독일의 수학자 크로네커 Leopold Kronecke...

독일의 수학자 크로네커 Leopold Kronecker는 다음과 같이 말했다.

신은 자연수를 만들었고, 그 밖의 모든 수는 인간이 만들었다.

이 말은 곧 끊임없이 노력하는 인간의 사고를 단적으로보여준다. 인류는 끊임없이 생각을 거듭하며 수에서도 자연수->정수→ 유리수 → 실수 → 복소수의 개념을  세워가며 수의 확장을 시도해왔다. - P73

이것이 뜻하는 바는 우리가 유리수 체계 안에서만 수학을 한다면 수열이라는 매우 중요한 도구를 사용할 수 없게된다는 뜻이다. 왜냐하면 수열의 극한값을 알 수 없는 상황에서 수열을 탐구한다는 것은 아무 의미가 없기 때문이다.
일례로 수열의 극한 개념은 미분과 적분을 할 때 가장 중요한 내용이기도 하다. 그러므로 유리수의 체계 안에서는 미분과 적분을 정립할 수 없다. - P76

복소수가 완벽하다면 수의 확장 관계도 복소수의 체계안에서 완전히 해결될까? 물론 아니다. 복소수의 체계도어떤 문제에 봉착해 유기체처럼 다시 성장하고 확장한다.
어떤 것도 모든 면에서 완벽할 수는 없으므로 인간의 탐구과정은 끝없이 계속될 수밖에 없다. - P77

그 답을 단정할 수는 없지만 분명한 것은 있다. 수도 생명체처럼 시행착오를 겪으며 성장해왔고 또 성장해간다.
수는 절대 정적이지 않다. 수는 역동적이다. 그래서 수학은결코 지루할 틈이 없는 매력적인 학문이 아닐 수 없다. - P78

물론 수학에서 문제를 푼다는 것은 매우 중요한요소다. 그러나 문제 풀이를 통해 학생들이 배워야할 점은 문제 해결의 기능을 습득하는 것보다 문제를 해결하는 태도를 기르는 것이다. 그리고 그 태도를 다른 부분으로까지 전이시키는 것이 수학 교육의매우 중요한 요소 중 하나다. 또한 문제 해결에서 가장 중요한 것은 검토review하고 반성하는 단계인데,
우리나라의 수학 교육은 지나치게 많은 문제를 푸는데 집중한 나머지 학생들 스스로 검토하고 반성할시간을 주지 않는다. - P81

마음속 관념이 형태를 찾는 순간
/
아름다움으로 푸는 수학 - P85

수학은 자연현상에 대해 알고 싶은 것을 찾아가는 것뿐아니라 우리 마음속 관념의 아름다움을 구현하는 학문이다. - P86

눈에 보이지는 않지만 완벽한 것, 완전한 것을 플라톤은이데아라고 했다. 그는 이데아를 객관적이고 불변하는 사물의 본질로서 순수한 이성으로 인식할 수 있는 비물질적이며 절대적인 영원의 실재라고 했다. - P87

수학의 구조를 살펴보면 우리가 진정으로 지향하는 모습이 무엇인지를 알 수 있다. 우리는 현상과 반응하느라,
또한 현실에 적응하느라 자기가 진정으로 원하는 모습이무엇인지 알지 못한다. - P88

성숙한 사랑은 상대방이 변화하기를 바라고 상대방의부족함을 채우도록 요구하며, 상대방과의 차이를 0으로만들기 위해 애쓰지 않는다. 서로의 차이(다름)를 인정하고, 그 사람의 전부를 있는 그대로 받아들이는 것이 수학이의미하는 사랑이다. 수학은 비교 우위의 개념을 두지 않고각각의 체계를 있는 그대로 인정한다. 이 또한 우리에게 시사하는 바가 크다. - P100

추상이란 무엇일까? 피카소는 구체적인 무엇인가로 시작해서 그 현실의 흔적을 하나씩 제거할 때, 지위도 지울 수없는 그 무엇이 바로 추상이라고 했다. 그리고 지워도 지울수 없는 그 무엇이 곧 본질이 아닐까 생각한다. - P101

수학이 무엇이냐는 질문에 대한 가장 좋은 답은 수학이추구하는 개념이 무엇인가를 생각하는 것이다. 수학은 보편적인 진술을 알아내는 것을 목표로 한다. 개별적인 상황에서 모든 상황에 적용되는 보편적인 것을 찾는다면 그것은 불변하는 성질일 것이다. - P118

수학을 통해 완벽함을 생각하고,
무한을 생각하고, 신을 생각할 수 있다는 것 자체만으로도수학은 신이 인간에게 준 축복이 아닐까. - P120

함께 있되 거리를 두라. 칼릴 지브란

함께 있되 거리를 두라.
그래서 하늘 바람이 너희 사이에서 춤추게 하라.

서로 사랑하라.
그러나 사랑으로 구속하지는 말라.
그보다 너희 혼과 혼의 두 언덕 사이에
출렁이는 바다를 놓아두라.
서로의 잔을 채워주되 한쪽의 잔만을 마시지 말라.

서로 가슴을 주라.
그러나 서로의 가슴속에 묶어두지는 말라.

