예전에 읽었던 책, 소시적에.






17세기 후반부터 유능한 수학자와 과학자를 많이 배출한 스위스의 베르누이 가문은 수학과 과학의 역사에서 가장 뛰어난 가문이다. 베르누이 가문의 사람들 중 가장 뛰어난 사람은 두 형제 야곱 베르누이(Jakob Bernoulli, 1654-1705)와 요한 베르누이(Johann Bernoulli, 1667-1748)였다.  - P217

요한 베르누이는 반사와 굴절에 관련된 광학적 현상, 곡선 족의 수직궤적들의 결정, 급수에 의한 곡선의 길이 구하기와 면적 구하기, 해석적 삼각법, 지수함수의 미분법, 최단강하선(brachystochrone) 문제, 등시곡선(tautochrone)등에 관하여 연구하였다. - P217

요한의 형인 야곱은 극좌표를 최초로 사용하였으며, 직교좌표와 극좌표 모두에서 평면곡선의 곡률 반경을 구하는 공식유도, 현수선 연구, 고차 평면곡선 연구, 물체가 균일한 연직속도로 떨어질 때 생기는 등속강하곡선에 관한 연구를 했으며최대 넓이를 가지는 고정된 둘레의 평면 폐곡선 문제를 제시하고 고찰하였다.  - P218

오일러는 1707년 스위스의 바젤에서 태어났다. 칼뱅파 목사였던 아버지의 영향으로 신학을 공부했지만 자신의 재능이 수학에 있다는 것을 깨닫고 수학을 공부하기 시작했다. 스승은 당시 유명한 요한 베르누이였다. - P219

또한 그는 미분방정식의 해를 구하는 데 적분인수 개념을 사용하였고, 상수계수를 가지는 선형미분방정식의 체계적인 해법을 제시하였다. 이밖에 동차와 비동차선형미분방정식을 구분하였으며, 미분기하, 유한차분법, 변분법등에 상당한 공헌을 하는가 하면 정수론을 크게 발전시키기도했다. - P222

 오일러는 이 문제를그림과 같은 연결된 그래프에서 한 점을 출발하여 그래프의 모든 선을 단 한 번만 지나서 제자리로 돌아오는 문제로 바꾸었다. 이것이 오늘날 우리가 알고 있는 ‘한붓그리기‘의 시초인데현재는 그래프(Graph) 이론으로 발전하여 컴퓨터의 네트워크구성 등에 아주 유용하게 응용되고 있다. - P223

그는 나머지 17년의 생애를 그곳에서 보내고 1783년 9월7일 76세로 갑자기 세상을 떠났다. 그는 마지막 날에도 손자들과 함께 최근에 발견된 정리와 천왕성에 대한 이야기를 하며 놀다가 죽었다고 전해진다. - P224


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다 읽었지만 필요에 따라 부활한다.




세계4대 미스터리

첫 번째 미스터리는 물리학 법칙의 성격이다. 한점에서 출발한 방사상 구조를 생각해보자. 우리가 알 수 있는 출발점의 유일한 특징은 절대적 대칭이라는 것이다. - P172

두 번째 미스터리는 생명이다. 물리적 물질의 대칭 구조는 분산되면서 다른 형태의 구조로 진화한다. 어마어마한 잠재력을 가진 현실의 작은 섬들로 응축된 구조다.
세 번째 미스터리는 뇌의 역할이다. 우연히 발달한 무정형의 유기물 덩어리는 물리학의 은하수를따라가며 더욱 많은 가능성 (상상일까?) 속에서 알맞은 답을 선별할 수 있는 능력을 갖췄다. - P172


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수치계산이 중요시되는 많은 분야(천문학, 항해, 전쟁, 공학, 무역 등)에서는 계산을 빠르고 정확하게 수행할 수 있게 되기를 바라는 요구가 끊임없이 늘어났다. 이런 요구에 따라 인도 아라비아 숫자 표기법, 소수, 로그, 현대적인 컴퓨터가 등장하는데 여기서는 17세기 초반에 나타난 로그에 대하여 알아보자. - P154

 사실 로그의 장점은 곱셈과 나눗셈이 로그에 의하여보다 단순한 계산인 덧셈과 뺄셈으로 바뀐다는 것이다. 후에 천문학자인 라플라스(Pierre-Simon Laplace, 1749-1827)는

"로그의 발명으로 일거리가 줄어서 천문학자의 수명이 두 배로 연장되었다."

