무엇을 말하는가?
말이 안 되어 보일지 몰라도, i의 제곱은 -1이다.
왜 중요한가?
복소수가 탄생해서 수학에서 가장 중요한 분야 중 하나인 복소해석학이 발전할수 있었다.
어디로 이어졌는가?
삼각 함수표를 더 쉽게 계산할 수 있게 되었을 뿐만 아니라, 거의 모든 수학이 복소 영역으로 일반화되었다. 파도, 열, 전기, 전자기를 이해하는 한층 효과적인 방법들을 비롯해 양자 역학의 수학적 기초로도 이어졌다. - P130
위대한 수학자들도 대거 출현했다. 1545년, 전문 도박사이자 수학자인 지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano)는 대수학 교과서를 쓰던 중에 새로운 종류의 수를 맞닥뜨렸는데, 너무나 당황스러워서 그것을 "무용할 정도로 미묘하다."라고 언명하고 그 개념을 무시했다. - P131
수 세기 동안 수학자들은 이 ‘허수(imaginary numbers)‘와 애증 관계였다. 그 수들은 오늘날에도 그렇게 불린다. 그 이름은 허수가 가진 양면적인 성질을 보여 준다. 대수학에서 일상적으로 마주치는 실수(real number)는 아니지만 여러 면에서 실수처럼 행동한다. - P132
18세기에 가서야 수학자들은 허수가 무엇인지 알아냈고 19 세기에 가서야 허수를 마음 편히 받아들이기 시작했다. 그렇지만 허수의 논리적 지위가 실수에 비견할 만큼 흠잡을데 없게 되자 이미 허수는 수학과 과학 전반에 없어서는 안 될 존재가 되어 누구도 더는그 의미를 묻지 않았다. - P132
논리적으로 그 두 종류의 수는 마치 거울 나라의 앨리스(Through the Looking Glass)』에 등장하는 쌍둥이 트위들덤과 트위들디처럼 서로 똑같았다. 둘 다 인간 마음이 만들어 낸 구조물이고, 둘 다 자연의 양상을 똑같게는 아니지만) 나타냈다. 하지만 그들은 다른 맥락에서 다른 방식으로 현실을 표상했다. - P132
20세기 후반에 허수는 모든 수학자들의 아주 기본적인 소지품이자, 모든 과학자들의 정신적 도구였다. 허수는 양자역학에 너무나깊이 뿌리를 내려서, 마치밧줄없이는 알프스의 아이거 북벽을 오를 수 없듯 허수 없이는 물리학을 할 수 없다. 그런데도 학교에서는허수를 거의 가르치지 않는다. - P132
잠시 핵심 질문을 되짚어보자. 왜 제곱수는 늘 양수일까?
방정식이 보통 그 안의 모든 수가 양수가 되도록 재정비되었던르네상스 시대에는 이런 식으로 질문하지 않았을 터다. 그 대신 한 제곱수에 수를 하나 더하면 더 큰 수가 나와야 한다고 말했으리라.
이때 0은 나올 수 없다. - P133
실수는 양수이거나 음수다. 그렇지만 어떤 실수든 그 제곱수는,
부호에 상관없이 늘 양수다. 두 음수를 곱한 값 또한 양수이기 때문이다. 그러니 3×3과 -3-3 둘 다 답은 9로 동일하다. 따라서 9의 제곱근은 3과-3으로 2개다. - P133
이런 결과는 매우 불공평해 보인다. 양수는 제곱근을 2개나 차지하면서 음수는 하나도 없다니 말이다. 두 음수를 곱하는 규칙을바꾸고 싶은 유혹이 든다. -3X-3=-9가 되도록 말이다. - P133
만약 우리가 -3×-3=-9 라고 고집한다면 -3 X-3=3X-3이 된다. 이것이 왜 문제인지는 몇 가지 방식으로 확인해 볼 수 있다. 가장 단순한 방법은 양변을-3으로 나누는 것이다. 그러면 3 = -3 이 된다. - P134
그 시스템을 한 번만 확장하면 충분하다. 이것이 명확해지기까지는 시간이 좀 걸렸지만, 돌이켜보면 어쩔 수 없었던 것처럼 보인다. 허수는 존재 자체가 불가능해 보였지만, 사라지려 하지않았다. 아무리 말이 안 되는 것처럼 보여도 계속해서 계산에 등장했다. 가끔은 허수를 사용하면 계산이 간편해지기도 했고, 그 결과는 좀 더 포괄적이고 더 만족스러웠다. - P134
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