함께 서 있으라.
"그러나 너무 가까이 서 있지는 말라.
사원의 기둥들도 서로 떨어져 있고
참나무와 삼나무는 서로의 그늘 속에선 자랄 수 없다. - P130

1863년 1월 1일, 미국의 링컨 대통령은 노예 해방 선언을했다. 다음은 그 선언문의 일부다.
현재 미국에 대해 반란 상태에 있는 주 또는 주 일부의 노예들은 1863년 1월 1일 이후부터 영원히 자유의 몸이 될 것이다. 육해군 당국을 포함해 미국의 행정부는 그들의 자유를인정하고 지켜줄 것이며, 그들이 진정한 자유를 얻고자 노력하는 데 어떤 제약도 가하지 않을 것이다. - P131

학교 현장에서도 아름다움을 어떻게 느끼게 할지에 대해 고민하며 수학을 가르친다면 보다 많은 학생이 수학을조금 더 의미 있게 배우지 않을까 한다. 누군가 수학을 통해 아름다움을 느끼고 깨달음을 얻는다면 그것 또한 수학이 지향하는 중요한 목적 중 하나일 것이다.
본질과 아름다움을 추구하는 수학 정신은 불완전한 미래를 향해가는 우리에게 어떻게 미래를 준비해야 하는지를 알려주는 한 줄기 희망의 빛이다. - P140

인간의 역사는 갈등 속에서도 지혜로운 방향으로 나아가고 있다고 믿는다. 피타고라스가 믿었던 숫자의 의미를곱씹으며 숫자가 제자리를 찾아가는 아름다운 모습을 그려본다. 숫자를 위한 투쟁의 날들을 살아가는 우리의 삶이죽음 뒤에 남는 것이라고는 숫자뿐인, 그러한 허망한 삶이아니기를 바란다. - P145

사유의 시선이 높아지는 순간
/
수학으로 풀어내는 세상 - P153

이 우주 안에서 흔적도 찾을 수 없을 만큼 미미한 존재100F인 인간이 신의 마음을 이해하고, 신의 언어인 수학을읽고자 노력한다. 인간은 어떤 존재인가! - P154

고대 그리스의 철학자 파르메니데스는 다음과 같은 말을남겼다.

움직인다는 것은 환상일뿐이다.

이 문장을 뒷받침하는 그의 제자 제논의 진술을 흔히
‘제논의 역설Zeno‘s paradox‘ 이라고 부른다. 제논이 남긴 여러 역설 중 대표적인 것은 아킬레스와 거북이의 경주 이야기다. - P155

모순이 발견될 때마다 다른 패러다임을 적용하고자하는 사회의 노력은 각기 다른 패러다임으로 인해 적잖은갈등을 야기하기도 하지만 분명한 것은 그러한 갈등을 통해 사회와 역사가 발전해왔다는 것이다. - P162

문득 "그림은 반드시 눈을 감고 노래를 부르며 그려야 한다(To draw, you must close your eyes and sing)"는피카소의 말이 떠오른다. - P165

초등학교 시절 나는 학교에 가면 항상 내가 할 일을 스스로결정해서 할 수밖에 없었다. 그런 습관은 후에 나의 연구 활동에 큰 도움이 됐다. - P165

스메일이 초등학교 시절 열악한 환경 속에서 혼자 결정하고 공부하던 시간들이 미래에 위대한 발견을 하는 기반이 되었듯이, 또 모랭이 눈이 안 보이지만 그것을 극복하고상상의날개를 펴 심오한 이론을 완성했듯이 자녀들 스스로 어려움을 극복할 수 있도록 해야 한다. 그러기 위해서는그들이 자기만의 세계를 구축할 수 있는 시간을 확보할 수있도록 부모가 여유를 가지고 기다려주고 믿어주는 것이 중요하다. - P166

신 - 우주 - 수학 - 인간의 마음 - 인간
이 우주 안에서 흔적도 찾을 수 없을 만큼 미미한 존재인 인간이 신의 마음을 이해하고, 신의 언어인 수학을 읽고자 노력한다. 인간은 어떤 존재인가! - P174

산에 오르는 일은 몸이 매우 힘든 일이다. 그럼에도 사람들은 산에 오르는 것을 즐긴다. 만약에 산에 오를 때마다보상을 받게 된다면 어떨까? 아마도 산에 오르는 자체의기쁨은 사라지고, 산에 오르는 것이 하나의 일처럼 혹은 하나의 숙제처럼 느껴질 것이다. - P181

노벨상 수상자들을 초청해 강연회를 개최한 적이 있다. 그때 여러 수상자들이 공통적으로 언급한 부분은, 그들이 노벨상을 받기 위해 연구를 시작했다면 열정과 끈기로 오랜시간 연구에 매달리지는 못했을 것이라는 것, 그리고 그들스스로 원해서 하다 보니 노벨상을 받게 되었다는 것이다. - P182

페렐만은 상과 부상 모두를 거부함으로써 돈이나 명성으로부터 얼마든지 자유로울 수 있다는 것을 몸소 보여주었다. 그의 선택은 외부로부터의 보상에 매몰되어 살아가는 우리에게 신선한 충격을 준다. 아이러니하게도 그는 현재 그 어떤 수학자들보다 큰 명성을 얻고 있다. - P182

미래가 요구하는 창의성은 불확실한 애매함을 견디는 것이다. - P186