학교에서 가르쳐주지 않는 매혹적인 숫자 이야기 <<이토록 재미있는 수학이라니>>

이토록 재미있는 수학이라니 - 학교에서 가르쳐주지 않는 매혹적인 숫자 이야기
리여우화 지음, 김지혜 옮김, 강미경 감수 / 미디어숲 / 2020년 7월

수학 마니아가 풀어놓은 흥미진진한 수학적 사고

수론, 도형, 미적분, 확률, 도박이론, 물리학에 응용된 수학,

수학사의 에피소드까지 삽화를 곁들여 흥미롭게 들려주는 수학 이야기

'수학? 난 아무래도 재미가 없어 ㅜㅜ' 하는 사람에게 '수학! 이렇게 재미있는 걸!! 겁먹지말고 나처럼 즐겨봐!' 라고 저자는 프롤로그부터 신나서 독자를 끌어당긴다. 그야말로 수학을 향한 열정과 사랑이 넘쳐나는 수학 마니아라고 할만 하다. 갑자기 라디오광고에서 자주 들었던 문구가 생각난다. '좋은데.. 진짜 좋은데.. 말로 표현할 수가 없네~' 였던가 ㅎㅎ 저자는 그렇게 말로 표현할 수 없는 수학이 주는 즐거움을, 수포자가 넘쳐나고 있는 현실을 안타까워하며 수학이 재미있음을 진~짜 재미있음을 알려주고 싶어한다.

'학교에서 가르쳐주지 않는 매혹적인 숫자 이야기' 라는 부제는 이 책을 설명하는 적절한 표현이다. 학교에서 가르쳐주는 수학은 논리와 증명이 완벽하게 성립된 기초이론들이다. 따라서 아직 가설 상태이거나 증명중이거나 하는 수학이야기들은 다룰 수가 없다. 학교는 학생들에게 필요한 기초수학을 가르치는 것이지 학생들 모두를 수학자로 키우는 것이 아니기 때문이다. 이 책에 나오는 대부분의 수학 이야기들은 증명되지 않은 이론들이다. 다시말해 현재진행형 이란 의미다. 그래서 매혹적일 수 있다. 문제는 제시되었는데 답이 나오지 않았다는 것은 누구든 그 문제를 풀어볼 도전의식을 부추길 수 있으므로.

수학자들도 풀지 못한 문제들을 내가 어떻게 푼단 말인가 하고 미리 좌절할 필요는 없다. 저자는 독자들에게 답을 구해보라고 어렵기 그지없는 난제를 알려주는 것이 아니라 이런 기발한 문제가 있는데 이렇게 과정들이 진행중이다 라고 설명해주면서 수학적 호기심을 가져보는 것 딱 그정도만이라도 공감하기를 바라고 있다. 무엇이든 일단 관심을 가져야 재미도 느낄 수 있을 테니까 이런 질문 신선하지 않아? 라며 관심을 유도하고 있다.

수학적 호기심은 멀고먼 저 옛날 고대 그리스에서부터 이미 시작되었다. 그러고 보면 수학적 관심은 인간의 원초적 호기심인지도 ㅎㅎ

메르센 소수는 17세기 프랑스 수학자 마랭 메르센의 이름에서 따온 것이다. 그런데 그는 메르센 소수를 만든 사람도 아니고 더군다나 메르센 소수를 가장 많이 발견하지도 않았다. 그렇다면 왜 메르센 소수라고 부르는 것일까? 이런 종료의 소수는 고대 그리스인에 의해 그 존재가 처음 확인되었는데 메르센이 이 소수를 처음 체계적으로 연구했고 작은 수부터 시작하여 257까지의 메르센 소수를 구했기 때문이다. (p. 18)

고대 그리스부터 지금까지 연구중인 숫자가 있다니 놀라울 따름이다. 수학자들의 끈기에 박수!!!

이것은 보석을 캐러 보석광에 가는 것과 비슷하다. 당신은 어떤 지점에 보석이 있다는 단서를 알고 있다. 게다가 당신은 많은 지점에 보석이 있는 것도 아니라는 사실을 안다. 그래서 당신은 쉬지 않고 아래쪽으로 파내려간다. 하지만 반나절을 파도 어떤 것도 나오지 않는다. 그래서 어떤 수학자는 메르센 소수를 '수학의 보석'이라고 부른다. 수학자에게 새로운 메르센 소수를 하나 찾는 것은 예기치 않게 보석을 캐는 것과 같다. 우리가 메르센 소수를 보석이라고 하는 것은 희귀할 뿐만 아니라 주목할 특징이 있기 때문이다. 바로 메르센 소수는 완전수와 밀접한 관련이 있다. (p. 23)

메르센 소수는 정말 탄광에서 보석을 캐듯이 긴 시간을 거쳐 지금도 계산되어지고 있다. 현재 밝혀진 메르센 소수는 1천만 자리를 넘어서서 계산량이 방대하다 보니 메르센 소수를 검증하는데 평균적으로 1년에서 3년 정도의 시간이 소요된다고 한다. 그나마 컴퓨터의 계산능력이 발달했기에 이정도다. 그렇게 오랜 시간을 들여 발견한 하나의 숫자! 정말 보석처럼 여겨지지 않을까?!

