가우스가 태어나기 50여 년 전 독일에서는 이미 한 명의위대한 천재가 태어났다. 바로 칸트다. 그는 인간이 ‘무언가를 안다는 것‘을 두 가지로 구분했다. 그는 먼저 지식을선험적 지식과 경험적 지식으로 구분했다. 경험적 지식과달리 선험적 지식은 경험에 의해 좌우되지 않고 태어나면서부터 인간이 가지고 있는 것이기에 참으로 인정할 수 있다고 보았다. - P203
분석적 지식은 논리적인 형식에 의해참인 진술로서, ‘진돗개는 게다‘와 같은 다소 가치 없는 진술이고, 종합적 지식은 분석적인 지식이 아닌 것으로 의미있는 진술이지만 참인지는 알 수 없는 진술이다. 이를 표로나타내면 다음과 같다. - P204
시대를 뛰어넘는 생각이 받아들여지기까지 넘어야 할장벽은 아주 많다. 그중 가장 어려운 장벽은 그 시대를 지배하고 있는 집단의 권위와 신념이다. 그 집단의 권위와 신넘은 견고해서 쉽사리 깨지지 않는다. 이것을 깨기 위한 수많은 사람의 노력이 쌓이고, 세월의 흐름에 따라 그 집단이퇴조하고, 그러면서 그 신념에 오류가 있었다는 사실이 발견되면 결국 그 신념과 권위는 무너진다. - P206
무너지는 것은 순간이지만 그것이 무너지기까지는 오랜 시간이 필요하다. 옳은 일이라도 그것이 시행되려면 무로이는 시간이 필요하며, 결국 옳은 것은 승리한다. 그리고반드시 그러리라 믿고 싶다. - P207
그의 유일한 친구라고 할 수 있는 슈발리에에게 보낸 편지에는 그가 당시 태동하기 시작한 군 Group에 대한 개념을방정식 이론에 끌어들여 놀라운 결과를 얻었다는 내용이담겨 있었다. ‘갈루아 이론Galois theory‘은 수학에서 서로 다른줄로만 알았던 분야와 분야를 연결시켜 서로 만나게 한 수학 역사상 가장 의미 깊은 이론 중 하나다. - P209
동시대 사람들이 이해하지 못하는 천재성으로 무언가를 탐구하고 발견해내며 시대를 앞선다는 것은 더없이 고독하고 힘든 일이다. 갈릴레이가 그랬고 고흐가 그랬으며,
정약용도 카프카도 그리고 수없이 많은 천재가 그랬다. 그렇더라도 결국 그들의 생각이 시대를 이끌었고, 또 이끌어가고 있다. 그리고 그 뒤에는 그들을 인정하고 지지해주는누군가가 반드시 있었다. 어쩌면 여러분도 그중 한 사람이될지 모른다. 누가 알겠는가. - P214
20세기 초의 수학자이자 위대한 물리학자인 칼루차Theodor Kaluza는 책을 통해 수영하는 법을 이론으로 익힌 다음,
실제적인 수영 연습 없이 그냥 물로 뛰어들어 수영했다. 그물이 얕은 냇가였는지 강이었는지 호수였는지는 알려진바 없지만, 나는 그가 목숨을 걸 만큼 이론을 신뢰하고 믿고 행동에 옮겼다고 생각한다. - P215
캄피돌리오 광장 곳곳에는 수학의 성질이 숨어 있다. 혹시 캄피돌리오 광장을 방문할 기회가 있다면 등변사다리꼴을 떠올리며 여유 있게 거닐어보라. 거장의 천재적인 아이디어와 섬세한 손길이 고스란히 느껴질 것이다. - P219
미켈란젤로는 등변사다리꼴의 성질을 알고 이해하는데서 그치지 않고 그것을 믿고 행동으로 옮겼다. 믿는다는일이 상황에 따라서는 단순함을 나타내는 경우도 있겠지만, 믿어야만 행동하고 그것을 통해 발전하는 경우도 있다는 것을 나는 캄피돌리오 광장에서 깨달았다. - P219
수학을 공부하면서 느끼는 것은 수학을 이해하는 데서그치지 않고 수학 이론과 이야기하듯이 감정을 이입해 연구하는 사람들이 결국 훌륭한 수학자가 되었거나 되어가고 있다는 사실이다. 안다는 것과 믿는다는 것, 그리고 그것을 실천하는 일이 일치할 때 그것은 우리에게 조화와 균형과 아름다움을 선사한다. - P219
많은 이들이 공부하거나 전문적인 어떤 분야를 연구할 때이론을 이해하는 것과 믿는 것은 분명 다르다는 것을 알게되기를 바란다. 그리고 이해하는 것에서 그치지 않고 믿고실천함으로써 뜻하는 무언가를 꼭 이룰 수 있기를 바란다 - P220
여기까지의 결과는 수학자들이 쉽게 유도해냈다.
