰여요. 복리로 수익률을 계산하면 수익률을 계속 곱하면 되고, 이때 자신이 어느정도 매수량을 정해야 할지 계산되기 때문이에요. 켈리공식이라고 불려요. 단, 켈리공식의 정의를 생각해보면 이것이 주식에서 쓰여야 될지에 대해서는 고민스러워서 수식은 생략할께요. 저는 켈리공식을 쓰지 않아요.

3. 조화평균

조화평균은 매개변수, 즉 평균 계산에 영향을 주면서도 숨겨지 있는 변수가 있고, 분수로 표기되는 겨우에 자주 사용되는데, 역수의 평균을 구해서 다시 역수를 구하면 되어요.

주로 달러코스트 에버리징, 정액식 매입을 하게 된다면 조화평균을 쓰는 거에요. 주식수 = 매수액 ÷ 주가에요. 주가는 여러번에 걸쳐서 나누어서 사게 되지만 매수액은 같아요. 매수액이 매개변수 T가 되고, 주가는 a, b. a, b의 평균매입단가 M이 계산되어요.

3000원을 가지고 1500원에서 2주, 1000원에 3주를 사게 되었다면, 조화평균을 사용하면 1200원이라는 평균 매입단가가 계산되어요.

일반적으로 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균이 성립되어요. (단, 여기에는 조건이 있으나 주식에서 예외조건이 발동하지 않으니 생략)그렇기에 매입단가는 조화평균이 이 3가지 평균 중에서는 가장 낮게 되어요.

수학을 조금 사용했는데 수익률이 변화하게 되지요. 자신이 얼마만큼 아느냐? 하는 것은 주식에서도 적용되어요.

그림 내 폰트 출처: 고양체

(수학과 주식) 인공지능의 판단 능력이 개선될 수 없는 이유

인공지능에 대한 과도한 낙관주의가 많더라고요. 그런데 인공지능이 실제로 될까요? 안될꺼에요.

오늘은 인공지능의 판단 능력에 대해서 수학으로 왜 안되는지 조금 살펴보려고 합니다.

인공지능의 정확도는 CCTV로 산불이 일어났는지 영상으로 판단할때 70% 정도의 정확도가 나온다고 합니다. 자연과학에서 90% 넘는 경우도 크게 많지는 않아요. 사회과학으로 넘어오면 더 정확도가 떨어지고요. 그런데 이런 정확도로 판단하면 정확할까요? 아니면 편견과 차별이 더 늘어날까요?

90% 정확도로 이 부분을 살펴볼께요.

A 집단내 모든 사람 수에요.
X 특정 목적에 맞는 비율이에요. 이번에는 시골에 살 사람으로 정할 것인데, 도시에 살고 싶어하는 사람들의 비율을 X라고 할께요.

수식을 바로 작성하면 수학의 문법을 알아야 하니까 그 중에서 구체적인 예를 하나만 들거에요.

1000명의 사람들이 있어요. (A = 1000)

900명은 도시에 살고 싶어해요. (X = 0.9) 그리고 100명은 시골에 살고 싶어하겠죠. (1 - X = 0.1)

그런데 인공지능은 90% 정확도에요. 그럼 도시에 살고 싶어하는 사람들중 810명은 도시에 살고 싶어한다고 결론내겠지만, 90명은 시골에 살고 싶어한다고 결론 낼거에요. ( 시골오답 0.1XA )

그리고 시골에 살고 싶어하는 사람들중 90명은 시골에 살고 싶어한다고 결론내겠지만, 10명은 도시에 살고 싶어한다고 결론낼거에요. ( 시골정답 0.9(1-X)A )

그럼 시골에 살고 싶다고 결론낸 180명중 90명이 시골에 실제로 살고 싶은 사람이고 90명은 아니에요. 50% 정답률이지요. ( 오답률 0.1XA / { 0.1XA + 0.9(1-X)A} )

인공지능으로 결로내어도 제대로 된 결론이 안나와요.

이것을 그림으로 보면 다음과 같아요.

우리는 시골에 살고 싶어한다고 특정 사람에 대해서 인공지능 답변을 들었고 인공지능의 정확도 90%인데도 그 사람이 시골에 살고 싶은지 도시에 살고 싶은지는 겨우 절반의 확률이에요. 인공지능에게 판단을 시켜봤자 편견과 차별만 있을 뿐이에요. 이것을 수식으로 만들면 위와 같아요.

<그래픽 출처: GeoGebra>

인공지능이 정확도를 높이면 더 좋아질까요? 그러나 인공지능의 문제는 전혀 다른 것에 달려있어요. X를 우리가 비율로 잡았죠. 모집단내에서 특정 집단의 비율이에요. 이 비율은 0과 1사이에 존재해요. 그러므로 우리는 X값을 0과 1사이에서만 보면 되어요.

90% 정확도가 녹색 그래프이고 99% 정확도가 푸른색 그래프에요. (90%가 아닐때는 직접 계산해보시면 되어요.)

Y값이 오답률이에요. 역시 0과 1사이에 존재해요.

어느순간이든 우리가 구하려는 집단이 전체에서 잘 일어나지 않는 경우에는 매우 오답률이 높아진다는 거에요. 많은 지원자에서 소수를 뽑거나 사람들의 개성에 맞추어서 추천한다는 것이 얼마나 가능성 없는 일인것을 알겠나요?

인공지능이 제대로 될 것이라고 판단하는 것은 무리에요. 오히려 매우 적은 확률의 무엇인가를 해야 할때, 성공하는 방법이나 어려운 문제를 인공지능에게 시킨다면 인공지능 오답을 매우 많이 발생시킬 거에요.

이 문제는 자율주행, 추천, 판단, 의료분야등에서 많은 문제를 일으킬 것이며, 매우 희귀한 사례가 발생하면 인공지능은 매우 큰 사고를 일으킬거란 뜻이에요.

인공지능의 정확도를 어떻게 바꾸던, 이 그래프는 (1,1)을 반드시 지나요. 즉, 오답률이 치솟는 구간이 나와요. (인공지능 정확도에 원하는 값 아무거나 넣어보세요. 식을 만들때 부터 수 감각이 좋다면 0,0과 1,1을 지난다는것은 바로 알 수 있어요. 증명은 생략할께요. 이 증명은 어렵지도 않고, 작성하면 안볼 사람들이 더 많아질 것 같아서요^^.)

많은 사람들이 이해할 수 있도록 수학의 문법을 완벽히 적용해서 작성한 포스팅은 아니지만 머신러닝으로 노벨 물리학상이라면 머신러닝 안된다는 걸 증명한 나도 노벨물리학상 받을 수 있나요? 이번 노벨 물리학상은 잘못 준거에요.

그림 내 폰트 출처: 고양체