라고 했다. - P155

로그가 발표되자 그 내용은 곧 큰 관심의 대상이 되었다.
로그가 발표된 다음 해에 런던의 그레샴 대학의 기하학 교수이며 후에 옥스퍼드 대학의 교수가 된 브리그스(Henry Briggs,
1561-1631) 가 로그의 발명자에게 경의를 표시하기 위하여 에든버러를 방문했다. - P156

네이피어를 방문하고 런던으로 돌아온 브리그스는 상용로그표를 만드는 데 모든 정력을 쏟았다. 그는 1624년에 1부터 20,000까지와, 90,000부터 100,000까지의 수에 대한 소수 14자리의 상용로그표를 수록한 <로그산술>을 출판했다. 20,000부터 90,000까지의 빈틈은 네덜란드의 출판인이자 서적 상인인 블락(Adriaen Vlacq, 1600-1666)의 도움으로 후에 완성되었다. - P157

 로그를 포함하여 선정된 공식들은 계산의 기본공식 1+1=2, 피타고라스 정리, 아르키메데스의 지렛대 공식, 뉴턴의 만유인력의법칙, 맥스웰의 전기와 자기의 네 가지 방정식, 볼츠만의 기체방정식, 치올코프스키의 로켓 방정식, 아인슈타인의 질량과 에너지의 관계식, 드 브롤리의 물질파 방정식 등이다. - P157

그가 발견한것은 (1) 로그의 고안, (2) 직각구면 삼각형을 푸는 데 이용되는 공식인 ‘원 부분의 법칙‘(The rule of circular parts), (3) 빗각구면삼각형을 푸는 데 유용한 ‘네이피어의 유동식‘(Napier‘sanalogies)으로 알려진 네 개의 공식 중 적어도 두 개의 삼각법공식, (4) 수를 기계적으로 곱하고 나누고 제곱 등을 구하는 데 이용되는 기구인 ‘네이피어의 막대‘(Napier‘s rods)이다. - P158

네이피어는 또한 공상과학 소설가이기도 하였다. - P158

이런 일화도 있다.
네이피어는 이웃집 비둘기들이 자기 집 곡식을 먹는 것을보고 화가 나서, 이웃집 주인에게 비둘기를 날아오지 못하게하지 않으면 비둘기들을 모두 잡아서 가두어 놓겠다고 했다.
그러나 이웃집 주인은 네이피어가 비둘기를 잡지 못할 것이라고 여기고 잡을 수 있으면 그렇게 하라고 하였다. 
- P160

수학이라고 하면 너무 어렵고 짜증나는 것으로만 알고 있는 사람들이 많다. 이것이 얼마나 잘못된 생각인지 가장 간단하고도 수학적 아이디어가 풍부한 예를 통해 알아보자.

정육면체인 두부 한 모를 똑같은 크기 스물일곱 개로 자르고 싶다. 두부를 스물일곱 개의 조각으로 자를 때 가장 적은 횟수의 칼질은 몇 번일까? - P161

"왜 여섯 번이 가장 적은 횟수의 칼질인가?"
이에 대한 대답은 다음과 같이 아주 간단하다. - P161

이때 두부의 속에 나타나는 작은 정육면체 모양은 여섯 개의 면을 가지고 있으며, 그 각각의 면들은부가 아니다. 따라서 그 여섯섯 번의 칼질이 필요하다.
원래의 정육면체의 어떤 면의 일면을 만들어 내려면 정확하게 여 - P162

"과학의 문제에서 천 사람의 권위는 단 한 사람의 추론만 못하다."
현대 역학의 창시자인 갈릴레이(Galileo Galilei)가 한 유명한 말이다. - P163

 옛날의 수학과 새로운 수학을 비교하면 옛 수학은 정적이고 새 수학은 역동적이며, 옛 수학은 스틸사진(정지사진)이고 새 수학은 활동사진(동화상) 단계로 비교할 수 있다. - P163

그는 17세 때 의학을 공부하기위하여 피사 대학에 입학했는데 어느날 피사의 성당에서 예배를 보던 중 우연히 높은 천장에 매달린 청동램프를 관찰하게되었다. 그 램프는 불을 붙이려고 옆으로 끌어당겼다가 불을붙이고 램프를 놓자 앞뒤로 흔들렸는데, 점차 진폭이 작아지는것을 발견했다. - P164

