두껍고, 그래서 읽었다고 자랑하기 좋은 책.

두껍고, 그래서 읽었다고 자랑하기 좋은 책.

 지금까지 수학자들은 정다각형은 동일한 넓이와 동일한 변의 수를 가진 어떤 다른 다각형보다 둘레가 작다고 말한다. 그러면 이제 서로 다른 수의 변을 가졌지만, 동일한 넓이를 가진 정다각형 중에서 가장 둘레의 길이가 작은 것은 어떤 것일까?
그 답은 동일한 넓이를 가진 다각형 중에서 가장 많은 수의 변을 가진 다각형의 둘레의 길이가 최소이다. 물론 우리는 정다각형을 무수히 만들 수 있다. - P638

x²+y²=r²은 한 평면상의 원의 공식이며, x²+y²+z²=r²은 3차원 공간 속의 구의공식이므로, x² + y² + z² + w² = r²은 4차원 공간에서 가상적 구(hypersphere)의 공식이 된다. 그러므로 2차원, 3차원의 좌표 기하학의설계가 의도적으로 고차원으로 전이된 것이다. - P638

좌표를 이용하면, 기하학적 개념과 정리들을 대수적으로 해석하는 것이 가능하다. 이와 반대로, 대수적 등식도 기하학적으로 해석할 수 있다. 그러므로 이 두 창조물은 서로 조화를 이룬다. - P639

수학은 또 다른 종류의 조화를 제공한다. 수학이 자연에 부과하거나 혹은 자연 속에서 드러낸 계획은 무질서를 조화로운 질서로 바꾸어놓는다. - P639

스스로 드러나 있는 여러 가지 주제와 패턴 중에서 수학자는 자신의 의식적인 혹은 무의식적인 미적 감각을 만족시켜주는 것을 선택한다. 고대 시대의 그리스인들은 기하학을 탐구하였다. - P640

아닌 게 아니라 진정한 수학자의 미학적감각은 부부 관계에서 가장 잔소리가 심한배우자가 요구하는 것보다도 더 많다. 이미 옳다고 인정된 정리를 새롭게 증명하고자 많은 연구가 이루어지는 데 이는 단지 현존하는 증명이 미학적인 매력이 없기 때문이다. - P640

수학적 추론의 거리 두기와 객관성이 우리에게 주는 매력을 러셀은다음과 같이 훌륭하게 표현하고 있다.

인간의 열정으로부터, 심지어 자연의 가엾은 현실로부터도 떨어져 나와 수많은 세대들이 조금씩 정돈된 우주를 창조하였다. 순수한사고는 마치 그곳에서 자신의 원래 집인양 살고 있으며, 우리의 고귀한 충동 중에서 적어도 하나는 실제적 세계로의 황량한 추방으로부터 도망갈 수 있다. - P641

소로(Thoreau)는 "어떤 진리든 가장 명확하고 아름다운 진술은 적어도 수학적인 형식을 띠고 있어야 한다."라고 말한다. 아직 이 생각을받아들이지 못한 사람도 적어도 이러한 사람들이 아름다움을 추구하였다는 사실을 알게 되면, 수학자들의 태도와 노력을 좀더 이해할 수 있게 될지도 모른다. - P641

아무도 역사나 경제학 심지어 생물학에 대하여 재능을 운운하지 않는다. 그러나 대부분의 사람들은, 그것이 없다는 것을 유감스러워하는 방식으로, 수학적 재능 혹은 천재성에 대해서 말한다. 수학적 능력은 그러므로 예술적 능력으로 분류된다. - P642

 불행하게도 수학적 아이디어를 완전히 이해하는 데에는 수년간의 시간이 필요하며, 실질적으로 그 과정을 단축할 수 있는 왕도는 없다. - P642

 그러나 사회적 질서는불행하게도 18세기보다 오늘날에 훨씬 더 복잡하다. 우리는 수학을 로망스, 결혼의 문제를 해결하는 수단으로 권유하지는 않을 것이다. 인류학자들이 최근의 한 심포지엄에서 진지하게 바로 이러한 문제들을 해결하는 데에 수학을 적용할 것을 촉구하기는 했지만 말이다.  - P642

