너무 재밌는 수학 이야기

페르마의 마지막 정리 ㅣ 갈릴레오 총서 3
사이먼 싱 지음, 박병철 옮김 / 영림카디널 / 2003년 2월

너무나 유명한 페르마의 마지막 정리의 증명과정, 그리고, 페르마의 정리와 관련된 수학사에 관한 이야기이다.  페르마는 자신은 문제는 풀었지만, 문제를 푸는 방법을 공개하지 않은 채 350년간 전세계의 최고의 수학분야의 석학들이 고민하게 만들었다. 앤드류 와일즈는 어린시절 수학에 대한 꿈을 키우면서 페르마의 정리를 증명하겠노라고 결심했었는데, 이 책은 그가 거의 7년간의 비공개로 연구하면서 페르마의 정리를 증명하기 위한 노력과정이 담겨있다.

페르마는 17세기의 수학적인 자산을 바탕으로 증명을 해내었겠지만, 앤드류 와일즈는 수학계의 최근의 모든 업적을 총동원하여 엄청나게 복잡한 과정을 밝아서 증명을 해내었다. 증명과정 자체가 현대 수학의 업적의 총체적인 자산을 활용한 과정인 만큼 그 내용면에서 복잡하고 탁월한데, 그가 외부와 고립된채 이런 놀라운 과정을 밝아서 증명을 해냈어다는 것이 놀랍게 느껴진다.

고대 피타고라스 학파부터 시작한 수학의 역사와 정수론에 대한 저자의 설명이 상당히 역동적이고 재밌게 느껴진다. 수학에서 공리, 추론, 정리가 의미하는 바와 다양한 형태로 새로운 문제가 어떻게 등장하고, 수학자들은 그런 문제를 어떻게 풀었고, 문제를 풀어가는 과정에서 또 새로운 수학이 탄생하는 과정을 재밌게 그려내고 있다. 수학이란 것은 그야말로 논리를 추구하는 세계이고, 그 과정에서 발생한 다양한 문제를 풀고, 새로운 아이디어가 발전시키는 등 순수하게 문제를 풀고 논리를 추구하는 아름다운 학문이라는 생각이 들었다. 그리고, 저자는 순수한 사고의 학문처럼 보이는 수학이 일생생활의 문제, 그리고 전쟁과 같은 심각한 인류의 문제에 직접적으로 끼쳤던 영향에 대해서 자세하게 설명하고 있는데, 튜링의 이야기가 재밌었다.

페르마의 정리는 많은 선대의 수학자들이 문제를 풀려고 노력하였으나, 특별한 경우는 증명이 되었으나 일반적인 방법으로는 증명이 되고 있지 않았으나, 타이야마-시무라 추론이 등장하고, 프레이가 타니야마-시무라의 추론이 증명되기만하면 페르마의 마지막 정리도 덩달아 증명된다는 놀라운 증명을 하게 된다. 앤드류와이즈는 이 소식을 접한 다음 자신의 어린시절의 꿈인 페르마의 정리의 증명에 도전하기로 결심하게 된다.

그리고, 참인 것을 거짓이라고 가정하고, 논리를 전개해서 모순을 발견해서 참임을 증명하거나, 거짓인 것을 참이라고 가정하고 모순을 발견하는 귀류법에 대한 아이디어, 첫번째 사례를 증명하고, 그리고 n번째가 증명되면, n+1번째 증명하면 전체적으로 일반화가 가능한 귀납법등 다양한 추론 방법을 소개하고 있다. 특히, 귀납법의 경우 앤드류 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위해서 증명을 시도했던 타니야마-시무라 추론의 증명과정에서 귀납법을 적용하기 위해서 콜리바긴-플라흐 방법을 귀납법을 방법으로 적용하기 위해서 노력하는 과정이 재밌게 소개되어 있다.

선대 수학자들의 고민의 결과로 얻어진 수학적인 아이디어는 그 자체가 자산이 되어 후대는 그를 바탕으로 더욱 진보된 문제를 해결하는 과정의 진수를 보여주는 스토리라고 생각되었다.책의 내용이 너무 드라마틱하고 재밌었서, 책을 손에 잡고서는 손에서 뗄 수가 없을 정도였다. 많은 분들에게 추천하고 싶은 책이다.