그 뒤에 실험을 통하여 흔들리는 진자의 주기는 추의 무게와는 무관하고 진자의 길이에만 관계가 있다는 사실을 알아냈다. 이것이 계기가 되어 갈릴레이는 모든 관심을 과학과 수학에 집중시켰다. - P164

옛날의 훌륭한 사람들은 여러 방면에 재능이 있었는데 갈릴레이도 예외는 아니어서 비록 수학 교수이기는 했지만 수학적인 업적보다는 천문학과 물리학에 관한 업적이 더 많았다. - P165

파두아 대학에서는 30배율 이상의 망원경을 만들어 이전까지 태양에는 아무런 결점이 없다는 아리스토텔레스의 가르침에 위배되는 태양의 흑점을 관찰했다. - P165

그러나 이러한 발견들이 교회의 반발을 샀고, 1633년 마침내 종교재판에 회부되자 그의 발견들을 철회하고 만다. 사실이 확인된 바는 없지만 갈릴레이는 이 재판에서 자신의 발견들을 철회하고 나오면서 유명한 말을 남겼다.

"그래도 지구는 돌고 있다." - P166

사실 코페르니쿠스의 지동설을 뒷받침하는 갈릴레이의 책은200년 동안이나 금서목록에 올라 있었다. 그러나 지구가 태양의 둘레를 돌고 있다고 주장하였고, 지구가 우주의 중심이 아니라는 사실을 발표한 혐의로 교회로부터 유죄판결을 받은 지 347년이 지난 1980년, 로마 교황청은 교황 요한 바오로 2세의소집으로 갈릴레이가 이단이라는 유죄판결을 재검토하기 시작했다. - P167

그의 책 <새로운 두 과학>에 실린 문제를 하나 보자.


다음 그림과 같이 중심을 A로 하는 두 개의 원판을 생각하자.
중심이 같은 원을 동심원이라고 하는데 이 동심원의 바퀴를 평면상에서 1회전시켜 A. B, C가 D, E, F의 위치로 왔다고하자. 동심원의 그림에서 BE는 작은 바퀴의 둘레 길이이고,
CF 는 큰 바퀴의 둘레 길이다. 이 그림에서 보는 바와 같이BE=CF 이므로 큰 바퀴와 작은 바퀴의 둘레는 같다. 그러나이것은 사실이 아니다. 과연 어디가 잘못된 것일까? - P168

직관적으로 생각하면, 큰바퀴 위에 찍힌 점은 항상 CF위에 나타날 것이고, 작은 바퀴 위에 찍힌 점은 큰 바퀴의 반지름 위에 있으므로 BE 위에 나타날 것이다. - P168

이제 변의 수를 무한히 많이 늘려 다각형을 원에 가깝게만들면 작은 바퀴가 지나간 선분 속에는 이 다각형의 무한개의변과 무한개의 ‘점프하는 부분‘이 들어 있다. 따라서 작은 바퀴의 둘레와 큰 바퀴의 둘레는 이 무한히 많은 ‘점프하는 부분‘을합해 놓은 만큼 차이가 나는 것이다. - P169

이 역설은 이미 아리스토텔레스가 묘사한 바 있어서 종종
‘아리스토텔레스의 바퀴(Aristotle‘s wheel)라고 부르기도 한다. - P169


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뭔가 힘들다.





나는 시원하게 늘어선 소나무들을 보고, 신선한 나무타르 냄새를 맡고, 녹조류 빛깔의 호숫물을 살갗에 느끼고, 조 외삼촌이 만든 갓 짠 레몬즙을 넣은 아이스티 맛도 느낀다. 그러나 어머니의 죽음에 대한 기억은 언제나 흐릿하고 막연하다.
나는 어머니의 시신을 본 적이 없었기에, 어머니의 죽음을 머릿속에 그려볼 수가 없었다. - P79

그로부터 30년이지나,조외삼촌의 아흔 살 생일파티에서 친척 한 명이 내게 말해주었다. 내가 수영장에서 어머니의 시신을 처음 발견한 사람 중 하나였다고 말이다. 최초의 충격 - 아냐, 발견한 건 펄 이모고, 나는 자고 있었어. 난 아무 기억도 없단 말이야-이 가신 뒤, 나는 기억을 거슬러 올라가기 시작했다. - P79