그리고 인간의 욕망과 정서 그리고 본능은자신의 동물적 본성의 일부이며, 이는 그의 이성으로 만족시킬 수 없을뿐 아니라 때로는 반대되기도 한다. 그렇기 때문에, 이성 그 자체만으로 인간의 모든 활동을 안내하고 통제하기에 충분하지 않다. - P643

 우리가 지금까지 수학을 두루 살펴본 것은 이러한 주장이맞는지 그 근거를 제시하기 위한 것이었다. 수학에 영향을 받은 여러분야와 이미 우리가 완전히 혹은 부분적으로 이해하게 된 여러 분야들을 살펴본다면, 수학을 물리적·정신적, 그리고 정서적 경험 세계에 대한 접근 방법이라고 부르고 싶은 마음이 생길 것이다. - P643

 수학 덕분에 존재하게 된 위대한 업적들로 다른 문명과 구분되는 바로 이 문명에 살고 있는 우리가이러한 진술의 증인일 것이다. - P643

프란츠 카프카의 소설 ‘아메리카‘를 원작으로 한 만화...

프란츠 카프카의 소설 ‘아메리카‘를 원작으로 한 만화를 보았다.
주인공은 자신의 우산을 잃어버리고, 부모님 사진을 잃어버리는 등의 점차 자신에게 가까운 것들을 잃어버리며 종국에 이르러선 이름까지 사라져 ‘니그로‘로 불리게 된다.

이 책을 읽으면서 점점 내용이, 과정이 비슷해진다는 느낌이 들었다.

 만일 전쟁이 그 전쟁에 패한 국민들을살육할 수 있는 권리를 승자에게 부여하지 않는다면, 승자가 갖지 않은 그 권리는 패한 국민들을 노예로 만들 권리의 근거가 되지 못한다.  - P43

 생살권을 노예권 위에 세우고, 노예권을 생살권 위에 세운다면, 이야말로 명백히 순환논법에 빠지는것이 아닌가? - P43

목숨에 대한 대가를 받는다면, 승자는 패자에게 전혀 은혜를 베푸는 것이 아니다. 그를 무익하게 죽이는 대신 유용하게 죽이는 것이기 때문이다. 그러므로 그는 패자에 대해 힘 이외의 어떠한권위도 획득하기는커녕, 그들 사이에는 이전처럼 전쟁 상태가 계속된다. - P44

 노예제도와 권리라는 이 두 말은 양립 불가능하다. 그것들은 서로 상반된다. 한 인간이 다른 인간에게 하든, 아니면 한 인간이 한 나라 인민 전체에게 하든 이렇게 말하는 것은 언제나 터무니없는 일이다. "너와 계약을 하나 맺겠어. 그런데 모든 부담은 네가 떠안고, 이익이란 이익은 모두 내가 갖는 거야. 또 나는 내가 원하는 한에서만 그 계약을 지키겠어. 그러니 너도 내가 원하는 한은 그것을 지키도록 해." - P44

5장
항상 최초의 계약으로 거슬러 올라가야 한다는 것에 관하여


(전략) 많은 사람들의 무리를 굴복시키는 것과 한 사회를 다스리는 것사이에는 큰 차이가 있을 것이다. 만일 흩어져 살던 사람들이 차례차례 단 한 사람의 노예가 된다면, 그 수가 얼마가 되든지 간에 내게는 주인과 노예들로만 보일 뿐 전혀 인민과 그의 지도자로는 보이지 않는다. - P45

만일 사전의 합의가 없다면, 선출이 만장일치가 아닌 이상 소수가 다수의 선택을 따라야 할 의무가 어디에 있는가? 지도자를 원하는 백 명이, 지도자를 원하지 않는 열 명 대신 투표할 권리가 어디에서 나오는가? - P45