수학자들을 고뇌에 빠트린 난제들을 읽다보면 때론 이것이 이렇게 어려운 수학적 질문이 될수 있단 말인가? 하고 신기해질때도 있다.

케이크 하나를 친구와 나눠 먹어야 할때 싸우지 않고 나눠 먹는 방법은? 협소한 통로에 있는 소파를 옮기려는데 코너에 막혀서 이러지도 저러지도 못할 경우 이 통로의 코너를 돌아 이동시킬 수 있는 소파의 단면적 최댓값은? 계속 늘어나는 고무 고리위에 개미가 기어가고 있다고 할때 이 개미는 과연 처음 위치로 돌아올 수 있을까?

별것 아닌것처럼 보일 수도 있는 뜬금없는 이런 식의 질문들은 엄청난 수학적 추론과정을 도모하게 된다. 엄청나다고 할 밖에는;;;

일반적으로 평면상 볼록 n각형을 만들 수 있는 최소한의 점의 개수를 묻는 문제를 '해피엔딩문제'라고 부른다. (p. 65)

세케레시와 클라인은 함께 이 문제를 연구하면서 사랑에 빠졌고 결국 화촉을 밝히게 된다. 이후 짓궂은 에어디쉬는 이 문제를 차라리 '해피엔딩문제'라고 부르자고 제안했다. 두 수학자 모두 장수했는데 90년 이상을 살았다. 2005년 두 사람은 한 시간 차이로 잇달아 생을 마감한다. 그래서 그들의 인생은 절대적으로 해피엔딩이라고 불릴 만하다. (p. 66)

어디에서는 로맨스는 가능한 것인가 ㅎㅎ 여하튼 수학문제를 '해피엔딩'으로 생각할 수 있는 그들을 존경한다. ㅎ

어려운 수학문제들의 설명을 읽다가 만나는 이런 수학사의 뒷얘기는 음식에 감칠맛을 더하는 조미료처럼 가끔은 책장을 쉽게 넘어가게 해준다.

2017년 한국계 미국인 수학자 허준이박사가 콜라츠 추측을 증명했다는 기사를 접했다. 당시에 검증 중이었는데 그 결론에 사람들의 관심이 집중되었다. (p. 83)

이 증명을 검증받았는지 어쨌는지 결과까지는 모르겠다. 다만, 수학사에 등장하는 난제들에 도전하는 여러 수학자들의 이름중에 한국인의 이름이 눈에 띄지 않는다는 것이 안타까웠다. 한국인이 아니라 한국계 미국인이라 할지라도 반가울 수 밖에 없는 현실이 아쉽다. 수학상의 최고봉이라 하는 필즈상을 탄 수학자중에도 한국인이 아직 없다. 순수학문이 너무 소외되고 있는 것은 아닌지 걱정스럽다. 응용학문들이 발달하려면 기초학문이 튼튼해야 하는데...

1975년 미국의 저명한 과학저술가 마틴가드너가 [사이언티픽 아메리칸] 칼럼에 이 오각형 테셀레이션 문제를 기고하여 이 문제는 유명세를 타게 됐다. 놀라운 사건은 마조리 라이스 라는 50대 가정주부가 이 문제를 해결해다는 것이다. 그녀는 고등학생 정도의 수학실력을 가지고 있었는데 여유가 생길 때마다 종이에 이리저리 그림을 그려보았다. 뿐만 아니라 그녀는 자신만의 표기법으로 변과 각의 관계를 표시했다. 1977년에 이르러 그녀는 44ㅐ의 새로운 오각형 테셀레이션 모형을 발견했다. 또한 60개가 넘는 서로 다른 기타 다각형과 비단순 테셀레이션 모형도 발견하게 되었다. (p. 98~99)

테셀레이션 모형이라는 것은 쉽게 표현하자면 일정한 규칙적 모양이 반복되는 타일 같은 것이다. 수학적 계산과 공식을 이용해 푸는 방법도 있지만, 수학과 전혀 상관 없이 살아온 (그러나 수학적 호기심은 늘 가지고 있었을 법한) 50대 가정주부가 새로운 해답을 찾아냈다는 것은 굉장히 신선한 사건이다. 자신이 찾아낸 새로운 테셀레이션 모형을 기존 수학자들처럼 변과 각과 그것들의 상관관계 수식으로 풀지 않으면 뭐 어떤가? 수학은 은근 직관과 예감도 통하는 학문이다.