 이제 새로운정보로 인해 모든 조각이 끼워맞춰졌다. 어쩌면 잃었다 되찾은 이 기억이 기억 왜곡에 대한 내 집착, 강박적인 일중독, 안전과 무조건적 사랑에 대한 채워지지 않는 내 갈망을 설명해줄지도 몰랐다. - P80

나의 이런 기억은 사흘 동안 몸집을 불려갔다. 그러던 어느 이른 아침, 남동생이 전화를 걸어와, 외삼촌이 사실을 확인해보더니 자기가실수했음을 깨달았다는 말을 전했다. 외삼촌의 기억이 잠시 착각을 일으켰다면서, 다시 생각해보니 (다른 친척들도 확인해준 결과) 펄 이모가수영장에서 어머니의 시신을 발견했다는 것이다. - P80

 그 기억이 거짓으로 드러났을 때, 나는 내가 꾸며낸 이야기적 진실의 생생한 색채와 화술에 묘한 동경을 느꼈다. 정교하지만 완전히 날조된 그 기억은 모호함이라고는 없는 상세함과 정밀함으로 내게 위안을 주었다. 적어도 나는 그날 무슨 일이 벌어졌는지 알았다.  - P80

이 살인사건은 20년 동안 수수께끼로 남아 있었다. 그러다 ‘억압‘ 이일상어가 되고 에일린 프랭클린이 하룻밤 새 유명인사가 된 한 소송사건에서, 51세의 조지 프랭클린 Geonge Franklin이 수전 네이슨의 살인죄로 기소되었다. 유일한 증거는 딸 에일린의 증언이었다. 에일린은 살인을목격했으나 20년 넘게 그 기억을 억압해왔다고 증언했다. - P81

에일린은 마음속에 퍼뜩 떠오른* 생생한 장면 속에서, 제일 친한 친구였던 여덟 살짜리 수전 네이슨이 숲을 배경으로 어느 바위 위에 앉아 있는 모습을 보았다. 수전의 뒤로, 무거운 돌을 머리 위로 치켜든한 남자의 실루엣이 보였다. - P82

에일린은 그렇게 퍼뜩 떠오른 강렬한 기억을 통해 잊었던 과거와 대면했다고 믿었다. 자신이 가장 친한 친구가 살해되는 장면을 목격했다는 충격적인 진실을 드러내기 위해 살아온 삶의 3분의 2에 달하는 20년 동안 묻혀 있던 기억이 예고도 없이 되돌아왔다고 말이다. - P82

그것은 수전을 살해한 남자가 바로 에일린의 아버지 조지 프랭클린이라는 사실이었다. - P83

그 후로 넉 달 동안, 에일린은 기억을 떨쳐버리려고 애썼다. 그러나 아무리 의식의 수면 아래로 밀어넣으려 해도 기억은 계속 위로 떠올랐고 점점 더 구체성과 정확성을 갖춰나갔다. - P83

 지방검사보인 마티머레이는 에일린이 살인사건에 관한 상세한 내용까지 알고 있는 것을 보고, 그녀의 이야기가 조사에착수해도 될 만큼 신빙성이 있다고 판단했다. 그리하여 로버트 모스브라이언 카산드로라는 형사가 이 사건을 맡게 되었다. - P83

1989년 11월 25일, 에일린 프랭클린은 모스, 카산드로 형사와 거실에 앉아, 결국 강간과 살인으로 끝나버린 즐거운 나들이의 기억에 관해 자세히 진술했다. 그녀의 기억은 색깔, 소리, 질감, 감정, 주고받은 말 한 마디까지 완벽했다. - P83

조지 프랭클린은 에일린과 수전을 태우고 한동안 달리다 초등학교앞에서 그들을 내려줄 것처럼 잠깐 멈췄지만, 내려주는 대신 오늘 학교를 빼먹게 될 거라고 말했다. 차는 계속 달려 하프문베이의 구릉지대로 접어들더니 고속도로를 벗어나 어느 숲 지대에 멈췄다. - P84

에일린은 아버지가 수전과 일을 끝낼 때까지 그 옆에 몸을 둥글게말고 앉아 있었다. 에일린은 울고 있는 수전과 함께 밴에서 내렸다. - P84

그러고 나서 아버지는 수전을 땅바닥에 내꽂고 수전의 얼굴을 나뭇잎더미 속으로 밀어넣었다. 그리고 에일린에게는 발설하면 죽이겠다고, 또 말한들 아무도 믿지 않을뿐더러 그녀를 정신병원에 집어넣을거라고 했다. 에일린이 비명을 그치자, 아버지는 그녀를 자기 무릎에 앉히더니 다 잊어버리라고, 이제 다 끝났다고 말했다. - P85