6장 사화계약에 관하여
나는 인간이 다음과 같은 지점에 이른 상태를 가정해 본다.
즉, 자연 상태에서 자기 보존을 방해하는 장애물들의 저항이 저마다 그 상태에서 자신을 보존하기 위해 쓸 수 있는 힘을 능가하는 지점에 이른 상태를 말이다.  - P46

그런데 인간은 새로운 힘을 만들어낼 수는 없지만 기존의 개별적인 힘들을 모아 관리할 수는 있기 때문에, 자기 보존을 위해서는 그 힘들의 결집을 통해 저항을 극복할 수 있는 힘의 총화를이루어, 오직 하나의 동기에 의해 움직이게 함으로써, 그 힘을 일치단결하여 작용하게 하는 것밖에는 다른 방법이 없다. - P46

잠시 수학은 잊어버리고 좀 덜 논리적인 외교 분야에 ...

잠시 수학은 잊어버리고 좀 덜 논리적인 외교 분야에 관심을 가져보자. 어느 국제회의에서 한 정치가는 다양한 기능을 수행하는 위원회를 형성해야 하는 어려운 작업에 직면하게 되었다. 그런데 다음 조건에맞추어 이들 위원회를 형성하는 것이 좋겠다고 생각하였다.

(a) 어떤 두 나라든지 적어도 한 위원회에는 참석해야 한다.
(b) 어떤 두 나라도 둘 이상의 위원회에는 참석해서는 안 된다.
(c) 어떤 두 위원회든지 적어도 한 나라는 공유해야 한다.
(d) 모든 위원회는 적어도 그 속에 세개의 국가를 두어야 한다. - P628

그래서 그는 수학자에게 조언을 구하였는데, 그 수학자는 즉시 다음과 같은 몇 가지 결론을 추론해냈다.

(1) 특정하게 결합된 어떤 두 나라도 단 하나의 위원회에만 참석한다.
(2) 어떤 두 위원회도 오직 한 나라만을 공통으로 가진다.
(3) 어느 위원회에도 참석하지 않는 세 국가의 조합은 많을 것이다. - P628

명시적으로 진술된 공리로부터의 연역적인 증명에 있어, 무정의 용어의 의미는 어떤것이든 관계가 없다. 오늘날 수학자들은 점, 선, 그리고 다른 무정의 용어들과 관련된 공리들이 물리적 의미에 적용되기만 하다면, 그 용어에어떤 물리적 의미라도 부가할 수 있다는 것을 알고 있다. - P629

그러나 순수 수학 자체는 즉각적으로 혹은 기본적으로 무정의 용어에 주어질 수도 있는 구체적인 의미에는 관심이 없다. 오히려 공리와 정의된 개념들로부터 이루어질 수 있는 연역에 관심을 갖는다. - P630

 순수 수학은 물리적 의미와 관계가 없기 때문에 수학자들은자신이 무엇에 대하여 말하고 있는지 알지 못한다. 순수수학자로서 자신들의 정리가 물리적 세계에 대한 타당한 주장인지를 확인하고자 하는 노력을 하지 않기 때문에, 자신이 하고 있는 말이 사실인지 아닌지에 대해서도 알지 못한다. - P630

무정의 용어들에 관한 공리로부터 결론을 연역하는 과정은 순수 수학에만 존재하는 것이라고 우리는 믿고 싶을 것이다. 그러나 잠시만 생각을 돌려보면, 이러한 유형의 추론이 전혀 특별한 것이 아니라는 것을알게 된다. - P631

우리의 변호사는 모든 독립자치주는 경찰권을 가진다는 공리만을 이용하였다. 그러므로 경찰이라는 용어는 수학자들이 점이나 선을 사용하듯 무정의 용어로 사용된것이다. 게다가 법에 대한 경험이 없는 독자들은 위의 추론에 동의하면서 경찰권이라는 말을 경찰관과 연관지어 생각했을지도 모른다.  - P631

