[오늘의 한문장] 세계를 바꾼 17가지 방정식

무엇을 말하는가?
말이 안 되어 보일지 몰라도, i의 제곱은 -1이다.

왜 중요한가?

복소수가 탄생해서 수학에서 가장 중요한 분야 중 하나인 복소해석학이 발전할수 있었다.

어디로 이어졌는가?

삼각 함수표를 더 쉽게 계산할 수 있게 되었을 뿐만 아니라, 거의 모든 수학이 복소 영역으로 일반화되었다. 파도, 열, 전기, 전자기를 이해하는 한층 효과적인 방법들을 비롯해 양자 역학의 수학적 기초로도 이어졌다. - P130

위대한 수학자들도 대거 출현했다. 1545년, 전문 도박사이자 수학자인 지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano)는 대수학 교과서를 쓰던 중에 새로운 종류의 수를 맞닥뜨렸는데, 너무나 당황스러워서 그것을 "무용할 정도로 미묘하다."라고 언명하고 그 개념을 무시했다. - P131

수 세기 동안 수학자들은 이 ‘허수(imaginary numbers)‘와 애증 관계였다. 그 수들은 오늘날에도 그렇게 불린다. 그 이름은 허수가 가진 양면적인 성질을 보여 준다. 대수학에서 일상적으로 마주치는 실수(real number)는 아니지만 여러 면에서 실수처럼 행동한다.  - P132

18세기에 가서야 수학자들은 허수가 무엇인지 알아냈고 19 세기에 가서야 허수를 마음 편히 받아들이기 시작했다. 그렇지만 허수의 논리적 지위가 실수에 비견할 만큼 흠잡을데 없게 되자 이미 허수는 수학과 과학 전반에 없어서는 안 될 존재가 되어 누구도 더는그 의미를 묻지 않았다.  - P132

 논리적으로 그 두 종류의 수는 마치 거울 나라의 앨리스(Through the Looking Glass)』에 등장하는 쌍둥이 트위들덤과 트위들디처럼 서로 똑같았다. 둘 다 인간 마음이 만들어 낸 구조물이고, 둘 다 자연의 양상을 똑같게는 아니지만) 나타냈다. 하지만 그들은 다른 맥락에서 다른 방식으로 현실을 표상했다. - P132

20세기 후반에 허수는 모든 수학자들의 아주 기본적인 소지품이자, 모든 과학자들의 정신적 도구였다. 허수는 양자역학에 너무나깊이 뿌리를 내려서, 마치밧줄없이는 알프스의 아이거 북벽을 오를 수 없듯 허수 없이는 물리학을 할 수 없다. 그런데도 학교에서는허수를 거의 가르치지 않는다. - P132

잠시 핵심 질문을 되짚어보자. 왜 제곱수는 늘 양수일까?
방정식이 보통 그 안의 모든 수가 양수가 되도록 재정비되었던르네상스 시대에는 이런 식으로 질문하지 않았을 터다. 그 대신 한 제곱수에 수를 하나 더하면 더 큰 수가 나와야 한다고 말했으리라.
이때 0은 나올 수 없다. - P133

실수는 양수이거나 음수다. 그렇지만 어떤 실수든 그 제곱수는,
부호에 상관없이 늘 양수다. 두 음수를 곱한 값 또한 양수이기 때문이다. 그러니 3×3과 -3-3 둘 다 답은 9로 동일하다. 따라서 9의 제곱근은 3과-3으로 2개다. - P133

이런 결과는 매우 불공평해 보인다. 양수는 제곱근을 2개나 차지하면서 음수는 하나도 없다니 말이다. 두 음수를 곱하는 규칙을바꾸고 싶은 유혹이 든다. -3X-3=-9가 되도록 말이다. - P133

 만약 우리가 -3×-3=-9 라고 고집한다면 -3 X-3=3X-3이 된다. 이것이 왜 문제인지는 몇 가지 방식으로 확인해 볼 수 있다. 가장 단순한 방법은 양변을-3으로 나누는 것이다. 그러면 3 = -3 이 된다. - P134

그 시스템을 한 번만 확장하면 충분하다. 이것이 명확해지기까지는 시간이 좀 걸렸지만, 돌이켜보면 어쩔 수 없었던 것처럼 보인다. 허수는 존재 자체가 불가능해 보였지만, 사라지려 하지않았다. 아무리 말이 안 되는 것처럼 보여도 계속해서 계산에 등장했다. 가끔은 허수를 사용하면 계산이 간편해지기도 했고, 그 결과는 좀 더 포괄적이고 더 만족스러웠다. - P134

이번 장에서는 지식보다는 아이디어가 필요한 문제를 몇...