에일린이 이야기를 마친 뒤 형사들은 좀 더 자세한 질문을 했고, 에일린의 대답은 더욱 놀라운 구체성을 보여주었다. 주위에 나무가 많았나요? "적당히 울창한 정도"였는데, 오른편에 "지그재그 형태로" 붙어서 있는 세 그루의 나무가 있고 그 너머로 더 많은 나무들이 있었어요. - P85

 아버지가 어떤 옷을 입고 있었죠? 리바이스의 황갈색 코듀로이 바지와 펜들턴 울 셔츠, 그 밑에 깃 없는 흰색 반소매 티셔츠를 입고 있었어요. 아버지의 머리색은 어땠나요? "갈색에가까운 붉은색에 회색이 약간 섞여 있었어요." 수전은 성폭행당하면서
"무슨 말을 했나요? "싫어요", 그리고 "그만해요"라고 했어요. - P86

"제가 용의자입니까?" 프랭클린이 물었고, 카산드로가 그렇다고 대답했다.
"변호사가 필요할까요?" 프랭클린의 두 번째 질문이었다.
형사들에게 확신을 준 것은 프랭클린의 세번째 질문이었다. "제 딸과 얘기하셨습니까?" 라고 프랭클린이 물었던 것이다. - P86

1989년 11월 28일, 조지 프랭클린은 수전 네이슨을 살해한 혐의로 체포되었다. 유일한 증거는 자기 딸의 기억이었다. - P87

게다가 흔적도 없이 묻혀 있다가 최근에야 되찾은 기억에만 의존하고 있다니. 그런 기억이 얼마나 믿을 만한 것일까? 검찰은어떻게 보강증거도 없는 20년 묵은 기억을 유일한 증거로 삼아 한 남자를 기소했을까? - P87

 한편 변호인 측은 그 기억이 사실 (수전 네이슨이 살해됐다)과 상상 (에일린 프랭클린이 살인을 목격했다)으로 뒤섞인 믿을 수 없는 것임을 증명하고자 했다. 전문가 증인으로서 내가 할 일은 기억이 형성되고 왜곡되는 기본과정을 설명하는 것이었다. - P88

"에일린이 형사에게 말한 모든 내용은 수전이 실종되고 두 달 뒤 시신이 발견되던 당시 신문기사에서 찾아볼 수 있는 것들이었습니다."
혼그래드가 대답했다. 그는 내가 에일린의 진술과 당시 지역신문에 보도된 사실들을 대조해볼 수 있도록 신문기사와 에일린의 예비 진술을 보내주기로 했다. - P88

신문기사들은 사건을 숨김없이 보도하고 있었다. 에일린이 예비 진술에서 말한 내용은 보도된 사실들과 거의 완벽하게 일치했다. 실종된지 3개월 뒤, 수전의 시신은 크리스털스프링스 저수지 상류 쪽 고속도로 대피소 부근에 있는 가파른 제방 밑의 울창한 관목숲 속 매트리스 아래에서 발견되었다. - P89

 그러나 널리 보도된 이런 사실들 중 몇 가지는 완전히 정확하다고 할 수 없다. 사실 수전은 두 개의 반지를 끼고 있었다. 오른손에는 은새 인디언반지, 왼손에는 토파즈가 박힌 금반지였다. 그런데 어느 신문이 두 반지를 혼동해 은반지에 보석이 박혀 있었다고 보도했다. - P89

"시신 위에 돌을 얹었다."는 진술도 발표되고 알려진 사실과 부합한다. 수전이 입은 옷의 접힌 부분에서 돌 하나가 발견되었고 시신 옆에서 그보다 더 큰 돌 하나가 발견되었다. 병리학자에 의하면 살인흉기로 사용되었을지도 모르는 돌들이었다. 그렇다면 일찍이 모스 형사와카산드로 형사에게 자세히 진술할 때는 왜 그 얘기를 빼먹었을까? - P90


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3차 방정식에 대한 일반적인 대수적 해법은 16세기 이탈리아수학자들에 의하여 이루어졌다. 그러나 3차 방정식의 기하학적 해법은 거의 500년 전인 11세기에 페르시아의 시인이자 수학자인 오마르 카얌(Omar Khayyam)이 처음 소개하였다. - P113