수학과 법적 절차 사이의 유사성은 연쇄적인 연역적 추론에 정의되지 않은 용어를 사용하는 것 이상이다. 법의 원리는 공리일 뿐만 아니라 그 원리들은 수학의 공리와 마찬가지로 체계에 속해 있으며, 다른체계는 모순된 원리를 포함할 수 있다.  - P632

수학 체계에서 무정의 용어가 가지는 의미를 논의함으로써 우리는수학적 사고의 추상성을 이해할 수가 있다. 이 추상성은 순수 수학에서 사용하는 무정의 용어로부터 원래 이 용어와 관련을 맺고 있던 구체적인 물리적 대상의 의미를 탈락시킨다는 사실에서 유래한다. - P633

이러한 수단을 이용하여 우리는 부담스럽고 의미 없는 세부적인 것으로부터 마음을 자유롭게 할 수 있으며, 그럼으로써 우리앞에 물리적 그림 전체를 다 그려둔 채로 사고할 때보다 훨씬 많은 것을 성취할 수 있다. 자연의 특정한 측면을 추상하는 과정의 성공은 각개격파(divide and conquer) 전술에 입각해 있는 것이다. - P634

수학은 물리적 대상으로부터 개념과 특질들을 추상함으로써 시각, 청각,
그리고 촉각의 감각 세계를 뛰어넘어 사고의 날개를 펴고 날아갈 수 있다. 그리하여 수학은 감각의 영역을 명백히 뛰어넘기 때문에 질적으로 결코 표현할 수 없는 에너지 덩어리와 같은 ‘사물‘을 ‘다룰 수 있게된다. - P634

화이트헤드는 다음과 같이 말한다.

수학이 극단적인 추상적 사고의 영역으로 높이 올라가면 갈수록, 구체적인 사실을 분석하는 데에 그만큼 더 중요한 의미를 띠고 지상으로 내려온다는 사실보다 더 인상적인 것은 없을 것이다. 극단적인 추상이 구체적인 사실의 사고를 통제하는 진정한 무기가 된다는 역설이 이제야 충분히 확립된 것이다. - P635

 싸구려 수수께끼나 낱말 맞추기 퍼즐 혹은 심지어 그냥 말장난 등과 비교할때 수학자의 연구는 어떤 차이가 있는가? 이 질문에 즉시 대답하고 싶은 독자는 너무 성급한 것일지도 모른다. 약 100년 동안 수학자들은 그리스인들이 느끼고 주장하였지만, 그간에 잊혀졌던 것을 인식하게 되었다. 그것은 바로 수학이란 예술이며, 수학적 작품은 미적인 요구를충족시켜야 한다는 것이다. - P636

 아마도 가장 강하게 이의를 제기하는 이유는 수학이 어떤 정서적 의미도 지니지 못한다는 생각 때문이다. 물론 이러한 주장에서 수학자들이 어떤 사람들에게 불러일으키는 혐오와 증오의 감정은 제외된다.  - P636

 물론 이러한 주장에서 수학자들이 어떤 사람들에게 불러일으키는 혐오와 증오의 감정은 제외된다. 또한 이러한 주장은 수학의 창조자들이 그들의 생각을 공식으로 만들고 독창적이면서도 능란한 증명을수립하는 데 성공하였을 때 : 그들이 경험하는 기쁨도 과소평가한 것이다. 심지어 기초 수학을 배우는 학생들도 정형화된 연습문제를 증명하는 데 성공하고, 이전에는 모호하고 혼란스러웠던 곳에서 빛과 의미,
질서를 볼 수 있는 능력을 가지게 될 때 기뻐한다. - P636

그러나 이러한 예술 개념에 따르면, 우리의 마음을 사로잡는 극적인 사진이 수많은 위대한 그림들보다 더 예술적이 될 것이다. 추상화와 많은 현대의 조각품은 아마도 무시될 것이며,
건축물과 도자기의 위치에 대해서도 의심하게 될 것이다. - P637