이번 장에서는 지식보다는 아이디어가 필요한 문제를 몇 개 소개합니다. 문제를 푸는 데 필요한 지식을 이미 내가 충분히 갖추었다고 생각하고, 적극적으로 문제해결의 아이디어를 찾아보세요. ‘겁먹으면 꽝이다‘라는 마음가짐으로 자신 있게 문제를 풀어보세요. - P22

무언가를 이해하려고 할 때 가장 좋은 방법은 단위를 생각하는 것입니다. 넓이는 1m²와 같이 표시하는데요, 1m²는 가로세로가 1m인 정사각형의 넓이입니다. 6m‘는 1m²인 정사각형이 여섯 개 있다는 것이고, 0.5m‘는 1m인 정사각형이 0.5 개 있다는 것으로 이해하면 됩니다. - P95

이 문제는 매우 어렵기 때문에 쉽게 푸는 사람이 별로 없을 겁니다. 이 문제가 어려운 이유는 난해한 개념이나 지식이 필요해서가 아니라 문제를 파악하는 데 독특한 아이디어가 필요하기 때문입니다. 이런 문제를 해결하는 경험을 충분히 쌓아 아이디어가 풍부한사람이 되기 바랍니다. - P97

길이는 1차원, 넓이는 2차원, 부피는 3차원과 관련이 있습니다.
유클리드 기하학은 평면기하학이기 때문에 넓이를 다루는 문제가많습니다. 넓이는 ‘가로세로가 1인 정사각형이 몇 개 들어가는가?‘
로 볼 수 있다고 앞서 이야기했는데요, 그래서 처음 공부할 때에는 모눈종이를 활용하면 좋습니다. - P109

유클리드가 쓴 책 《기하학 원론》에서는 점에 대해 이렇게 정의합니다.
"점은 부분이 없다." - P110

유클리드는 "점은 부분이 없다"라고 정의하면서 눈에 보이는 점이 아닌 추상적이고 이상적인 점에 대해 이야기합니다.  - P111

수학의 역사는 기원전 600년경 탈레스가 당시 선진국이었던 이집트와 바빌로니아 등을 여행하며 배운 수학 지식을 정리하여 가르치면서 시작되었습니다. - P111

그런 전통을 그대로 이어받은 플라톤은 본인의 이상인 이데아의 세상을 수학을 통해 상상했습니다. 그는 이렇게 생각했습니다.
"우리는 아무리 정확하게 그리려고 해도 완벽한 원을 그릴 수 없다. 하지만 완벽한 원을 생각할 수는 있다. 이것은 현실에는 없는 이데아의 세상이 있다는 것을 의미한다." - P111

플라톤은 아카데메이아의 입구에 "기하학을 모르는 자는 이곳에 들어오지 말라"고 써 붙였다고 합니다. - P111

몇 년 전 한 커플이 아이를 갖기로 결정했다. 단, ...

몇 년 전 한 커플이 아이를 갖기로 결정했다. 단, 소리를 듣지 못하는 아이를 원했다. 레즈비언 커플인 샤론 듀셰스노 Sharon Duchessneau와 캔디 매컬로 Candy McCullough 는 청각장애인이었고, 그런 사실을 자랑스럽게여겼다. 청각장애인 공동체의 다른 사람들과 마찬가지로 이들은 듣지못하는 것을 치료해야 할 장애가 아니라, 하나의 문화적 정체성이라고 생각했다. - P15

그들의 이야기가 <워싱턴 포스트 Washington Post)에 소개된 후 엄청난 비난이 쏟아지는 것을 보고 그들은 무척 놀랐다. 대부분의 세상 사람들은 그들이 자식에게 고의로 장애를 유발했다는 사실에 분노했다. - P16