수학자이자 시인인 오마르 카얌은 1123년경에 나이샤무르에서 죽었다. 그는 생전에 제자인 니자미 (Nizami)와 자주 정원을 산책하였는데, 오마르는 북풍이 장미꽃잎을 자신의 무덤에 뿌려줄 수 있는 곳에 묻히고 싶다고 제자에게 말하곤 했다. - P116

사실 수학에서 아라비아인들의 기여는 대단한 것이었다.
그러나 오마르를 비롯한 몇몇 사람을 제외하고는 대부분의 아라비아인들은 새로운 수학을 창조하지는 못했다. 그러나 그들은 중세의 암흑시대에 세계의 많은 지적 재산을 잘 관리하여후대의 유럽인들에게 넘겨 줌으로써 인류의 지적 발달과 발전에 큰 기여를 했다. - P117

사실 Algebra는 아리비아의 수학자 알파리 즈미 (al-Khowarizmi)의 논문인 ‘재결합과 대립의 과학(Hisabal-jabr wal-muga‘-balah)‘에서 방정식과과학의 동의어인 ‘al-jabr‘란 단어에서 유래되었다. - P118

삼각함수의 사인(sine)에 관한 것은 원래의 뜻과는 전혀 관계 없이 전해진 대표적인 예인데 그 어원은 다음과 같다.  - P119

그 후에 여러 저자들이 이것을 jaib로 대체하였는데 이것은 ‘협곡‘ 또는 ‘만‘이라는 뜻이었고, 이 단어를 라틴어로 번역하여sinus로 사용하였다. 이것이 현재 사용하는 sine의 기원이 되었다. - P119

얼마 전에 수학자 울림(Stanislaw Ulam)은 매년 약 100,000개의 새로운 정리가 발표되고 있다고 말하였다. 그러나 그 모임에 참석했던 두 명의 젊은 수학자가 좀더 세밀한 계산을 통하여 그 수치를 두 배로 만들었다. 즉, 해마다 약 200,000개의 새로운 정리가 발표되고 있다는 것이다. 이것은 상당히 많은 수이다. - P123

우리가 사용하고 있는 인도-아라비아 숫자를 유럽에 전파시킨 제르베르(Gerbert, 약 950-1003)가 999년에 교황이 되자서서히 과학과 수학의 그리스 고전들이 회교문명에서 서유럽으로 서서히 전해지기 시작했다. - P124

13세기에는 중세에서 가장 뛰어난 수학자인 피보나치(Leonardo Fibonacci, 약 1170-1250)가 등장한다. - P125

 그리고 방정식의음수근과 허수근은 인정하지 않고 있으며, 대수학은 수사적이다. 물물 교환, 조합 영업, 혼합법, 측량기하 등에 관한 응용문제들이 주어져 있는 이 책의 가장 중요한 점은 인도-아라비아수 체계를 유럽에 널리 보급했다는 점이다. - P126

수정이 되지 않아도 생기는 수벌을 m 으로, 수정이 되어야만생기는 암벌을 로 표시하여 가계도를 그리면 다음 그림과 같고 각 세대의 벌의 총수가 바로 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, … 이 된다. - P127

1963년에는 호갓(Verner Hoggatt Jr.) 박사를 우두머리로하여 ‘국제피보나치학회‘(The International Fibonacci Association)가 창설되었고, 피보나치 수열과 그와 관련 있는 수열만 주로 다루는 정기 간행물 <피보나치 계간지>(The Fibonacci Quarterly) 가 출판되어 현재에 이르고 있다. - P127

석왕사(釋王寺)는 함경남도 안변에 있는 절인데 조선의 시조인이성계가 왕이 된 후에 이태조의 왕사(王師)인 무학대사가 세웠다고 전해지고 있다. - P130

이성계는 이 점쟁이를 시험하기 위하여 거지를 데리고 와서 좋은 옷을 입혀 그 점쟁이에게 보냈다. 그 거지는 이성계와 마찬가지로 물을 문(問)자를 가리켰다. 그러자 그 점쟁이는
"당신은 거지로군요."
하였다. - P131

지구를 반지름이 Rm인 완전한 구라 하자. 그러면 원에 대한간단한 공식으로 지구의 단면을 이루는 원의 둘레를 구할 수있다. 그 길이는 2R m 미터이고, 지구의 북극점에서 부터 지구를 끈으로 묶으면 끈의 길이 또한 2R m 미터가 된다. - P135


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