미적분의 쓸모

미적분의 쓸모 - 미래를 예측하는 새로운 언어 ㅣ 쓸모 시리즈 2
한화택 지음 / 더퀘스트 / 2021년 5월

주식, 기후변화, 인공지능, 의료진단, 디즈니까지

미적분은 어떻게 세상을 움직이고 있는가

미래를 예측하는 새로운 언어

작년에 <수학의 쓸모> 라는 책을 읽었었는데 이 책은 그 뒤를 이은 책이다. <수학의 쓸모> 라는 책이 사실상 '통계학의 쓸모' 를 주 내용으로 하고 있었기에 <통계학의 쓸모> 라고 부른다면, '미적분의 쓸모' 를 주 내용으로 하는 이 책은 '수학의 쓸모' 시리즈 2탄이라고 할수도 있겠다.

고등학교 수학에서 최고난이도가 미적분일텐데 '세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하는 언어(p. 5)' 가 미적분 이라니 '미적분의 쓸모'를 제대로 알고 나면 수포자가 조금은 줄어들 수 있으려나~

수학의 눈으로 바라보면 세상의 변화가 한눈에 들어온다. 과학 저술가인 칼 세이건은 수학이란 우주 어디에나 통용될 수 있는 보편적인 언어라고 했다. 그중에서도 미적분은 세상의 변화를 설명하는 언어다. 특히 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연현상, 사회의 변화까지 선명하게 드러난다. 미분을 통해서 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분을 통해서 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다. (p. 5)

미적분을 이렇게 멋진 문장으로 표현할 수 있다니~!

'과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다'

다시 읽어봐도 참 멋진 문장이다. 왠지 미적분에 호감이 급상하는 기분 ㅎㅎ

미분을 간단하게 한 단어로 정의하면 '변화'다. (p. 20)

어떤 선택이 최적의 선택인지 수학 공식을 이용해 알아내는 것을 최적화 라고 한다. (중략) 최적화 문제는 결국 함수의 극댓값 또는 극솟값을 구하는 문제로 귀결된다. (p. 56)

인공신경망의 알고리즘은 손실함수를 최소화하는 과정에서 미분의 개념을 사용한다. (중략) 인공신경망을 엄청난 양의 데이터로 학습시키는 데 미분의 개념은 필수불가분의 관계다. (p. 74)

살면서 미적분만큼 일상과 멀리 떨어진 수학이 또 있을까 라고 생각하는 사람들이 많겠지만 저자는 미적분이 얼마나 일상 깊숙이 침투해 있는지 다양한 실례들를 수학적으로 설명해준다. 우리는 정지된 세상에 살고 있는 것이 아니므로 세상의 모든 '변화'들을 측정하는 것은 중요한 문제다. 이러한 '변화'들을 측정할 수 있도록 해준 것이 '미분' 이었다. 사과가 떨어지는 힘에 대해 고심하던 물리학자 뉴턴이 라이프니츠와 거의 동시에 생각해낸 '미분' 개념은 다양한 분야에서의 최적화 문제에 적용되었고 지금은 인공지능을 학습시키는 방법에도 활용되는 등 끊임없이 다방면에 사용되어지고 있었다.

미분에서 '상태량'과 '변화량'을 구별하는 것처럼 적분에서는 '합쳐지는 양'과 '합쳐진 결과량'을 구별해야 한다. (p. 100)

미분할 때 어떤 변수로 미분하느냐가 중요한 것처럼, 적분할 때도 무엇으로 적분하느냐가 중요하다. (p. 102)

고등학교 때 미적분에 대해서 배우지만 미적분항이 들어가 있는 미분방정식을 배우는 것은 아니다. 단지 미분하는 법이나 적분하는 법을 배울 뿐이다. 미분방정식은 대학교에서 배우는데, 자연과학이나 공학은 물론이고 경제학이나 사회학에서 미분방정식을 매우 비중 있게 다룬다. 미분방정식은 과학법칙에 따라 자연현상을 시뮬레이션하고, 경제 모델을 만들어 경제 전망을 하는 등 현재를 이해하고 미래를 예측하기 위한 필수적인 수학 도구이기 때문이다. (p. 132)

책은 얇은 편이고 설명도 비교적 쉽게 풀이되어 있긴 하지만 때론 수학책으로 때론 물리학책으로 읽히는 이 책을 편하게 읽으려면 책에 나와있는 함수나 도표들을 완전히 이해하려고 노력하지 않는 것이 좋을 듯 싶다. 개념적으로만 이해해도 충분하다고 생각한다. 고등학교 수학에서 미적분의 방법을 배울때는 이걸 왜 배우나 뭐에 쓸모있나 싶겠지만 원리만 확실이 깨달아 두면 나중에 어떤 분야에서든 발상의 근거로 활용할 수 있기 때문이다. 개념을 이해하기 위해 기초 풀이방법을 고등학교 때 배우는 것이지만 풀이방법을 잊어버리더라도 괜찮다. 어차피 나중에 정말 어려운 계산은 컴퓨터들이 다 할 것이므로.

불확실한 미래를 알고 싶어하는 것 그리고 자신에게 만족스러운 결과를 만들고 싶은 것은 인간의 원초적인 욕구다. 이러한 욕구 위에 학문들이 탄생했다. 모든 학문은 미래를 예측하기 위한 것이라 해도 과언이 아니다. 우리가 공부를 하는 이유도 자신의 전공 분야에서 앞으로 일어날 일을 예측하고, 필요한 경우 전문가로서 남들보다 먼저 사회에 경종을 울리기 위함이다. 역사학자는 과거의 일을 바탕으로 미래의 변화를 예측하고, 경제학자는 경제 모델을 세워 국가적 경제 전망을 내놓는다. 과학자는 자연을 관찰하면서 지구의 환경 변화를 예고하고, 공학자는 미래사회가 요구하는 제품을 내놓는다. 그렇게 우리는 미래 예측이라는 욕망을 좇아 앞으로 나아가고 있다. (중략) 미적분은 당신의 결정을 올바른 방향으로 이끄는 훌륭한 수학 도구다. (p. 163)

시간은 쉼없이 흘러가고 세상은 끊임없이 변화한다. 과거는 되돌릴 수 없지만 미래는 현재가 만들어낼 수 있기에 인간은 본능적으로 늘 불확실한 미래를 대비하려 현재에서 지속적으로 노력한다. 코로나환자수를 분석하고 재난지원금을 최적으로 지급하는데 미적분이 활용된다고 누가 상상이나 했을까? 자연현상을 예측하는 것 뿐만 아니라 주식시장을 분석하고 경제를 전망하는데 미적분을 알아야 한다고 누가 생각이나 해봤을까? 하지만 미적분은 '변화'를 예측할 수 있는 도구 이고 '예측'한다는 것은 미래를 준비할 수 있게 하는 힘이 될 수 있다. 따라서 '미적분의 쓸모'는 저자의 말처럼 '미래를 예측하는 새로운 언어'로서의 활용이다. 교과서 속 미적분 문제를 풀지 못해도 괜찮고 이 책에 나오는 수식들을 다 이해하지 못해도 자괴감에 빠질 필요 없다. 미적분이 세상에 어떻게 적용되고 있고 따라서 그 개념을 왜 알아두어야 하는지만 깨닫는다면 이 책의 쓸모는 충분히 활용한 것일 테니.