그러나 수학자는 멈추지 않았다. 그들은 또 다른 테셀레이션 문제인 '아인슈티인 문제'를 생각하기 시작했다. 놀라지 마라. 이 문제는 물리학자 아인슈타인과는 아무 상관이 없다. 독일어로 '하나의 돌'을 의미할 뿐이다. 이 문제는 '비주기적 테셀레이션'이라고도 부른다. (p. 102)

독일어로 'ein' 은 아인 이라고 읽고 1 이라는 뜻이고, 'stein' 은 슈타인 이라고 읽고 돌 이라는 뜻이니 'einstein' 문제라는 것은 아인슈타인 으로 읽고 독일어로 '하나의 돌'문제라는 뜻인데... 세계적 천재학자의 이름이 이런 연결성을 갖고 있었다는 것을 읽으니 웃음이 터졌다. 어쩌나... 저자가 알려준 테셀레이션은 기억이 안나도 이제 아인슈타인 이름만 들으면 돌하나 가 연상될것 같으니. ㅋ

그레이엄 수는 64층 화살표 표기법으로 나타냈지만 TREE(3)도 그렇게 표기하려 한다면 필요한 층수는 어마어마하게 클 것이다. 이것이 내가 할 수 있는 최선이다. 사실 어떻게 표현해야 할지 잘 모르겠다. 어떤 표현, 어떤 표기법을 가져다 쓴들 모두 헛수고일 뿐이다.

나는 TREE(3) 이 수를 굉장히 좋아한다. 왜냐하면 그것의 정의가 이렇게 간단하고 TREE(1), TREE(2)는 단순한데 비해 TREE(3)은 우주대폭발처럼 돌변한 값을 보여주니 사람을 완전히 놀라게 하는 수이기 때문이다. 앞으로 러브레터에 'TREE(3)만큼 너를 사랑해!' 등으로 쓸 것을 추천하고 싶다. (p. 118, 119)

읽으면서 좀 어렵다 싶으면 이해가 안되는데로 슬렁스렁 넘기다가 꼭 이런 부분은 눈에 콕 들어온다. ㅎ 수학을 사랑하는 연인을 만나게 된다면 저자의 조언을 실행해보는 것도 ㅎㅎ

'임의의 큰' 과 '충분히 큰'의 개념은 간단하게 들리지만, 그 역할을 얕보면 안 된다. 이런 표현은 수학에서 매우 중요한데 극한개념의 기초이기 때문이다. 그리고 극한의 개념은 미적분의 모든 영역에서 기초가 된다. 관련 있는 명제를 더 보겠다. 그중 제일 유명한 것이 '골드바흐의 추측'이다. (p. 130)

기초학문이란 기초용어부터 생각하는 방식이 남다르다. 일상적으로 쓰는 말에서도 그 의미와 해석의 범위를 파고든다. '무한' 에 이르기 전에 엄청나게 큰 숫자를 이해하는 여러 명제들이 등장했었다. '임의의 큰' 과 '충분히 큰' 을 문자로 읽을 때와 수학기호로 표현하고 추론하는 것은 굉장히 차원이 달랐다. 그저 엄청나다고 할 밖에는;;;

저자가 알려주는 수학이야기들에서는 수학사적 논제들도 많지만 때로는 게임에서 때로는 자연에서 때로는 물리학에서 이야깃거리들을 찾아낸다. 저자가 중국인이다 보니 (한국인에게도 친숙한) 60갑자와 오행이 예로 사용되기도 한다. ㅎ 무엇보다도 이 책에서 다루는 수학논제들은 이미 밝혀진 과거가 아닌 앞으로 무궁무진해질 풀리지 않은 문제들을 많이 제시한다. 이것은 아마도 수학적 호기심을 가진 이들이 이 책을 읽고나서 도전정신을 가져봤으면 하는 저자의 마음이 표현된 것이 아닐까 싶다.

이 책에 나오는 수학적 기호들과 관련 식들을 완전히 이해하려고 한다면 이 책은 어렵다. 하지만 그런 전문적인 내용들은 그렇구나~하며 넘기면서 저자의 수학에 대한 열정과 응원을 공감하고 난제들에 도전한 사람들의 이야기로 읽으면 이 책은 그리 어렵지 않다. 나는 수학을 좋아하는 편이라 수학을 쉽게 알려주는 책은 늘 반갑고 읽고나서도 또다른 더 쉬운 수학대중서를 찾곤 한다. 앞으로도 이 책과 같은 도전이 이어졌으면 좋겠다.