 대부분의 르네상스 회화는, 비록 그 구성에 있어서는 지적인 연구가 관련되어 있기는 하지만, 직접적으로 정서에 작용을 가하는 반면,
근대화가들의 작품은 먼저 ‘이해되어야 한다. 예술이 정서를 불러일으켜야 한다는 요구 조건은 오늘날에는 특히 부적당한 것처럼 보인다. - P637

물론 창조적 과정은 설계, 조화, 그리고 아름다움을 가진 작품을 만들어내는 일이어야 한다. 이러한 성질들도 또한 수학적 창조 과정에 존재한다. 설계는 질서정연하고 균형 잡힌 조화로운 구조적 패턴이 존재한다는 것을 함의한다. 많은 수학적 정리들은 바로 그런 설계를 잘 보여준다. - P637

필론(Philon)³의 말에 의하면, 칼리굴라 황제...

 필론(Philon)³의 말에 의하면, 칼리굴라 황제⁴도 그렇게 추론하였는데, 이와 동일한 유추를 바탕으로 왕은 신이거나 아니면 인민은 가축이라고 꽤 무리없이 결론을 내렸다는 것이다. - P36

칼리굴라의 추론은 홉스의 추론과 다름이 없다. 아리스토텔레스 역시 그들보다 앞서 인간은 본래 전혀 평등하지 않아서, 어떤 이들은 노예가 되기 위해 태어났으며 또 어떤 이들은 지배자가 되기 위해 태어났다고 말한 바 있다.⁵
아리스토텔레스의 말은 옳았지만, 그는 결과를 원인으로 착각했다. - P36

 폭력이 최초의 노예들을 만들었으며,
그들의 비굴함이 그 노예 신분을 영속화시켰던 것이다. - P37

 나는 그와 같은 언급에서의 자제에 대해사람들이 감사해 주었으면 한다. 왜냐하면 내가 그 세 군주의 직계 후손이어서, 아니 어쩌면 장손 가문이어서 자격을 확인해 보면인류의 적법한 왕이 되지 말라는 법이 없을 수 없기 때문이다.
어쨌든, 아담이 세계의 군주였음을 인정하지 않을 수 없다. 로빈슨 크루소가 자신의 섬의 유일한 주민이었던 동안만큼은 그 섬의 왕이었던 것처럼 말이다. - P37

3장
최강자의 권리에 관하여

최강자라 할지라도 자신의 힘을 권리로, 그리고 복종을 의무로 변화시키지 않는 한 계속해서 주인이 될 만큼 결코 강할 수는없다. - P37

그렇기에 나는 그 힘의 행사로부터 어떤 도덕성이 유래할 수 있는지 알지 못한다. 힘에 복종하는 것은 불가피한행위이지, 자발적인 행위는 아니다. 그것은 기껏해야 조심성에기 인한 행위일 뿐이다. 그럴진대 그것이 어떤 이유에서 도덕적 의무일 수가 있을까? - P38

복종하지 않아도 처벌받지 않을 수 있게 되면 곧 사람들은 복종하지 않아도 정당할 수 있다.
하지만 최강자가 항상 옳기에, 최강자가 되도록 행동하는 것만이 중요하다. 그런데 힘이 사라질 때 권리도 함께 사라진다면,
그 권리란 도대체 무엇인가? 만일 억지로 복종해야 한다면 의무적으로 복종해야 할 필요는 없으며, 그리고 또 만일 더 이상 복종을 강요당하지 않으면 더 이상 복종할 의무도 없다. - P38

"권력자에게 복종하라." 만일 이 말이 ‘힘에 굴복하라‘는 뜻이라면, 이 교훈은 적절하기는 하나 쓸데없는 것이다. - P38

그러므로 권리를 만드는 것은 힘이 아니라는 것을 따라서 정당한 권력에만 복종할 의무가 있다는 것을 인정하자. 그러므로우리는 여전히 내가 최초에 제기한 문제⁶로 되돌아오게 된다. - P39