듀스노는 "우리는 우리 행동이 이성애자 커플들이 아이를 가질 때 하는 행동과 크게 다르지 않다고 본다."라고 말했다. - P16

계획적으로 청각장애 자녀를 가진 부모가 논란이 되기 얼마 전, 하버드 대학 교내신문 <하버드 크림슨 Harvard Crimson>과 다른 아이비리그대학들의 교내신문에 광고 하나가 실렸다.  - P16

 난자를 제공하는여성은 키가 175센티미터쯤에 탄탄한 몸매여야 하고 가족 병력이 없어야 하며 대학수학능력시험인 SAT 점수가 1400점 이상이어야 했다.
이 요건을 충족하는 난자 제공자에게는 5만 달러(약 5900만 원)를 주겠다고 쓰여 있었다 - P17

그럼에도 그 광고에는 여전히 도덕적인 불편함이 존재한다. 설사 아무런 해악이 발생하지 않았다고 하더라도, 특정한 유전적 특성을 가진 아이를 ‘주문‘하려는 부모의 행동에는 아무런 문제가 없는것일까? - P17

바로 부모가 원하는 특성을 지닌 아이를 낳을 확률을 높이려고 아무리 애써도 원하는 결과를 100퍼센트 보장받을 수능 없다는 점이다. - P17

이와 같은 옹호론은 한 가지 흥미로운 의문을 불러일으킨다. 왜 예측 불가능함이라는 요소가 도덕적인 면에서 차이를 낳은 것처럼 보이는가? 생명공학 발전으로 불확실성이 제거되어 아이들의 유전적 특성을 마음대로 설계할 수 있다면 어떻게 되는가? - P18

그녀는 캘리포니아에 있는 제네틱 세이빙스 앤드 클론Genetic Savings & Clone 이라는 회사가 고양이 복제서비스를 제공한다는 글을 읽은 적이 있었다.  - P18

줄리는 니키의 유전자 샘플과 복제 비용5만 달러를 회사로 보냈다. 그로부터 몇 달 뒤 그녀는 뛸 듯이 반가운 선물을 받았다. 죽은 고양이와 유전적으로 동일한 ‘리틀 니키‘를 품에안게 된 것이다.  - P18

하지만 만일 이런 문제들을 모두 해결할 수 있다고 가정해보자. 그래도 사람들은 여전히 고양이나 개 복제를 망설일 것인가? 또 인간 복제와 관련한 문제는 어떠한가? - P19

유전학의 획기적인 발전은 밝은 전망과 어두운 우려를 동시에 안겨준다. 유전학은 인간을 괴롭히는 다양한 질병을 치료하거나 예방할 길을 열어준다는 점에서 밝은 전망을 제공한다.  - P20

 윤리적 · 정치적 담론의 자리에서 흔히 등장.
하는 표현들로는 자연으로서의 우리를 공학적으로 재설계reengineering 하는 것이 왜 잘못되었는지 설명하기 어렵다. - P20

대부분의 과학자들은 복제가 안전하지 못하며 심각한 기형이나 선천적 결함을 지닌 2세를 만들어낼 가능성이 높다고 말한다. - P20

그러나 만일 복제 기술이 발전하여 그런 위험도가 자연임신의 경우와 별반 다르지 않게 된다고 가정해보자. 그래도 인간 복제에 반대해야 하는가?  - P21

어떤 이들은 복제가 옳지 않은 것이 태어날 아이의 자율권을 침해하기 때문이라고 말한다. 부모가 아이의 유전적 구성을 미리 선택함으로써 이전에 살았던 누군가의 그림자와 같은 삶을 아이에게 부여하여, 스스로 미래를 열어갈 권리를 빼앗게 된다는 것이다. - P21

 가령 음악적 재능이나 운동 능력을 높이는 것과 같이 선호할 만한 유전적 강화라 할지라도, 그것은 아이의 삶을 특정한 방향으로 미리 정해버리는 것이기 때문에자율권을 손상시키고 스스로 인생을 선택할 권리를 침해하게 된다는 것이다. - P21

그러나 이 논리는 설득력이떨어진다. 이유는 두 가지다. 첫째, 부모가 미리 유전적 구성을 선택하지 않는다면 아이가 자신의 신체적 특성을 스스로 자유롭게 선택할수 있다는 그릇된 가정을 함축하고 있다. - P22

둘째, 자율성에 대한 관심이 맞춤 아기에 대한 우려를 일부 설명해준다 할지라도 자기 자신을 위해 유전적 강화를 원하는 사람들에 대한 도덕적 망설임은 설명해주지 못한다.  - P22