문제는 4차원 공간이다. 해밀턴이 고안해낸 교환법칙이 성립하지 않는 수가 존재할 수 있다는 생각은그 당시까지 아무도 생각해내지 못했고, 교환법칙이성립하지 않는 4원수의 존재성은 그 자체로 당시 수학계에 엄청난 충격을 주었다. - P224
그 대표적인 사람이 ‘피타고라스의 정의‘로 잘 알려져있는 수학자 피타고라스다. 그는 기원전 500년경, 수학을통해 인간의 개혁을 꿈꾸었다. 그의 생각에 동조한 많은 사람에 의해 피타고라스학파가 형성되었고, 이는 하나의 종교화된 형상을 나타냈다. - P226
피타고라스학파가 분해되고 난 뒤 그들의 연구가 부분부분 전해지다 보니, 유클리드가 나타나기 전 150년 동안은 그 내용의 전체적인 맥락이 잡히지 않은 상태였다. 150년 후, 알렉산드리아의 현인 유클리드는 인류 역사의 가장위대한 작업 중 하나에 착수하게 된다. 그 작업은 바로 피타고라스학파의 소중한 연구들을 복원하는 것이었다. - P227
‘elements‘는 모든 것의 근본을 이루는 요소라는 뜻이다.
즉 유클리드는 이 책을 기술하면서 단지 하나의 학문 분야를 서술하는 데 만족하지 않고, 모든 것의 근간이 되는 요소를 기술하기를 원했고, 그것이 곧 수학이라고 생각했다. - P227
예를 들어 어떤 대상이 우리의 자연스러운 본성에 비추어볼 때 너무나 당연한 진리라면 그것을설명하는 데 더 이상의 도움말은 필요 없다고 믿었다. - P230
다시 말해 유클리드는 기하학의 다섯 개 공리를, 한낱지식의 명제로 보지 않고 인간 본연의 마음으로 읽으면 당연히 알 수 있는 진리라고 인식한 것이다. 그러므로 그런진리에 그림을 그려 넣는 것은 오히려 그것에 대한 모독이라고 생각했을 것이다. 유클리드는 원론』을 통해 수학이라는 한 분야에 대해서만이 아니라 근원적인 학문 방법, 인간의 근본적인 문제에 대해 논하고자 했다. - P230
그 움직임은 데카르트로부터 시작된다. 데카르트는 ‘나는 생각한다. 그러므로 나는 존재한다‘는 격률을 통해 자신의 사상을 전개했다. 인간은 신이 없어도 생각하기 때문에존재한다고 말하며 인간의 중요성을 언급했고, 그 생각은그리스의 인본주의를 되살리는 것이기도 했다. - P231
수학을 공부한다는 것은 수학이 원래 가지고 있던 깊고
역동적인 의미의 과정을 이해하는 일이며, 이 과정을 통해감동을 갖는 일이다. 그러므로 수학을 배우고 가르치는 가장 큰 목표는 어떻게든지 이 감동을 되찾아내는 것이다. 우리의 아이들이 이제라도 방법론적인 측면보다 본질을 추구하는 정신에 입각해 수학을 가르치고 배우는 교육 환경에서 아름다움의 가치를 체득하며 성장하기를 희망한다. - P233
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