4장 노예제도에 관하여

흐로티위스는, 만일 한 개인이 자신의 자유를 양도하여 어떤주인의 노예가 될 수 있다면 어찌 한 나라 인민 전체도 자기들의자유를 양도하여 한 왕의 신민(臣民)이 되지 못할 것인가라고 말한다. - P39

그런데 한 나라 인민 전체는 무엇을받고 자신들을 파는가? 왕은 자기 신민에게 생계유지에 필요한것을 대주기는커녕 자신의 생계유지에 필요한 것을 되레 그들로부터 빼앗을 뿐이다. 게다가 라블레(François Rabelais)에 따르면, 왕은 검소하게 살지도 않는다.  - P39

"전제군주는 자기 신민들에게 사회적 안녕을 약속한다."라고누군가 말할 수도 있을 것이다. 그렇다 치자. 하지만 만일 그의야심이 일으키는 전쟁과 그의 채워지지 않는 탐욕과 내각의 강압적인 요구들이, 자기들끼리의 대립과 불화보다도 더 신민들을 괴롭힌다면 그들이 얻는 게 무엇이란 말인가? - P40

사람이 자기 자신을 공짜로 바친다는 것은, 상상할 수도 없는 불합리한 일이다. 그러한 행위는, 그것을 행하는 사람의 마음이 정상적인 상태가 아니라는 이유 하나만으로도 부당하며 무효다. - P40

설사 각자가 자신을 양도할 수는 있다 할지라도 자기 자식들까지 양도할 수는 없다. 아이들은 인간으로, 나아가 자유인으로 태어나기 때문이다.  - P40

 왜냐하면 그러한 증여는 자연의 목적에 어긋나며, 부권을 넘어서는 일이기 때문이다. 그러니까 어떤 전제정부가 정당성을 갖기 위해서는 각 세대마다 그 정부를 인정하거나 아니면 거절할 수 있어야 할 것이다. - P41

 누가 됐건 모든 것을 포기하는 사람에게는 있을 수 있는 대가라고는 아무것도 없다. 그러한 포기는 인간의 본성과 비양립적이며,
그의 의지에서 자유를 모두 제거해 버리는 것은 그의 행동에서 도덕성을 모두 제거해 버리는 것과 같다. - P41

우리에게 만일 어떤 사람에게 모든 것을 요구할 권리가 있다면, 그 사람에 대한 의무는 아무것도 없다는 것은 명확한 일이 아닌가?
(중략) 그가 가지는 모든 것은 내 것이기에그의 권리는 내 권리인 이상 나 자신에 대한 나의 권리는 아무의미가 없는 말이 되므로, 결국 나의 노예가 내게 어떤 권리를가질 수 있겠는가? - P42

인간은 원시적 독립 상태에서 살고 있는 동안에는 평화 상태나 전쟁상태를 만들 만큼 서로 지속적인 관계를 갖지 않았다는 사실 하나만 보더라도, 그들은태어날 때부터 서로 적이지는 않았다. - P42

개인 간의 싸움, 결투, 적대세력 간의 충돌은 전쟁상태를 만드는 행위들이 아니다.  - P42

[오늘의 한문장] 거꾸로 소크라테스

"난 해골 마크 옷 없는데."
"지금까지 여러 학교에 다녔지만 어디에든 있더라고. ‘그거촌스럽다‘는 등 ‘이건 멋없다‘는 등 단정하며 잘난 척하는 녀석이." - P25

"구루메 선생님은 그 전형이야."
"전형?"
"자신이 옳다고 믿어. 만사를 단정하고, 자신의 의견을 모두에게 주입하려 하지. 일부러인지 무의식적인지는 모르겠지만말야. 그래서 반 아이들은 구루메 선생님의 생각에 영향받지 않을 수 없어. 왜, 구사카베가 놀림을 당하는 것도 구루메 선생님이 ‘촌스럽다‘는 꼬리표를 붙인 게 계기잖아." - P26