운동선수가 유전학 기술로 근육을 강화했다고 해도 그렇게 향상된 신체 속도와 능력이 자식에게 전달되지는않는다. - P23

성형 수술과 마찬가지로 유전적 강화는 비의학적 목적을 위해 의학적 수단을 사용한다. 즉 유전적 강화의 목적은 질병의 치료나 예방, 신체적 손상 복구, 건강회복과 관계가 없다. 그러나 성형 수술과 달리 유전적 강화는 단순히 미용을 위한 것이 아니며 피부에 가하는 수술 그이상의 의미를 내포한다.  - P23

자유주의 사회에 사는 이들은 자율성과 공정함, 개인의 권리 같은 개념에 먼저 눈을 돌린다. 그러나 이런 개념들은복제와 맞춤 아기, 유전공학이 제기하는 어려운 문제들을 해결할 만한 수단을 제공해주지 못한다. - P24

유전적 강화의 윤리라는 문제와 씨름하려면, 현대사회에서 거의 간과되고 있는 문제들을 마주할 필요가 있다. 바로 자연의 도덕적 지위에 관한 문제, 주어진 이 세계에서 인류가 취해야 할 적절한 태도에관한 문제가 그것이다. - P24

근이영양증(단백질 결핍에 의해 몸의 근육이 굳는 유전성 질환-옮긴이)을 완화하거나 노화에 따른 근육 감퇴를 막기 위한 유전자 치료법에는 누구나 찬성할 것이다. 그런데 만일 운동선수가 유전학 기술로 신체 능력을 향상시킨다면 어떨까?  - P25

이 연구를 진행한 H. 리 스위니 H. Lee Sweservey박사는 이런 기술이 거동이 불편한 노인들의 치료에 기여할 수 있으리라 기대했다. 그런데 경기에서 경쟁 우위를 높이려는 운동선수들이스위니 박사의 근육 강화 쥐들에 관심을 보이고 있다? - P25

 국제올림픽위원회는 약물과 달리 변형된 유전자는 소변이나 혈액 검사로 찾아낼 수 없다는 사실을 이미 우려하기 시작했다. - P26

 IOC와 프로스포츠 리그들은 운동선수의 유전학적 강화를 금지해야 하는가? 만일 그렇다면 그 근거는 무언인가? 약물 사용을 금지하는 가장 흔한 두 가지 이유는 안전성과 공정성이다. - P26

 하지만 만일 근육 강화 유전자 치료법이 안전하다고,
또는 적어도 혹독한 근력 트레이닝 방식보다 위험도가 높지 않다고가정해보자. 그래도 여전히 금지해야 할 이유가 있을까? - P26

유전자 기술의 도움으로 SUV를 단숨에 번쩍 들어올리거나 200미터짜리 홈런을 날리거나 1마일을 3분에 돌파하는 선수를 상상하면 왠지 불편한 감정이 든다. - P26

치료와 강화 사이에는 도덕적 차이가 있는 것으로 보이지만, 그 차이가 정확히 무엇 때문인지는 명확하지 않다. 부상당한 선수가 손상된 근육을 유전자 치료법으로 복구하는 것이 괜찮다면, 유전학 기술로 건강한 근육을 강화해 과거보다 더 향상된 몸 상태로 경기에 출전하는 것은 어째서 잘못인가? - P27

공정성의 관점에서 보면 유전적 강화로 인한 차이는 선천적인 차이와 마찬가지로 나쁜 것이 아니다. 게다가 유전적 강화 기술이 안전하다고 가정한다면 누구나 이 기술을 활용하게 할 수도 있을 것이다. 도덕적 이유로 스포츠에서 유전적 강화를 반대하려면 공정성이 아닌 다른 이유가 필요하다. - P27

행동적 인지요소의 변화에 대한 저항 어떤 유형의 인...

