(39)
그렇게 보면 추상적인 개념적 도구를 사용해 세상을 체계적으로, 또
정밀하게 설명하려는 의도가 바로 수학이라고 할 수도 있겠습니다.
(77)
이 ‘공리’라는 단어를
기억하시길 바랍니다. ‘하나의 사실에 대해 증명하지 않고 기정사실로 받아들일 때, 이를 기초로 다른 이야기를 진행할 수 있다. 공리를 받아들이지 않는다면
앞으로 전개될 내용도 전혀 받아들일 이유가 없으며, 이 공리가 맞다고 상정하면 앞으로 나올 결론들도
맞다고 여길 수 있다.’ 바로 이것이 공리적인 사고체계입니다. 유클리드는 <기하학 원론>이라는 책을 통해 기하학에 대한 5개 공리를 만들고, 그다음에 그 공리만 이용해서 여러 가지 증명을
전개했습니다. 가정과 공리만 사용해서 결론을 이끌어낸 이 책은 당시 서구세계에 굉장히 강력한 영향을
미치고 있던 것으로 보입니다.
(107)
수학적으로 사고한다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 우리가
어떤 종류의 해결점을 원하고 있는지 파악하고, 그에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만들어가는
과정이라고 할 수 있을 것입니다.
(179)
수학적인 사고가 사회에 어떻게 적용되느냐는 질문에 답할 때, 수라는
개념 안에서만 생각한다면 굉장히 제한적인 관점이 될 수밖에 없습니다. 제 생각에 건전한 과학적 시각이란
‘근사(approximation)’해가는 과정이라는 걸 처음부터
받아들이는 것입니다. 완벽하게 할 수 없다고 해서 포기하기 보다는, 제한적인
조건 속에서 이해할 수 있는 현상이 있다는 것을 받아들이는 겁니다. 나중에 뒤집어지더라도 현재의 조건
안에서 이해해나가는 것이죠. 애로의 경우도, 뉴턴의 경우도
그렇다고 생각합니다. 근사해가는 과정, 항상 바꿀 수 있는
것, 그리고 섬세하게 만들어가는 과정 자체를 학문이라고 생각해볼 수도 있을 겁니다.
(265-266)
수학은 정답을 찾는 게 아니라, 인간이 답을 찾아가는 데 필요한 명료한
과정을 만드는 일이라고 생각합니다. 우리가 맨 처음에 했던 질문이 기억나나요? ‘수학이란 무엇인가’라는 질문이었습니다. 이제 그 질문을 다시 하고 싶은 생각이 들지는 않을 겁니다. 여전히
답을 말하기 어렵습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 수학에 대해, 수학적으로
사고한다는 것에 대해 느끼고 있습니다. 더 탐구하게 되고, 생각게
되겠지요. 무엇보다 수학이 이제 특정한 논리학이나 기호학과 같은 학문이 아니라, 우리가 세상을 이해하고 설명하는 방식이라는 것을 이해했을 겁니다.
(291)
알파벳 다섯 글자로 만들 수 있는 단어는 과연 몇 개일까요? 아무
제약 조건도 주지 않고 의미를 고려하지 않으면 26^5개, 약 1200만 개를 만들 수 있습니다. 그런데 사전을 찾아보면 의미 있는
다섯 글자 영어 단어는 희한한 것들까지 포함해서 약 1만 5,000개밖에
없습니다. 애초에 알파벳 3개 글자를 효율적으로 써서 26^3=17,576개의 단어를 만들면 될 것을, 5개의 글자로 왜 1만 5,000개 단어밖에 만들지 않은 것일까요? 다섯 글자 영어 단어에 들어 있는 정보율은 약 5분의 3입니다. 의미 있는 단어는 1만 5,000개밖에 안 되는데, 다섯 글자나 쓰는 낭비를 ‘정보율’로 표현한 것입니다. 그럼에도
단어의 길이를 늘려서 쓰게 된 데는 인간의 언어가 자연적으로 정보 처리 문제를 해결하면서 진화한 것이 중요한 했을 것입니다. 다시 말해 언어 자체도 방금 이야기한 오류의 관측과 정정이 가능하게 만들어졌다는 의미입니다.