행동적 인지요소의 변화에 대한 저항

어떤 유형의 인지요소에서 발생하는 변화인지에 상관없이 변화에 저항하는 요인 중에서 가장 우선적인 요인은 이 요소의 실재에 대한 반응의 민감도이다. - P48

(1) 이 변화가 고통스럽게 느껴지거나 손실을 야기할 수도 있다.
예를 들어, 어떤 사람은 어떤 집을 사기 위해 많은 돈을 지불했을 수도있다. 만약 이제 와서 이 사람이 다른 집에 살고 싶다거나 다른 지역에 살고 싶어서 그의 행동을 바꾸고자 한다면, 그는 이사하는 불편과 그 집을팔 때 생길 수 있는 금전적 손실을 감내해야 한다.
(중략)
이 변화에 대한 저항의 크기는 변화로 인해 야기되고 개인이 감내해야 하는 고통이나 손실의 정도에 따라 결정될 것이다. - P49

(2) 현재 행동이 다른 측면에서 만족스러울 수 있다.
예를 들어, 어떤 사람은 음식 맛이 별로인데도 한 식당에서 계속 점심식사를 할 수도 있는데, 이는 친구들이 항상 그 식당에서 식사한 경우 가능한 일이다 - P49

 이와 같은 경우에 변화에 대한 저항은 현재 행동으로부터 얻는 만족감과 비례하는 함수가 될 것이다. - P50

(3) 행동의 변화가 단순히 불가능한 경우도 있다.
자기가 정말 원하기만 한다면 어떤 행동이든 바꿀 수 있을 것이라고 생각하는 것은 착각일지도 모른다. 행동을 바꾸지 못하는 이유는 아주 다양할 것이다. 어떤 행동, 특히 정서적 반응과 같은 것은 인간의 통제를받지 않기도 한다. - P50

행동적 인지 요소와 관련해서 다시 한 번 밝히지만, 변화에 대한 저항의 주요 근원은 이 요소들이 실재에 얼마나 민감하게 반응하느냐 하는 것이다. 결과적으로 이는 행동적 요소의 경우에 인지 요인의 변화에 대한저항과 실재의 변화, 즉 행동 자체의 변화에 대한 저항을 하나로 묶었다. - P51

하지만 실제로는 인지요소에 대응하는 실재가 전혀 분명하지도 명확하지도 않은 경우가 많다. 또한, 그 실재가 기본적으로 사회적인 것일때, 즉 타인과의 동의에 의해 형성된 것일 때에는 새로운 인식을 지지하는 사람을 찾는 작업의 난이도에 따라 변화에 대한 저항의 수준이 결정될 것이다. - P51

변화에 대한 저항을 야기하는 또 다른 요인은 하나의 인지 요소가 수많은 다른 인지요소들과 관계를 맺고 있다는 사실이다.  - P51

[오늘의 한문장] 알아두면 쓸모 있는 어원잡학사전

AQUARIUM

물 그리고 공간 - P186

아쿠아리움이라는 이름은 이 제품이 나오기 전부터 존재했던 비바리움vivarium 이라는 물건에 의해 만들어졌다. 비바리움 - P186

비바리움은 "살아 있는"을 뜻하는 라틴어 ‘Vivus‘와
‘auditorium (강당)‘이나 ‘planetarium(천체투영관)‘과 같이 무언가를 담는 장소를 일컫는 단어에서 자주 보이는 접미사 "rium‘에서 나왔다. - P186

✔MEME

심오하게 시작된 이름 - P253

밈meme을 과연 추상명사라 할 수 있을까? 내 말은 물론 밈을 볼수야 있지만 점점 우리의 일상에서 더욱 많이 보인다) 제대로 믿을 파악하거나 이해하지는 못할 것이라는 뜻이다. - P253

그런데 이 온라인상의 재미를 가리키는 ‘밈‘이라는 용어는 진화 생물학자 리처드 도킨스가 저술한 <이기적 유전자 The SelfishGene>에서 처음 사용했던 1976년으로 거슬러 올라간다. - P253

도킨스는 아이디어와 유기체 모두 복제에 의존하기 때문에 두 개가 비슷하다고 생각했다. 유기체는 지속적으로 살아남기위해 재생산에 의존하는 반면, 아이디어는 생존을 위해 뇌에서 뇌로 퍼지는 것에 의존했다. 하지만 모든 아이디어가 생존하지는 못하고 생존하는 것들은 시간이 가면서 점차 변할 수 있다. - P254

웃긴 이미지가 온라인상에 돌아다니기 시작할 무렵, 이것이도킨스가 말하는 밈의 개념과 비슷했기 때문에 이것을 지칭하는 단어로 ‘밈‘이 선택되었다. - P254